專題12二次根式的混合運(yùn)算（2知識(shí)點(diǎn)7大題型思維導(dǎo)圖過關(guān)測）

專題12二次根式的混合運(yùn)算內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）知識(shí)點(diǎn)02二次根式的分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào).【題型1二次根式的混合運(yùn)算】例題：（2425八年級(jí)下·天津靜?！て谥校┯?jì)算：【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，進(jìn)行加減運(yùn)算，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可；（2）先化簡計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再進(jìn)行乘除運(yùn)算即可．【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：【答案】(1)；【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）先算乘除，再化簡各數(shù)，最后合并同類二次根式即可；（2）先進(jìn)行完全平方和平方差公式的計(jì)算，再合并同類二次根式即可．2．（2425八年級(jí)下·山東威?！て谥校┯?jì)算：【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．（1）先根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；（2）先化簡絕對值、將完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)，即可求解．3．（2425八年級(jí)下·四川南充·期中）計(jì)算：【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，熟知二次根式的混合計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先利用平方差公式去括號(hào)，然后化簡二次根式和絕對值，再計(jì)算加減法即可得到答案；（2）先化簡二次根式，再計(jì)算二次根式乘除法，最后計(jì)算加法即可得到答案．．【題型2二次根式的分母有理化】例題：（2425八年級(jí)下·云南昆明·期中）觀察下列等式：(1)按照上述規(guī)律，第6個(gè)等式：______；第n個(gè)等式：______；【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）利用前面4個(gè)等式的規(guī)律，找出序號(hào)數(shù)與被開方數(shù)的關(guān)系寫出第6個(gè)和第n個(gè)等式；（2）直接合并同類二次根式即可．…【變式訓(xùn)練】1．（2425八年級(jí)下·全國·單元測試）觀察下列各式；(1)照此排列方式，請寫出第n式；【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查的是分母有理化及二次根式的加減運(yùn)算，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出第個(gè)式子即可；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律計(jì)算出式子的結(jié)果即可．2．（2425八年級(jí)下·全國·單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題：以上這種化簡的過程叫分母有理化．【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查閱讀理解，涉及分母有理化等知識(shí)，讀懂材料，理解材料中分母有理化方法是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)閱讀材料中的方法化簡即可得到答案；（2）由材料中的方法先化簡，再由二次根式加減運(yùn)算求解即可得到答案．3．（2425八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）課本知識(shí)再現(xiàn)：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、二次根式的加減運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可解答；（2）根據(jù)題中介紹的方法進(jìn)行分母有理化即可；（3）先通過分母有理化化簡，然后在運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．4．（2425八年級(jí)下·全國·單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題：以上這種化簡的過程叫分母有理化．【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查閱讀理解，涉及分母有理化等知識(shí)，讀懂材料，理解材料中分母有理化方法是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)閱讀材料中的方法化簡即可得到答案；（2）由材料中的方法先化簡，再由二次根式加減運(yùn)算求解即可得到答案．【題型3已知字母的值，化簡求值】(2)【知識(shí)點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、二次根式的乘法、二次根式的加減運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、平方差公式、完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，利用合并同類二次根式的法則和平方差公式計(jì)算即可得解；（2）利用完全平方公式變形計(jì)算即可得解．【變式訓(xùn)練】【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、已知字母的值，化簡求值【分析】本題主要考查了分式化簡求值，二次根式混合運(yùn)算，平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．（1）根據(jù)平方差公式和二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后代入求值即可．．(2)【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，化簡求值【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、已知字母的值，化簡求值【分析】本題考查了代數(shù)式求值，二次根式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式將原式變形，再代入求解即可；；【題型4已知條件式，化簡求值】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的平方根、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、已知條件式，化簡求值【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【答案】【知識(shí)點(diǎn)】通過對完全平方公式變形求值、分母有理化、已知條件式，化簡求值【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、二次根式的混合運(yùn)算、已知條件式，化簡求值【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，先根據(jù)二次根式有意義的條件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代數(shù)式，依據(jù)二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得．