2025年河南省中考題數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025年河南省中考題數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1．本試卷共6頁(yè)，三個(gè)大題，滿分120分，考試時(shí)間100分鐘．

2．本試卷上不要答題，請(qǐng)按答題卡上注意事項(xiàng)的要求，直接把答案填寫在答題卡上．答在試

卷上的答案無(wú)效．

一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）

1.在學(xué)校足球比賽中，如果某班足球隊(duì)進(jìn)4個(gè)球記作4個(gè)，那么該隊(duì)失3個(gè)球記作（）

A.3個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，已知進(jìn)球數(shù)記為正，則失球

數(shù)應(yīng)記為負(fù)，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：如果某班足球隊(duì)進(jìn)4個(gè)球記作4個(gè)，那么該隊(duì)失3個(gè)球記作3個(gè)，

故選：B．

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎繪制的某立體圖形展開(kāi)圖如圖所示，則該立體圖形是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了根據(jù)幾何體的展開(kāi)圖還原幾何體，熟知圓錐的展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)展開(kāi)圖

可知該幾何體側(cè)面是扇形，下面是圓形，即可得到答案．

【詳解】解：根據(jù)展開(kāi)圖可知該幾何體側(cè)面是扇形，下面是圓形，則該立體圖形是圓錐，

故選：D．

3.通電瞬間，導(dǎo)線中的電流以接近光速形成，但其中自由電子定向移動(dòng)的平均速度大約只有0.000074m/s，

比蝸牛爬行的速度還慢．?dāng)?shù)據(jù)“0.000074”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.74104B.7.4104C.7.4105D.74106

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的正數(shù)的一般形式為a10n，

其中1a10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．n的值由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為

零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．

【詳解】解：0.0000747.4105，

故選：C．

4.如圖所示，有一個(gè)六邊形零件，利用圖中的量角器可以量出該零件內(nèi)角的度數(shù)，則所量?jī)?nèi)角的度數(shù)為（）

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了量角器，對(duì)頂角，正確讀出量角器度數(shù)是解題關(guān)鍵．由量角器可知，1120，再利

用對(duì)頂角相等求解即可．

【詳解】解：由量角器可知，1120，

21120，

即所量?jī)?nèi)角的度數(shù)為120，

故選：C．

5.一元二次方程x22x0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；0，方程有

兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可．

【詳解】解：一元二次方程x22x0，

2

241040，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A．

6.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，VABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，點(diǎn)D、E分

別是邊BA、CA與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接DE，則DE的長(zhǎng)為（）

1

A.B.1C.D.

223

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，證明出DE是VABC的中位線是解題

ADAG1AEAG1

關(guān)鍵．取格點(diǎn)G、H，由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EG∥CH，得到，，進(jìn)而證明DE

ABAH2ACAH2

是VABC的中位線，即可求解．

【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)G、H，

由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EG∥CH，

ADAG21AEAG21

，，

ABAH42ACAH42

D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

DE是VABC的中位線，

1

DEBC1，

2

故選：B．

x221

7.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

x11x

A.x1B.xC.x1D.x2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了分式的減法，掌握異分母分式加減法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先將分母變?yōu)橄嗤?，?/p>

進(jìn)行減法，然后利用平方差公式約分化簡(jiǎn)即可．

x221

【詳解】解：

x11x

x221

x1x1

x21

x1

x1x1

x1

x1，

故選：A．

8.甲骨文是我國(guó)已發(fā)現(xiàn)最早的成熟文字，代表了早期中華文明的輝煌成就．正面分別印有甲骨文

“美”“麗”“山”“河”的四張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這四張卡片背面朝上洗勻，

從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面恰好是甲骨文“麗”和“山”的概率是（）

1111

A.B.C.D.

