湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（

）A． B． C．-6 D．64．已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，則（

）A． B． C．7 D．5．在直四棱柱中，四邊形是梯形，，，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．6．已知，均為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．37．某甜品店推出一款球形創(chuàng)意冰激凌，將冰激凌球放置在特制的巧克力圓臺(tái)容器中.已知巧克力圓臺(tái)容器的上底面圓的半徑為8厘米，下底面圓的半徑為2厘米，若該球形創(chuàng)意冰激凌與巧克力圓臺(tái)容器的內(nèi)壁及上、下底面均相切（不考慮巧克力圓臺(tái)容器的厚度），則該球形創(chuàng)意冰激凌的體積是（

）A．立方厘米 B．16π立方厘米C．立方厘米 D．立方厘米8．純音是指單一頻率的聲音，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們?cè)谌粘Ｉ钪新?tīng)到的聲音幾乎都是復(fù)合音，而復(fù)合音是由多個(gè)頻率不同的純音組成的.已知某聲音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．可以是 B．若為純虛數(shù)，則其虛部為2C． D．對(duì)任意復(fù)數(shù)，恒成立10．已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．在上有3個(gè)零點(diǎn)11．“趙爽弦圖”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，某人仿照“趙爽弦圖”，用六個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小的正六邊形拼成一個(gè)大正六邊形，其中G，H，J，K，L，M分別是，，，，，的中點(diǎn)，O是正六邊形的中心，P是正六邊形內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），，則（

）A． B．C．的最小值是3 D．的最大值是三、填空題12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是.13．某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量A，B（視為質(zhì)點(diǎn)）兩地之間的距離，在A的北偏東15°方向上和西偏北30°方向上分別選取點(diǎn)C，D，已知B在A的西偏南30°方向上，A，C兩地相距千米.B，D兩地相距千米，且D在C的西偏南15°方向上，則A，B兩地之間的距離是千米.14．在正四棱錐中，，，點(diǎn)F在四棱錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.四、解答題15．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且.(1)求B；(2)若，且的周長(zhǎng)為6，求a，c.16．如圖，在多面體中，，，，平面平面.

(1)證明：平面.(2)已知，平面平面，是線段的中點(diǎn).①證明：四邊形為矩形.②求多面體的體積.17．已知函數(shù)，，是的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值是π.(1)求的值；(2)求在上的值域；(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.18．密鋪，即平面圖形的鑲嵌，指用形狀、大小完全相同的平面圖形進(jìn)行拼接，使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片、如圖1，這是一個(gè)密鋪圖形，它由四個(gè)完全相同的平面四邊形組成，小華為了進(jìn)一步研究這個(gè)密鋪圖形，單獨(dú)繪制出組成這個(gè)密鋪圖形的四邊形，如圖2，其中，.

(1)若的面積為，且B為銳角，求的長(zhǎng)度.(2)試問(wèn)是否為定值?若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，(3)求四邊形面積的最大值.19．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形,,為等邊三角形，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).(1)求四棱錐的體積.(2)在棱上是否存在點(diǎn)G，使得平面平面?若點(diǎn)G存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)若H是棱的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.

湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案BCADBACBACDABD題號(hào)11答案BCD1．B【詳解】，所以，則.故選：.2．C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象將軸下方的圖象翻折到軸上方和軸上方的圖象組成，故函數(shù)的最小正周期為.故選：C.3．A【詳解】由題意可得，解得，故選：A.4．D【詳解】設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，，由題意可知，，，則以，為鄰邊的平行四邊形中，.在中，由余弦定理可得，故選：D.5．B【詳解】取棱的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則是異面直線與所成的角或補(bǔ)角.設(shè)，則，，，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值是.故選：.6．A【詳解】因?yàn)?，均為銳角，所以，所以，即.因?yàn)椋?，所以，，則.故選：A.7．C【詳解】如圖，設(shè)，分別是該圓臺(tái)容器上、下底面圓的圓心，四邊形是該圓臺(tái)容器的軸截面，圓是球形創(chuàng)意冰激凌的截面，E，F(xiàn)分別為圓O切，的切點(diǎn)，則，.作，垂足為H，則，，.因?yàn)?，所以，則，即該球形創(chuàng)意冰激凌的半徑為4，故該球形創(chuàng)意冰激凌的體積為立方厘米.故選：C.8．B【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，即，所以，則，即.因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，即，即，則，解得.綜上，.因?yàn)?，所以的最小值?.故選：B.9．ACD【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意，A正確.由為純虛數(shù)，且，得，其虛部為，B錯(cuò)誤.設(shè)，則，所以，因?yàn)?，則有，故，C正確.由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和模長(zhǎng)定義，可知對(duì)任意復(fù)數(shù)，，恒成立，D正確.故選：ACD.10．ABD【詳解】由題意可得，解得，因?yàn)?，所以，A正確.因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確.由，得，則在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤.由，得，則此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，則在上有3個(gè)零點(diǎn)，D正確，故選：ABD.11．BCD【詳解】連接，則O為線段的中點(diǎn).連接，易證四邊形，均為平行四邊形，則.連接，則A，M，E三點(diǎn)共線，且，所以，A錯(cuò)誤.由正六邊形的性質(zhì)可得，，則，B正確.作，垂足為N.當(dāng)P與H重合時(shí)，取得最小值.因?yàn)?，所?因?yàn)镠為線段的中點(diǎn)，所以N為線段的中點(diǎn)，所以，則，C正確.延長(zhǎng)，交線段于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn).因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所?當(dāng)P在線段上時(shí)，取得最大值，，D正確故選：BCD.12．【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以解得.故答案為：.13．30【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，千米，則.在中，由正弦定理可得，則千米.在中，千米，千米，，由正弦定理可得，則，所以，所以，故千米.故答案為：30.14．【詳解】如圖，分別取線段，的中點(diǎn)，連接，，.連接，交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以為線段的中點(diǎn).因?yàn)?，所以，即為線段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)榉謩e是線段，的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面平?因?yàn)槠矫?，且在平面?nèi)，所以點(diǎn)的軌跡為線段.由題意可知，則，.由余弦定理可得，則.故答案為：.15．(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理，則，代入兩邊約去得：即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?（2）由余弦定理可得，則.①因?yàn)?，且的周長(zhǎng)為6，所以.②聯(lián)立①②，解得.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②8【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋矫?，平面，且，所以平?

（2）①證明：因?yàn)?，且為線段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平?所以，由（1）可知平面，則，，因?yàn)椋?，且，所?因?yàn)椋运倪呅问蔷匦?②解：因?yàn)?，且為線段的中點(diǎn)，所以，由①知，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，由①知，因?yàn)?，，所?則四棱錐的體積.故多面體的體積.17．(1)(2).(3).【詳解】（1）由題意可得.由于，是的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，是的兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)榈淖钚≈凳?，且，所以最小正周期，解?（2）由（1）知.因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，.故在上的值域?yàn)?（3）設(shè)，，由（2）可知.不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，即.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以a的取值范圍是.18．(1)(2)是，1(3).【詳解】（1）因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，因?yàn)锽為銳角，所以.在中，由余弦定理可得，則；（2）在中，由余弦定理可得.①在中，由余弦定理可得.②聯(lián)立①②，可得，即，即為定值1；（3）四邊形的面積，則，由（2）可知，則，所以，所以.當(dāng)，即時(shí)，取得最大值72.故，即四邊形面積的最大值為.19．(1)16(2)存在，.(3).【詳解】（1）連接.因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為4的菱形，，所以為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，且是線段的中點(diǎn)，所以，且.因?yàn)椋?，所以，所?因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，則四棱錐的體積為.（2）存在滿足條件的點(diǎn)，此時(shí).理由如下：連接，記，，連接，，，.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋沂抢獾闹悬c(diǎn)，所