培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”體會素養(yǎng)滲透

在一個 個直角三角形的兩條直角邊分別為 時，學(xué)生卻很難想到這是一個 角的直角三角形當(dāng)一條直線的解析式為y=-x+5時，學(xué)生往往想不到這條直線與x軸、y軸所夾銳角均 當(dāng)?shù)缼缀巫C明題出現(xiàn)類似AB+ CD時，學(xué)生往往不知道如何處理這里的 4 質(zhì)。問題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線 與x軸交于(點A在點B左側(cè))y軸交于點C,頂點為D,對稱軸ACCEPF⊥CPHHK

2KG的最小值及 H的坐標(biāo) 2 解析式的數(shù)據(jù)解讀：觀察二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-

x+

學(xué)生心理產(chǎn)生一定影響，但其實仔細分析數(shù)據(jù)，二次項系數(shù)與一次項系數(shù)之間存在倍分關(guān)系，且常數(shù)項也與二者存在倍分關(guān)系因此本題并不復(fù)雜首先可求解二次函數(shù)中涉及的重要內(nèi)與x軸y軸交點坐標(biāo)對稱軸及頂點坐標(biāo)令x=0得y=2 ,所以C(0,2 )令y=0得1=-2，x29A(-2,0),B(4,0)x=1x=1y=

9,所以D(1, )關(guān)鍵條件的數(shù)據(jù)解讀：本題涉及的數(shù)學(xué)知識點較多，看到圖形后學(xué)生往往直觀上感覺這道題很難，其實針對圖形復(fù)雜的問題要注意逐步分解，自己可以在草稿本上重新畫圖，一步步添加題目所給的條件，每添加一個條件進行全面分析，這樣有助于提煉問題的本質(zhì)，而不至于受復(fù)雜圖形或復(fù)雜文字表述所困擾本題中點F是動點且是“從屬關(guān)系的動點但點P一旦確定EF也隨之確定探究△F的周長最大即PE+FPF最大看似都在變化的三條線段其實是有關(guān)系的因此解讀這一條件的關(guān)鍵是抓△F 的特征尋找△PF有關(guān)的已知三角形因為點EF都在動所以一定“跳出這個三角形向已知三角“靠攏”易知△PF～△⑵△的相關(guān)數(shù)據(jù)分析注意到Rt△BCO中OC=2 ,OB=4,所以BC=2 ,即△BCO是三邊之比為 的直角三角形，所以△PEF也是三邊之比為 的直角三角形。⑶△PEF周長的轉(zhuǎn)化，因為△PEF的三邊之比 ，因此要使PE+EF+PF最大，只需PE最大即可，問題轉(zhuǎn)為常見的線段長度最值問題。因為 ),所以直線BC的解析式為y=-

2 PBCEBCPE∥yP(m,-

m+

E(m,-

-

m

3

m=2時，△PEF最大，此時點P的坐標(biāo)為 )

2KG

2KG常涉及三邊長度之比為 的等腰直角三角形，這就告訴我們，當(dāng)出現(xiàn)某一線段 倍時 時，這是一個角的直角三角形，相反地，當(dāng)出現(xiàn)某一線段的2倍 倍時，其實可以構(gòu)造 角的直角三 形將其轉(zhuǎn)化基于此本 KG的轉(zhuǎn)化可以通過構(gòu) 角的直角三角形來進行考慮構(gòu)造以 對信息進行深度加工：如何構(gòu)造以KG為斜邊的直角三角形，且該三角形中含有 特殊角？分析點K，G的特征注意到點G其實是已知的而點K是y軸上的動點可以先求解點G的坐標(biāo)，點G是通過“過點B作BG∥AC與y軸相交”得到的，可先求直線AC的解析式為 ,于是再設(shè)直線BG解析式為 x+b,將點B(4,0)代入得b=- )可注 到Rt△BOG中，BO=4,OG=4 ,基“數(shù)感”，∠OGB=30這為構(gòu)造以KG為斜邊的含30角的KM⊥lKMG

KG=KM

KM

2KGPH+HK+KM三條線段之和最小值問題當(dāng)△PEF周長最大時點P坐標(biāo)為 軸上的動點，MGNKM⊥lPPM⊥lHH+KH+

KG小值即為線段PM。PM∥B線BG解析式為y= 以設(shè)直線PM解析式為 n(230

)將x=0代入得PM=PO+OM=4+6=1△PEFPH+KH+

10 )BCO，將OC=2 轉(zhuǎn)化為Rt△PEF三邊之比為 最大問題”轉(zhuǎn)化為“斜邊PE最大問題”，從而找到問題的突破口基于初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)本題中對“PH+KH+2KG最小值的處理就體現(xiàn)了數(shù)感的功 巧妙轉(zhuǎn)化。先是根“在

角的直角三角形中 角所對的直角邊等于斜邊的一半較長直角邊是較短直角邊 倍這

2KG最小值”轉(zhuǎn)化為“PH+HK+KM的最小值”題，從而進一步轉(zhuǎn)化為“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)感是學(xué)生應(yīng)具備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它是體現(xiàn)數(shù)學(xué)交流能力的一個方面。而數(shù)學(xué)交流能力就是要讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)課本，進行數(shù)學(xué)的口頭表達和數(shù)學(xué)報告”，讓他們會“充分描述簡單的