12642

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查列表法與樹(shù)狀圖、概率公式，畫樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及卡片正面恰好為甲

骨文“麗”和“山”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．

【詳解】解：將甲骨文“美”“麗”“山”“河”四張卡片分別記為A，B，C，D，

畫樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中卡片正面恰好為甲骨文“麗”和“山”的結(jié)果有2種，

21

∴卡片正面恰好為甲骨文“麗”和“山”的概率為．

126

故選：B．

9.如圖，在菱形ABCD中，B45,AB6，點(diǎn)E在邊BC上，連接AE，將ABE沿AE折疊，若

點(diǎn)B落在BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F處，則CF的長(zhǎng)為（）

A.2B.632C.22D.626

【答案】D

【解析】

【分析】由折疊的性質(zhì)可知，AEBAEF90，BEEF，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出AEBE，

從而求出BE32，則BF62，即可求解．

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，AEBAEF90，BEEF，

在菱形ABCD中，B45,AB6，

BAEB45，BCAB6，

AEBE，

ABAE2BE22BE6，

BE32，

BF2BE62，

CFBFBC626，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分母有理化等知識(shí)，

掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

10.汽車輪胎的摩擦系數(shù)是影響行車安全的重要因素，在一定條件下，它會(huì)隨車速的變化而變化．研究發(fā)現(xiàn)，

某款輪胎的摩擦系數(shù)與車速vkm/h之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.汽車靜止時(shí)，這款輪胎的摩擦系數(shù)為0.9

B.當(dāng)0v60時(shí)，這款輪胎的摩擦系數(shù)隨車速的增大而減小

C.要使這款輪胎的摩擦系數(shù)不低于0.71，車速應(yīng)不低于60km/h

D.若車速?gòu)?5km/h增大到60km/h，則這款輪胎的摩擦系數(shù)減小0.04

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了利用函數(shù)圖象獲取信息，正確理解函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．根據(jù)某款輪胎的摩擦系數(shù)與

車速vkm/h之間的函數(shù)關(guān)系圖，逐項(xiàng)判斷即可．

【詳解】解：A、由圖象可知，當(dāng)v0時(shí)，0.9，即汽車靜止時(shí)，這款輪胎的摩擦系數(shù)為0.9，原說(shuō)法

正確，不符合題意；

B、由圖象可知，當(dāng)0v60時(shí)，這款輪胎的摩擦系數(shù)隨車速的增大而減小，原說(shuō)法正確，不符合題意；

C、要使這款輪胎的摩擦系數(shù)不低于0.71，車速應(yīng)不高于60km/h，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

D、由圖象可知，當(dāng)v25時(shí)，0.75；當(dāng)v60時(shí)，0.71，即車速?gòu)?5km/h增大到60km/h，

則這款輪胎的摩擦系數(shù)減小0.04，原說(shuō)法正確，不符合題意；

故選：C

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.請(qǐng)寫出一個(gè)使5x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的x的值：______________．

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，以及解不等式，熟練掌握被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根

據(jù)二次根式有意義得到5x0求解，取恰當(dāng)?shù)闹导纯桑?/p>

【詳解】解：由題意得，5x0，

解得x5，

∴使5x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的x的值可以為3；

故答案為：3（答案不唯一）．

12.為考察學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì)，數(shù)學(xué)興趣小組從兩種小麥中各隨機(jī)抽取20株進(jìn)行測(cè)

22

量，測(cè)得兩種小麥苗高的平均數(shù)相同，方差分別為s甲3.6,s乙5.8，則這兩種小麥長(zhǎng)勢(shì)更整齊的是

______________（填“甲”或“乙”）．

【答案】甲

【解析】

【分析】本題考查了方差，熟練掌握方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量，方差越大，則平均值的離

散程度越大，穩(wěn)定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好是解題關(guān)鍵．根據(jù)方差

越大，越不穩(wěn)定，即可求解．

22

【詳解】解：兩種小麥苗高的平均數(shù)相同，方差分別為s甲3.6,s乙5.8，

22

s甲s乙，

兩種小麥長(zhǎng)勢(shì)更整齊的是甲，

故答案為：甲．

13.觀察2x,4x2,6x3,8x4,，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第n個(gè)式子為_(kāi)_____________．

【答案】2nxn

【解析】

【分析】本題是單項(xiàng)式規(guī)律題，根據(jù)給出的單項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．分析已知式子，得到第n個(gè)

