專題02三角形中的倒角模型之平分平行（射影）構(gòu)等腰角平分線第二定理模型（幾何模型講義）數(shù)學(xué)人教版2024八年級上冊

專題02三角形中的倒角模型之平分平行（射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運用 6模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型 6模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型 9 131842年斯坦納雷米歐司定理的純幾何證明完成，該定理證明過程中大量涉及角平分線與平行線的構(gòu)造技巧，?間接催生了"角平分線+平行線→等腰三角形"這一輔助線作法的明確化和模型化?。隨著幾何教育的發(fā)展，教育研究者?將實踐中高頻出現(xiàn)的解題模式進行總結(jié)歸類??！捌椒制叫袠?gòu)等腰”（或“角平分線+平行線→等腰”）因其簡潔性與普適性，被提煉為標(biāo)準(zhǔn)化模型，作為角平分線非全等類模型的核心之一，與“射影構(gòu)等腰”（角平分線+垂直→等腰）并列，納入專題教學(xué)體系。這一模型并非由單一學(xué)者獨創(chuàng)，而是幾何學(xué)基本原理（尤其是角平分線和平行線性質(zhì)）在解決經(jīng)典問題（如斯坦納雷米歐司定理）中自然衍生的方法結(jié)晶。其現(xiàn)代形式的明確化與命名，是?19世紀(jì)定理證明方法與20世紀(jì)后教學(xué)經(jīng)驗提煉?共同作用的結(jié)果?！敬鸢浮俊敬鸢浮?1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求：；（2024·上海浦東新·三模）愛動腦筋的小李同學(xué)在學(xué)習(xí)完角平分線的性質(zhì)后意猶未盡，經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)里面還有一個有趣的結(jié)論：1）角平分線加平行線必出等腰三角形．圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。證明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。證明：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。證明：由題意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。證明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。3）內(nèi)角平分線定理4）外角平分線定理圖2圖35）奔馳模型（面積）模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型【答案】BA．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【答案】5【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7【答案】D【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2（3）由（2）知，=BC=4，AB=6，AC=5，例4（2425九年級上·重慶九龍坡·期末）三角形角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．

(2)證明：結(jié)合以上探究可知：三角形的一個外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊______⑤．【詳解】（1）解：所作圖形，如圖所示，

∴三角形的一個外角的角平分線外分對邊所成兩條線段，這兩條線段和夾相應(yīng)的內(nèi)角的兩邊成比例．A． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．【答案】CA．9 B．18 C．4.5 D．以上都不對【答案】AA． B． C． D．【答案】A【答案】A【答案】B【詳解】解：∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；∴∠OBD=∠BOD，∠EOC=∠OCE；∴BD=OD，CE=OE；∴△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC【答案】B∴點到三角形三邊的距離相等，設(shè)點到三角形三邊的距離為x8.（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【詳解】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=3，∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，∴∠AEB=∠CBE，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵ED=2，∴AD=AE+DE=5，∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，故選B.A． B． C． D．【答案】C【答案】【答案】4cm；【點睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．【答案】42【答案】①②④【答案】(1)2(2)(3)【答案】6【詳解】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6．17．（2223九年級上·山西運城·期中）閱讀與思考請仔細閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．下面是小宇同學(xué)運用面積的思想對“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例．”進行了證明．【答案】(1)見解析(2)見解析

18．（2025·山西臨汾·二模）閱讀與思考在學(xué)習(xí)完角平分線的相關(guān)輔助線后，老師讓學(xué)生探究角平分線分線段成比例定理，以下是小宇同學(xué)的探究過程：下面是小宇對這個定理的證明過程．任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是_______，依據(jù)2是_______；(2)你有不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程；【答案】(1)平行線分線段成比例定理，等