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第五章留數(shù)及其應(yīng)用§3留數(shù)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用本節(jié)主要內(nèi)容:考察三種類(lèi)型的實(shí)函數(shù)的定積分的計(jì)算.這類(lèi)積分可以化為單位圓上的復(fù)變函數(shù)積分.在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬(wàn)能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.解:例1于是因此法則3解:例2于是因此法則1法則2提示:不失一般性,設(shè)根據(jù)留數(shù)定理,得到xy......-RRO再由(1),得計(jì)算(1)取輔助函數(shù)R(z)并求有限值奇點(diǎn);(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理;(3)最后得到留數(shù)之和乘以2πi.解:因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù),
其位于上半平面的奇點(diǎn)是:(均為單極點(diǎn))(1)取輔助函數(shù)并求有限值奇點(diǎn);故(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理
問(wèn)題的處理方法:同第二種類(lèi)型一樣,通過(guò)引進(jìn)輔助半圓周,得到一個(gè)閉合路徑(半圓周加實(shí)軸)上的復(fù)變函數(shù)的積分,然后取極限(令半徑趨于無(wú)窮),并且可證明:根據(jù)留數(shù)定理,得到xy......-RRO即:例4計(jì)算解:相當(dāng)于:思考:0例5計(jì)算例6計(jì)算解:先考察積分xy-rrcr
O-hhch
在所示閉合路徑上應(yīng)用留數(shù)定理,得(因閉合路徑內(nèi)被積函數(shù)無(wú)奇點(diǎn).)xy-rrcr
O-hhch
取極限,令:則下面考察最后一項(xiàng):21
再注意到g(z)在原點(diǎn)臨近有界,所以至此,我們得到本講主要內(nèi)容:考察三種類(lèi)型的實(shí)函數(shù)的
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