式子為2nxn，即可得到答案．

【詳解】解：第1個(gè)式子：2x12x1，

第2個(gè)式子：4x222x2，

第3個(gè)式子：6x332x3，

第4個(gè)式子：8x442x4，

……

觀察發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)式子為2nxn，

故答案為：2nxn

14.我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)，創(chuàng)立了“割圓術(shù)”．如圖是研究“割圓術(shù)”時(shí)的一

個(gè)圖形，AB所在圓的圓心為點(diǎn)O，四邊形ABCD為矩形，邊CD與O相切于點(diǎn)E，連接BE，

ABE15，連接OE交AB于點(diǎn)F．若AB4，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____________．

4

【答案】23

3

【解析】

【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到OEAB，由垂徑定理可得AFBF2，由圓周角

定理可得AOE30，進(jìn)而證明VAOB是等邊三角形，得到OF23，再根據(jù)陰影部分的面積

S扇形AOESAOF求解即可．

【詳解】解：AB所在圓的圓心為點(diǎn)O，邊CD與O相切于點(diǎn)E，

OAOBOE，OECD，

四邊形ABCD為矩形，

AB∥CD，

OEAB，

AB4，

1

AFBFAB2，

2

ABE15，

AOE2ABE30，

OAOB，OFAB，

AOB2AOF60，

AOB是等邊三角形，

OAAB4，

OFOA2AF223，

2

陰影部分的面積30π414，

S扇形S232π23

AOEAOF36023

4

故答案為：π23．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了求不規(guī)則圖形面積，矩形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

15.定義：有兩個(gè)內(nèi)角的差為90的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在VABC中，ABAC5，

BC8，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，若△APC為“反直角三角形”，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

2511

【答案】或

42

【解析】

【分析】題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，理

解“反直角三角形”的定義，利用分類討論的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．分情況討論：①當(dāng)APCC90時(shí)，

過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)得到BDCD4，證明△ADB∽△PAB，得到

ABBD

，即可求出BP的長(zhǎng)；②當(dāng)APCCAP90時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PMBC交AC于點(diǎn)M，由等角

BPAB

35

對(duì)等邊得到AMPM，再證明CMP∽CAD，設(shè)CPx，進(jìn)而得出PMx，CMx，根據(jù)

44

ACAMCMPMCM求出x的值，即可求出BP的長(zhǎng)；③當(dāng)CAPC90時(shí)，利用銳角三角函數(shù)，

得出C30，BAC120，即此種情況不存在；④當(dāng)CAPAPC90時(shí)，同③理可證，此種情

況不存在；即可得解．

【詳解】解：ABAC5，

BC，

APCBBAP，

APCB，

APCC，

若△APC為“反直角三角形”，

①當(dāng)APCC90時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，

ABAC5，BC8，

1

BDCDBC4，

2

ADAB2BD23，

BC，

APCBBAP90，

BB，ADBPAB90，

ADB∽PAB，

ABBD

，

BPAB

54

，

BP5

25

BP；

4

②當(dāng)APCCAP90時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PMBC交AC于點(diǎn)M，

APCAPMCPM90，

CAPAPM，

AMPM，

PMBC，ADBC，

PM∥AD，

CMP∽CAD，

CPPMCM

，

CDADAC

設(shè)CPx，則BP8x，

xPMCM

，

435

35

PMx，CMx，

44

35

ACAMCMPMCMxx5，

44

5

x，

2

511

BP8；

22

③當(dāng)CAPC90時(shí)，

AD3131

sinC，sin30，且，

CC5252

C30，

BAC120，

若CAPC90，則CAP120，即CAPBAC，

此種情況不存在；

④當(dāng)CAPAPC90時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，APC最小，此時(shí)APCB30，

同③理可證，此種情況不存在；

2511

綜上可知，BP的長(zhǎng)為或，

42

2511

故答案為：或．

42

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）

0

16.（1）計(jì)算：38π133；

2

（2）化簡(jiǎn)：x1xx2．

【答案】（1）0；（2）1

【解析】

【分析】（1）首先計(jì)算立方根，零指數(shù)冪和二次根式的乘法，然后計(jì)算加減；

（2）首先計(jì)算完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后計(jì)算加減．

0

【詳解】解：（1）38π133

213

0；

2

（2）x1xx2

x22x1x22x

1．

【點(diǎn)睛】此題考查了立方根，零指數(shù)冪和二次根式的乘法，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)

