專題02圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型（幾何模型講義）數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)

專題02圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R(shí)點(diǎn)，近年來，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對(duì)四點(diǎn)共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運(yùn)算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點(diǎn)共圓的四種重要模型。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運(yùn)用 6模型1.定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義） 6模型2.定邊對(duì)雙直角共圓模型 8模型3.定邊對(duì)定角共圓模型 11模型4.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型 14TOC\o"14"\h\z\u 16漢代數(shù)學(xué)家張丘建在《九章算術(shù)》中首次提出四點(diǎn)共圓的理論雛形，宋代數(shù)學(xué)家基于《九章算術(shù)》進(jìn)一步研究，明確“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形必共圓”的判定條件，與阿拉伯研究形成互補(bǔ)。托勒密在《天文學(xué)大成》中提出?托勒密定理?：若凸四邊形內(nèi)接于圓，則兩對(duì)角線乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和，并給出嚴(yán)謹(jǐn)證明。該定理首次將四點(diǎn)共圓與定量關(guān)系結(jié)合，成為后世判定核心依據(jù)之一。四點(diǎn)共圓模型從東西方獨(dú)立的定性認(rèn)知起步，歷經(jīng)托勒密的定量跨越，最終在近現(xiàn)代整合為系統(tǒng)化工具，成為解決圓相關(guān)幾何問題的通用模型。其發(fā)展體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想從經(jīng)驗(yàn)到邏輯、從孤立到互聯(lián)的演進(jìn)本質(zhì)。初中幾何體系將四點(diǎn)共圓判定歸納為四大核心模型。

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【詳解】解：①連接、，如圖所示：

∴點(diǎn)A，C，E，B在以點(diǎn)O為圓心，以為圓心的圓上，∴點(diǎn)A，C，E，B四點(diǎn)共圓，故②正確；（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）探究與實(shí)踐：“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)，都在點(diǎn)，，所確定的上（依據(jù)）；∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；【反思?xì)w納】圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓；過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等；（）上述探究過程中的“依據(jù)”、“依據(jù)”分別是指什么？依據(jù)：；依據(jù)：．（從框內(nèi)選一個(gè)選項(xiàng)，直接填序號(hào)）∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上（過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓）∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故答案為：，；1.定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義）若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于定長點(diǎn)的集合。條件：如圖1，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。證明：∵OA=OB=OC=OD∴根據(jù)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長點(diǎn)的集合為圓，確定A、B、C、D四點(diǎn)共圓。圖1圖2（同側(cè)型）圖3（異側(cè)型）2.定邊對(duì)雙直角共圓模型定邊對(duì)雙直角模型：一定邊所對(duì)的角為兩個(gè)直角，分同側(cè)型和異側(cè)型兩種情況進(jìn)行討論。1）定邊對(duì)雙直角模型（同側(cè)型）結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。2）定邊對(duì)雙直角模型（異側(cè)型）結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。注意：由于同側(cè)型與異側(cè)型證明相同，故下面證明一次即可。∴根據(jù)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長點(diǎn)的集合為圓，確定A、B、C、D四點(diǎn)共圓。3.定邊對(duì)定角共圓模型定邊對(duì)定角模型：一定邊同側(cè)所對(duì)的角為兩個(gè)相等（為定值）。圖1圖2圖3圖44.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型模型1.定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義）例2（2425·江西贛州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【詳解】如圖，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓．由題意可知：OA=OB=OC=OD．即點(diǎn)A、B、C、D都在圓O上．拓展延伸：①證明：如圖3中，連接，模型2.定邊對(duì)雙直角共圓模型【答案】B

【答案】A

模型3.定邊對(duì)定角共圓模型例1（2324九年級(jí)·福建福州·期中）如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點(diǎn)共圓．【答案】（1）10°；（2）見解析【詳解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°證明（2）∵將ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四點(diǎn)共圓．

例3（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：“樂思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的上．（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．反思?xì)w納：(1)上述探究過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：________________．依據(jù)2：________________．【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓(2)(3)見解析【詳解】（1）解：依題意，結(jié)合上下證明過程得：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；模型4.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型【答案】見解析【答案】/例3（2425九年級(jí)上·云南·期中）綜合與實(shí)踐：“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．

探究展示：如圖2所示，作經(jīng)過點(diǎn)，，的，在劣弧上取一點(diǎn)（不與，重合），點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上，（依據(jù)點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：______；（從右邊框內(nèi)選一個(gè)選項(xiàng)，直接填序號(hào)）依據(jù)2：______．（從右邊框內(nèi)選一個(gè)選項(xiàng)，直接填序號(hào)）①圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；②對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓；③過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；④經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上；【答案】（1）①，③（2）點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上的依據(jù)是：③過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；故答案為：①，③；（2）作過，，的，在劣弧上取點(diǎn)，連接，，如圖：

