高考英才數(shù)學(xué)試卷

高考英才數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在解析幾何中，點(diǎn)P(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離公式是：

A.|Ax+By+C|/√(A2+B2)

B.|Ax+By+C|/√(A2-B2)

C.|Ax+By+C|/√(B2-C2)

D.|Ax+By+C|/√(A2+C2)

2.若一個等差數(shù)列的首項為a，公差為d，則第n項an可以表示為：

A.a+(n-1)d

B.a+nd

C.a-(n-1)d

D.a-nd

3.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若sinA/sinB=sinC/sinA，則三角形ABC是：

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.無解

4.下列函數(shù)中，為奇函數(shù)的是：

A.f(x)=x2

B.f(x)=x3

C.f(x)=x

D.f(x)=-x

5.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|，則z在復(fù)平面上的軌跡是：

A.直線

B.圓

C.雙曲線

D.拋物線

6.在數(shù)列{an}中，若an=3n2-2n，則數(shù)列{an}的前n項和S_n可以表示為：

A.n(3n2-2n+1)/2

B.n(3n2-2n-1)/2

C.n(3n2+2n-1)/2

D.n(3n2+2n+1)/2

7.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，若f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒大于0，則f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)：

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.有極小值

D.有極大值

8.在數(shù)列{an}中，若an=2an-1+1，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式可以表示為：

A.an=2^n-1

B.an=2^n+1

C.an=2^n-2

D.an=2^n+2

9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為S_n，公差為d，若S_3=18，S_6=54，則數(shù)列{an}的首項a_1為：

A.2

B.3

C.4

D.5

10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<0，f(b)>0，則根據(jù)零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)c∈(a,b)，使得：

A.f(c)=0

B.f'(c)=0

C.f(c)2=0

D.f(c)≠0

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項中，屬于高中數(shù)學(xué)中極限概念的有：

A.當(dāng)x趨向于無窮大時，函數(shù)f(x)的極限

B.當(dāng)x趨向于0時，函數(shù)f(x)的極限

C.當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時，函數(shù)f(x)的極限

D.當(dāng)x趨向于1時，函數(shù)f(x)的極限

2.在解析幾何中，關(guān)于直線的一般方程Ax+By+C=0，以下說法正確的是：

A.當(dāng)A=0，B≠0時，直線平行于x軸

B.當(dāng)B=0，A≠0時，直線平行于y軸

C.當(dāng)A=B=0時，直線是x軸和y軸的交點(diǎn)

D.當(dāng)A=0，B=0時，直線不存在

3.下列函數(shù)中，屬于指數(shù)函數(shù)的有：

A.f(x)=2^x

B.f(x)=log?x

C.f(x)=e^x

D.f(x)=x^2

4.在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，下列等式正確的有：

A.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

B.(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(bc-ad)i

C.i^2=-1

D.i^3=-i

5.下列關(guān)于數(shù)列的性質(zhì)，正確的有：

A.等差數(shù)列的任意兩項之和等于這兩項的算術(shù)平均數(shù)乘以項數(shù)

B.等比數(shù)列的任意兩項之積等于這兩項的幾何平均數(shù)

C.等差數(shù)列的前n項和S_n與項數(shù)n的關(guān)系為S_n=n(a_1+a_n)/2

D.等比數(shù)列的前n項和S_n與項數(shù)n的關(guān)系為S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)（其中r≠1）

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值是______。

2.在等差數(shù)列{an}中，若a_1=3，d=2，則a_10=______。

3.復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|，則z在復(fù)平面上的軌跡是以______為圓心，半徑為______的圓。

4.若函數(shù)f(x)=(x-1)2在x=2處取得極值，則該極值為______。

5.數(shù)列{an}的前n項和S_n為n(n+1)，則數(shù)列{an}的通項公式an=______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算定積分∫(x^2-3x+2)dx，其中積分區(qū)間為[1,4]。

2.已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+4x+1，求f'(x)并計算f'(1)和f'(2)。

3.解下列不等式組：

\[

\begin{cases}

2x-3y>6\\

x+4y≤12

\end{cases}

\]

并在坐標(biāo)系中表示出解集。

4.已知等比數(shù)列{an}的首項a_1=4，公比q=3/2，求該數(shù)列的前5項和S_5。

5.解下列方程組：

\[

\begin{cases}

3x+4y=7\\

2x-y=1

\end{cases}

\]

并寫出解的坐標(biāo)形式。

6.已知函數(shù)f(x)=e^x-x，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)并求f'(x)在x=0時的值。

7.計算二重積分?(x^2+y^2)dA，其中積分區(qū)域D是由曲線x^2+y^2=4和直線x=0圍成的圓盤。

8.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3^n-2^n，求該數(shù)列的前n項和S_n。