鍵是掌握以上運(yùn)算法則．

17.為加強(qiáng)對(duì)青少年學(xué)生的憲法法治教育，普及憲法法治知識(shí)，教育部決定舉辦第十屆全國(guó)學(xué)生“學(xué)憲法講

憲法”活動(dòng)．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)憲法法治知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，

并對(duì)測(cè)試得分（10分為滿分，9分或9分以上為優(yōu)秀）進(jìn)行整理、描述、分析，部分信息如下．

得分統(tǒng)計(jì)圖

得分統(tǒng)計(jì)表

年級(jí)

統(tǒng)計(jì)

七年八年

量

級(jí)級(jí)

平均

7.867.86

數(shù)

中位

a8

數(shù)

眾數(shù)7b

優(yōu)秀

38%c

率

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題．

（1）表格中的a________，b________，c_________．

（2）你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生對(duì)憲法法治知識(shí)的掌握情況更好？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）7.5；8；22%

（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確理解統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義以及優(yōu)秀率的標(biāo)準(zhǔn)求解即可；

（2）可以根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)做決策．

【小問(wèn)1詳解】

78

解：抽取50名學(xué)生，則中位數(shù)為第25，26名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)，由條形統(tǒng)計(jì)圖可得中位數(shù)a7.5；

2

八年級(jí)得分為8分的人數(shù)最多為23人，

∴眾數(shù)b8；

65

八年級(jí)的得分優(yōu)秀率為：100%22%，

50

故答案為：7.5；8；22%；

【小問(wèn)2詳解】

解：八年級(jí)的學(xué)生對(duì)憲法法治知識(shí)的掌握情況更好，因?yàn)榘四昙?jí)的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)都高于七年級(jí)．

18.小軍將一副三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，其中含30角的三角板OAB的直角邊

k

OA落在y軸上，含45角的三角板OAC的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)，反比例函數(shù)y(x0)的圖象經(jīng)

x

過(guò)點(diǎn)C．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．

（2）將三角板OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,AB邊上的點(diǎn)D恰好落在反比例函數(shù)圖象上，求旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)D的

坐標(biāo)．

4

【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y

x

（2）D1,4

【解析】

k

【分析】（1）把C的坐標(biāo)為(2,2)代入反比例函數(shù)y(x0)即可得到答案；

x

（2）求解CO222228，證明ACCO，求解AOCO2AC24，如圖，連接OD，△OAB

4

旋轉(zhuǎn)到OEF的位置；可得OEOA4，結(jié)合D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G在y的圖象上，可得EG1，進(jìn)一步

x

求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

k

解：∵含45角的三角板OAC的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)，反比例函數(shù)y(x0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．

x

∴k224，

4

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y；

x

【小問(wèn)2詳解】

解：∵C2,2，

∴CO222228，

∵含45角的三角板OAC為等腰直角三角形，ACO90，

∴ACCO，AOCO2AC24，

如圖，連接OD，△OAB旋轉(zhuǎn)到OEF的位置；

∴OEOA4，

4

∵D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G在y的圖象上，

x

∴yG1，

∴EG1，

由旋轉(zhuǎn)可得：ADGE1，

∴D1,4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解

題意是解本題的關(guān)鍵.

19.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（2）若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接OA,CE．求證：四邊形AOCE是平行四邊形．

【答案】（1）作圖見(jiàn)詳解（2）證明過(guò)程見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，尺規(guī)作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是關(guān)鍵．

（1）運(yùn)用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線即可；

11

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意得到AEOC，AEAD,OCBC，即AEOC，由一組對(duì)