請你根據(jù)上述分析過程，解決如下問題：【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、已知條件式，化簡求值【分析】本題考查的是分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，求解代數(shù)式的值；【題型5比較二次根式的大小】仔細(xì)研讀上面的解題方法，然后完成下列問題：(2)9【知識(shí)點(diǎn)】比較二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算【分析】此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對值相同．（1）根據(jù)閱讀材料中的方法將兩式化簡，即可做出比較；（2）原式變形后，計(jì)算即可得到結(jié)果．【變式訓(xùn)練】仔細(xì)研讀上面的解題方法，然后完成下列問題：(2)9【知識(shí)點(diǎn)】比較二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算【分析】此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對值相同．（1）根據(jù)閱讀材料中的方法將兩式化簡，即可做出比較；（2）原式變形后，計(jì)算即可得到結(jié)果．2．（2425八年級(jí)下·重慶渝北·期中）閱讀下列材料，并回答問題．；…(3)44【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、比較二次根式的大小【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，讀懂閱讀材料找到算式規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（2）仿照材料方法計(jì)算即可；在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)．解答下列問題：(3)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算、分母有理化、比較二次根式的大小【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法．（1）根據(jù)題意可以得到所求式子的分母有理化因式，并將題目中的二次根式化簡；（2）根據(jù)分母有理化的方法可以化簡題目中的式子，再進(jìn)行加減計(jì)算，即可求解；（3）先計(jì)算兩數(shù)的倒數(shù)，根據(jù)分母有理化，進(jìn)而比較即可求解．故答案為：．(2)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、比較二次根式的大小【分析】本題考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算．熟練掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（2）先將括號(hào)中的每一項(xiàng)分母有理化，進(jìn)一步計(jì)算求解即可；故答案為：；【題型6二次根式的規(guī)律探究問題】例題：（2425八年級(jí)下·四川自貢·期中）探索下列等式規(guī)律，并解決下列問題：【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】……【規(guī)律探索】（1）第5個(gè)等式：_______；（2）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述第n個(gè)等式為_______；【規(guī)律應(yīng)用】（3）44【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，數(shù)字類規(guī)律探索，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給的式子的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的式子的形式即可得出規(guī)律；（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【變式訓(xùn)練】1．（2425八年級(jí)下·新疆喀什·階段練習(xí)）觀察下列等式：…(1)請寫出第④個(gè)等式；(2)9【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查了分母有理化，以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給算式的特點(diǎn)寫出第④個(gè)等式即可；（2）先分母有理化，再算加減即可．2．（2425八年級(jí)下·安徽蕪湖·期中）觀察以下等式：．．．．．．按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第4個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明：(3)【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的等式，找到等式的特點(diǎn)，得出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目中所給的5個(gè)等式，結(jié)合規(guī)律即可寫出答案；（2）找到等式的規(guī)律，寫出第個(gè)等式，通過化簡證明等式成立；（3）利用題中的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．證明如下：3．（2425七年級(jí)上·山東淄博·期末）細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題：…(1)請用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上述規(guī)律；(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、二次根式的混合運(yùn)算、用勾股定理解三角形【分析】本題考查的數(shù)字規(guī)律探索及二次根式的運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是觀察，觀察題中給出的結(jié)論，由此結(jié)論找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．（2）根據(jù)勾股定理，結(jié)合（1）中規(guī)律即可求出；（3）根據(jù)總結(jié)的規(guī)律計(jì)算，得到答案．