9.解下列方程的通解：

\[

\frac{dy}{dx}=2xy^2-y

\]

并寫出通解的形式。

10.計算函數(shù)f(x)=xlnx在區(qū)間[1,e]上的定積分∫(1toe)xlnxdx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A.|Ax+By+C|/√(A2+B2)

2.A.a+(n-1)d

3.B.等腰三角形

4.B.x3

5.B.圓

6.A.n(3n2-2n+1)/2

7.A.單調(diào)遞增

8.A.an=2^n-1

9.B.3

10.A.f(c)=0

二、多項選擇題

1.A,B,C

2.A,B,C

3.A,C

4.A,B,C

5.A,B,C,D

三、填空題

1.2

2.24

3.(1,0)，√2

4.0

5.3^n-2^n

四、計算題

1.解：∫(x^2-3x+2)dx=(1/3)x^3-(3/2)x^2+2x+C

∫[1,4](x^2-3x+2)dx=[(1/3)(4^3)-(3/2)(4^2)+2(4)]-[(1/3)(1^3)-(3/2)(1^2)+2(1)]

=(64/3)-(48/2)+8-(1/3)+(3/2)-2

=64/3-24+8-1/3+3/2-2

=64/3-24+8-1/3+3/2-6/2

=64/3-24+8-1/3+1/2

=64/3-24+16/2-1/3+1/2

=64/3-24+8/2-1/3+1/2

=64/3-24+4-1/3+1/2

=64/3-24+4-1/3+3/6

=64/3-24+4-2/6+3/6

=64/3-24+4+1/6

=64/3-24+24/6+1/6

=64/3-24+25/6

=64/3-144/6+25/6

=64/3-119/6

=256/6-119/6

=137/6

=22.8333...

2.解：f'(x)=6x2-6x+4

f'(1)=6(1)2-6(1)+4=6-6+4=4

f'(2)=6(2)2-6(2)+4=24-12+4=16

3.解：將不等式組轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

\[

\begin{cases}

2x-3y-6>0\\

x+4y-12≤0

\end{cases}

\]

在坐標(biāo)系中，首先畫出直線2x-3y-6=0和x+4y-12=0。然后確定不等式的解集區(qū)域。

4.解：S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5

S_5=4+4(3/2)+4(3/2)^2+4(3/2)^3+4(3/2)^4

S_5=4(1+3/2+(3/2)^2+(3/2)^3+(3/2)^4)

S_5=4(1+3/2+9/4+27/8+81/16)

S_5=4(16/16+24/16+36/16+54/16+81/16)

S_5=4(221/16)

S_5=884/16

S_5=55.25

5.解：將方程組轉(zhuǎn)化為增廣矩陣形式：

\[

\begin{bmatrix}

3&4&|&7\\

2&-1&|&1

\end{bmatrix}

\]

通過行變換求解：

\[

\begin{bmatrix}

1&4/3&|&7/3\\

2&-1&|&1

\end{bmatrix}

\]

\[

\begin{bmatrix}

1&4/3&|&7/3\\

0&-11/3&|&-11/3

\end{bmatrix}

\]

\[

\begin{bmatrix}

1&4/3&|&7/3\\

0&1&|&1

\end{bmatrix}

\]

\[

\begin{bmatrix}

1&0&|&2\\

0&1&|&1

\end{bmatrix}

\]

解得：x=2，y=1

坐標(biāo)形式：(2,1)

6.解：f'(x)=d/dx(e^x-x)=e^x-1

f'(0)=e^0-1=1-1=0

7.解：?(x^2+y^2)dA=∫[0,2π]∫[0,2](r^2)rdrdθ

=∫[0,2π]∫[0,2]r^3drdθ

=∫[0,2π][r^4/4][0,2]dθ

=∫[0,2π](2^4/4)dθ

=∫[0,2π]4dθ

=4θ|[0,2π]

=4(2π-0)

=8π

8.解：S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n

S_n=(3^n-2^n)+(3^n-2^n)+...+(3^n-2^n)(nterms)

S_n=n(3^n-2^n)

9.解：分離變量得：

dy/(2xy^2-y)=dx

dy/y(2x-1)=dx

∫dy/y(2x-1)=∫dx

ln|y|=x-ln|2x-1|+C

y=(C(2x-1))/x

10.解：∫(1toe)xlnxdx

令u=lnx，則du=1/xdx

當(dāng)x=1時，u=ln1=0

當(dāng)x=e時，u=ln(e)=1

∫(1toe)xlnxdx=∫(0to1)e^udu

=e^u|[0,1]

=e^1-e^0

=e-1