22

邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求證．

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，

∵BC是直徑，

∴運(yùn)用尺規(guī)作直徑BC的垂直平分線角BC于點(diǎn)O，

∴點(diǎn)O即為所求點(diǎn)的位置；

【小問(wèn)2詳解】

證明：如圖所示，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ADBC,ADBC，

∵點(diǎn)O,E分別是BC,AD的中點(diǎn)，

11

∴AEOC，AEAD，OCBC，即AEOC，

22

∴四邊形AOCE是平行四邊形．

20.為助力鄉(xiāng)村振興，支持惠農(nóng)富農(nóng)，某合作社銷售我省西部山區(qū)出產(chǎn)的甲、乙兩種蘋果．已知2箱甲種蘋

果和3箱乙種蘋果的售價(jià)之和為440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價(jià)之和為800元．

（1）求甲、乙兩種蘋果每箱的售價(jià)．

（2）某公司計(jì)劃從該合作社購(gòu)買甲、乙兩種蘋果共12箱，且乙種蘋果的箱數(shù)不超過(guò)甲種蘋果的箱數(shù)．求

該公司最少需花費(fèi)多少元．

【答案】（1）甲、乙兩種蘋果每箱的售價(jià)分別為100元、80元；

（2）該公司最少需花費(fèi)1080元．

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意正確列式

是解題關(guān)鍵．

（1）設(shè)甲、乙兩種蘋果每箱的售價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)“2箱甲種蘋果和3箱乙種蘋果的售價(jià)之和為

440元；4箱甲種蘋果和5箱乙種蘋果的售價(jià)之和為800元”，列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)購(gòu)買甲種蘋果a箱，根據(jù)“乙種蘋果的箱數(shù)不超過(guò)甲種蘋果的箱數(shù)”列不等式，求出a的取值范圍，

設(shè)該公司需花費(fèi)w元，得到w關(guān)于a的一次函數(shù)，求出最值即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)甲、乙兩種蘋果每箱的售價(jià)分別為x元、y元，

2x3y440

則，

4x5y800

x100

解得：，

y80

答：甲、乙兩種蘋果每箱的售價(jià)分別為100元、80元；

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)購(gòu)買甲種蘋果a箱，則購(gòu)買乙種蘋果12a箱，

則12aa，

解得：a6，

設(shè)該公司需花費(fèi)w元，

則w100a8012a20a960，

200，

w隨a的增大而增大，

當(dāng)a6時(shí)，w有最小值為2069601080，

即該公司最少需花費(fèi)1080元．

21.焦裕祿紀(jì)念園是全國(guó)重點(diǎn)革命烈士紀(jì)念建筑物保護(hù)單位，革命烈士紀(jì)念碑位于紀(jì)念園南部的中心．某綜

合與實(shí)踐小組開(kāi)展測(cè)量紀(jì)念碑高度的活動(dòng)，記錄如下．

活動(dòng)測(cè)量紀(jì)念碑的高度

主題

實(shí)物

圖和

測(cè)量

示意

圖

如圖，紀(jì)念碑AB位于有臺(tái)階的平臺(tái)BC上，太陽(yáng)光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)D

測(cè)量處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿DE頂端E的影子落在點(diǎn)F處，位于點(diǎn)M處的

說(shuō)明觀測(cè)者眼睛所在位置為點(diǎn)N，點(diǎn)N,E,A在一條直線上，紀(jì)念碑底部點(diǎn)B在觀測(cè)

者的水平視線上．

測(cè)量

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

數(shù)據(jù)

備注點(diǎn)F,M,D,C在同一水平線上．

根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題．

（1）由標(biāo)桿的影子DF的長(zhǎng)和標(biāo)桿DE的長(zhǎng)相等，可得CDCA，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）求紀(jì)念碑AB的高度．

（3）小紅通過(guò)間接測(cè)量得到CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出紀(jì)念碑AB的高度約為18.5m．查閱資料得知，紀(jì)念碑的

實(shí)際高度為19.64m．請(qǐng)判斷小紅的結(jié)果和（2）中的結(jié)果哪個(gè)誤差較大？并分析誤差較大的可能原因（寫

出一條即可）．

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）紀(jì)念碑AB的高度為19.8m．

（3）小紅的結(jié)果誤差較大，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了平行投影，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和

