復(fù)變函數(shù)與積分變換 課件 第五章留數(shù)及其應(yīng)用3_第1頁(yè)
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第五章留數(shù)及其應(yīng)用§3留數(shù)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用本節(jié)主要內(nèi)容：考察三種類(lèi)型的實(shí)函數(shù)的定積分的計(jì)算.這類(lèi)積分可以化為單位圓上的復(fù)變函數(shù)積分.在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬(wàn)能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.解：例1于是因此法則3解：例2于是因此法則1法則2提示：不失一般性，設(shè)根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO再由（1），得計(jì)算(1)取輔助函數(shù)R(z)并求有限值奇點(diǎn);(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理;(3)最后得到留數(shù)之和乘以2πi.解：因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù),

其位于上半平面的奇點(diǎn)是:（均為單極點(diǎn)）(1)取輔助函數(shù)并求有限值奇點(diǎn);故(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理

問(wèn)題的處理方法：同第二種類(lèi)型一樣，通過(guò)引進(jìn)輔助半圓周，得到一個(gè)閉合路徑（半圓周加實(shí)軸）上的復(fù)變函數(shù)的積分，然后取極限（令半徑趨于無(wú)窮），并且可證明：根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO即：例４計(jì)算解：相當(dāng)于：思考：0例５計(jì)算例６計(jì)算解：先考察積分xy-rrcr

Ｏ-hhch

在所示閉合路徑上應(yīng)用留數(shù)定理，得（因閉合路徑內(nèi)被積函數(shù)無(wú)奇點(diǎn).）xy-rrcr

Ｏ-hhch

取極限，令：則下面考察最后一項(xiàng)：21

再注意到g(z)在原點(diǎn)臨近有界，所以至此，我們得到本講主要內(nèi)容：考察三種類(lèi)型的實(shí)函數(shù)的

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