……【題型7二次根式的新定義運(yùn)算】(2)；【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查了“美好數(shù)”的新定義，分母有理化，二次根式的運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）利用“美好數(shù)”的新定義，分母有理化解答即可求解；（）利用“美好數(shù)”的新定義，分母有理化解答即可求解；【詳解】（1）解：由“美好數(shù)”的新定義可得，；【變式訓(xùn)練】1．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知a、b互為倒數(shù)，請根據(jù)倒數(shù)的定義完成下列各題：【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)、二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可；（2）①先根據(jù)倒數(shù)的定義求解，再分母有理化即可；②根據(jù)倒數(shù)的定義列式求解即可．(1)4與_____是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，則是_____，表示的值的點(diǎn)落在數(shù)軸上的位置位于_____．(2)是；理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、二次根式的加減運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的乘除運(yùn)算和加減運(yùn)算．掌握本題的關(guān)鍵是：①能理解題述1的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”的定義，并據(jù)此作出計(jì)算；②掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．（1）根據(jù)所給的例子，可得出實(shí)驗(yàn)數(shù)的求法，由此即可計(jì)算4與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”；∴與是關(guān)于的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”；∴表示的值的點(diǎn)落在數(shù)軸上的位置位于1和2之間，即位置④；，(3)見解析【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、復(fù)合二次根式的化簡、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查完整根式，完整平方根的理解；（1）利用完整根式，完整平方根的定義計(jì)算，即可解答；（2）利用完整根式，完整平方根的定義計(jì)算，即可解答；（3）利用完整根式，完整平方根的定義計(jì)算，即可解答；理由如下：∵，，，都是整數(shù)，∵，都是整數(shù)，一、單選題A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】無理數(shù)的大小估算、二次根式的混合運(yùn)算【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．首先根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則化簡，然后利用無理數(shù)的估算求解即可．故選：D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，化簡求值【分析】本題主要考查了完全平方公式、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)分母有理化化簡成為解題的關(guān)鍵．故選C．A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比較二次根式的大小、二次根式的混合運(yùn)算、二次根式的加減運(yùn)算【分析】本題考查的是二次根式的加減運(yùn)算，混合運(yùn)算，二次根式的大小比較，先把選項(xiàng)中的運(yùn)算符號(hào)代入進(jìn)行計(jì)算，再比較大小即可．∴當(dāng)算式的結(jié)果最大時(shí)，“口”表示的運(yùn)算符號(hào)是；故選：D4．（2425八年級(jí)下·山東泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一張如圖所示的紙質(zhì)卡片，卡片上分別寫有一個(gè)算式，這四張卡片中，算式的計(jì)算結(jié)果是有理數(shù)的有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，計(jì)算出甲、乙、丙、丁中式子的結(jié)果，即可得到有幾張卡片中式子的計(jì)算結(jié)果是有理數(shù)．【詳解】解：由圖可得，故選：B．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，新定義，按照新定義，逐一判斷即可，能理解題意熟練計(jì)算解此題的關(guān)鍵．故與不一定是關(guān)于1的平衡數(shù)，故該說法符合題意，故選：D．二、填空題【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的乘法和加減運(yùn)算，同類二次根式的合并，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；首先利用二次根式乘法法則計(jì)算，然后合并同類二次根式即可解答．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【答案】【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、已知條件式，化簡求值【分析】本題考查了二次根式求值，利用平方差公式計(jì)算即可，掌握平方差公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化、二次根式的混合運(yùn)算、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算【分析】本題考查定義新運(yùn)算，二次根式分母有理化，平方差公式等．（1）根據(jù)題意利用題中例子計(jì)算即可；故答案為：；三、解答題11．（遼寧省營口市、鞍山市部分學(xué)校20242025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：【答案】(1)(2)4【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡、二次根式的混合運(yùn)算【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．（1）化簡后合并同類二次根式即可；（2）先計(jì)算二次根式的乘除法，再計(jì)算加減法即可．12．（2425八年級(jí)下·河南三門峽·期中）計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的除法、二次根式的混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算和二次根式的除法計(jì)算，熟知二次根式的相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)二次根式的除法計(jì)算法則求解即可；（2）先利用完全平方公式和二次根式乘法計(jì)算法則去括號(hào)，然后計(jì)算加減法即可得到答案．13．（2425八年級(jí)下·天津·期中）計(jì)算：(3)7【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本