，，，共圓，即在過，，的上，在過，，的上，，，，，共圓，1．（2425·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．則BD的長為（）【答案】B【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圓A上，∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，【答案】BA．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④【答案】C

【答案】②③④【詳解】解∶如圖1，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)F，連接OC、OD，∴點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，故④正確；∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正確；但是△ODC與△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正確的是②③④，故答案為∶②③④．【答案】130【詳解】解：由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案為：130．7．（2425·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接BC．過點(diǎn)A垂直于AB的直線與過點(diǎn)C垂直于BC的直線交于點(diǎn)D，連接BD，則的值是．【答案】【詳解】∵BA⊥AD，BC⊥CD∴∠BAD=∠BCD=90°∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓∴∠BDA=∠BCA∵∠BDA+∠DBA=∠BCA+∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO∴∠DBA∠CBA=∠CBO∠CBA即∠DBC=∠ABO又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°∴∠BDC=∠BAO∵點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），8．（2425·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．【答案】17【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延長FE至點(diǎn)G，使得FG=FA，連AG，AT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等邊三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四點(diǎn)共圓，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，∵FG=50，TE=16，∴FT=(FGTE)=17．故答案為：17．

【詳解】解：連接并延長，如圖，

(2)【問題探究】根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

11．（2425九年級(jí)上·內(nèi)蒙古通遼·期末）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，那么過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？李雷經(jīng)過實(shí)踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點(diǎn)（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點(diǎn)的連線所組成的夾角相等，那么這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)四點(diǎn)共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．如圖③，若點(diǎn)在內(nèi)，……任務(wù)：(1)上述證明過程中的“依據(jù)”“依據(jù)”分別指什么？依據(jù)：______；

依據(jù)：______．【答案】(1)同弧所對(duì)的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和(2)證明見解析(3)【詳解】（1）解：依據(jù)：同弧所對(duì)的圓周角相等；依據(jù)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；故答案為：同弧所對(duì)的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；12．（2425九年級(jí)上·湖北鄂州·期末）請(qǐng)仔細(xì)閱讀以下材料：定理二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．下面問題的關(guān)鍵地方或許能夠用到上述定理，如果用到，請(qǐng)直接運(yùn)用相關(guān)結(jié)論；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法為主，只要正確，一樣得分．【答案】(1)證明過程見詳解(2)，(3)證明過程見詳解14．（2425九年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）實(shí)踐與探究探究課題：四點(diǎn)共圓的條件課題背景：過任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都能作一個(gè)圓【答案】(1)這個(gè)結(jié)論正確，理由見解析；(2)沒有上述關(guān)系，理由見解析；(3)這個(gè)四邊形相對(duì)的兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)．【詳解】（1）解：這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：∵如圖1，經(jīng)過四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D，∴如果過某個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不能作一個(gè)圓，那么其相對(duì)的兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)．∴如果過某個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不能作一個(gè)圓，那么其相對(duì)的兩個(gè)內(nèi)角之間不具備上述關(guān)系．∴如果過某個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不能作一個(gè)圓，那么其相對(duì)的兩個(gè)內(nèi)角之間不具備上述關(guān)系．（3）解：根據(jù)（1）（2）可得：如圖2：判定過某個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓的條件是這個(gè)四邊形相對(duì)的兩個(gè)內(nèi)角互補(bǔ)．【詳解】（1）證明：連接，取的中點(diǎn)，連接、，∴、、、四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓上．16．（2425九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）【材料閱讀】如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，簡稱“四點(diǎn)共圓”．在教材中學(xué)習(xí)了定理“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究，提出猜想“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”并嘗試用反證法進(jìn)行驗(yàn)證．證明：過點(diǎn)A、B、D作，假設(shè)點(diǎn)C不在上，則點(diǎn)C在外或內(nèi)若點(diǎn)C在圓內(nèi)，……（1）在圖2中，用直尺和圓規(guī)作出過點(diǎn)A，B，D的圓，參考以上思路補(bǔ)全圖形并完成后續(xù)證明；【深入探究】得出“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓”是真命題后，繼續(xù)思考，四點(diǎn)共圓還可以有其他的條件嗎？請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上展開探究：【結(jié)論應(yīng)用】應(yīng)用以上結(jié)論，解決下列問題：∴點(diǎn)C在圓上，∴點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；（2）如圖，作經(jīng)過點(diǎn)A、B、D的，點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）點(diǎn)C在點(diǎn)A、B、E所確定的上，也就是在點(diǎn)A、B、D所確定的上，點(diǎn)A