性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

ACDE

（1）根據(jù)平行投影的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；

CDDF

（2）令BN與DE的交點(diǎn)為H，則四邊形BCDH和MNHD是矩形，設(shè)ABx，證明NEH∽NAB，

EHNH

得到，求出x的值即可；

ABNB

（3）比較紀(jì)念碑的實(shí)際高度與小紅和（2）中的結(jié)果，得到誤差較大的一方，再分析可能的原因即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：太陽(yáng)光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)D處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿DE頂端E的影子落在點(diǎn)F處，

ACDE

，

CDDF

標(biāo)桿的影子DF的長(zhǎng)和標(biāo)桿DE的長(zhǎng)相等，即DEDF，

CDCA；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖，令BN與DE的交點(diǎn)為H，

則四邊形BCDH和MNHD是矩形，

DE2.1m,DF2.1m,DM1m,MN1.2m

CDBH，BCDHMN1.2m，NHDM1m，

EHDEDH0.9m，

設(shè)ABx，則ACABBC1.2xm，

BHCD1.2xm，

NBBHNH2.2x，

EH∥AB，

NEH∽NAB，

EHNH

，

ABNB

0.91

，

x2.2x

解得：x19.8，

答：紀(jì)念碑AB的高度為19.8m．

【小問(wèn)3詳解】

解：紀(jì)念碑的實(shí)際高度為19.64m，小紅求出紀(jì)念碑AB的高度約為18.5m，（2）中紀(jì)念碑AB的高度為19.8m，

則小紅的結(jié)果誤差較大，

理由是：紀(jì)念碑AB位于有臺(tái)階的平臺(tái)BC上，點(diǎn)C的位置無(wú)法正確定位，使得CD的長(zhǎng)存在誤差，影響計(jì)

算結(jié)果．

22.在二次函數(shù)yax2bx2中，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表所示．

x…201…

y…221…

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象．

（3）將二次函數(shù)的圖象向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后，當(dāng)0x3時(shí)，若圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差

為5，請(qǐng)直接寫出n的值．

【答案】（1）yx22x2

（2）1,3；見(jiàn)解析

（3）15或45

【解析】

【分析】本題主要查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；

（2）利用配方法把解析式變形為頂點(diǎn)式，即可求解；

（3）分兩種情況解答，即可求解．

【小問(wèn)1詳解】

解：把點(diǎn)2,2,1,1代入得：

ab21

，

4a2b22

a1

解得：，

b2

∴二次函數(shù)的解析式為yx22x2；

【小問(wèn)2詳解】

2

解：yx22x2x13，

∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,3，對(duì)稱軸為直線x1，

∴點(diǎn)1,1關(guān)于直線x1的對(duì)稱點(diǎn)為3,1，

畫出函數(shù)圖象，如圖，

【小問(wèn)3詳解】

2

解：根據(jù)題意得：平移后的拋物線解析式為yx1n3，

∴平移后的拋物線的對(duì)稱軸為直線xn1，

335

當(dāng)平移后拋物線的對(duì)稱軸在直線x左側(cè)時(shí)，此時(shí)最小值為3，n1，即n，

222

2

當(dāng)x3時(shí)，取得最大值，最大值為31n3n28n13，

∵圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，

∴n28n1335，

解得：n45或45（舍去）；

335

當(dāng)平移后拋物線對(duì)稱軸在直線x右側(cè)時(shí)，此時(shí)最小值為3，n1，即n，

222

2

當(dāng)x0時(shí)，取得最大值，最大值為1n3n22n2，

∵圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值的差為5，

∴n22n235，

解得：n15或15（舍去），

綜上所述，n的值為15或45．

23.在AOB中，點(diǎn)C是AOB的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CDOB，垂足為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作

DEOA，垂足為點(diǎn)E，直線DE,OC交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CGDE，垂足為點(diǎn)G．

（1）觀察猜想

如圖1，當(dāng)AOB為銳角時(shí)，用等式表示線段CG,OE,OD的數(shù)量關(guān)系：__________．

（2）類比探究

如圖2，當(dāng)AOB為鈍角時(shí)，請(qǐng)依據(jù)題意補(bǔ)全圖形（無(wú)需尺規(guī)作圖），并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論，并證明．

（3）拓展應(yīng)用