專題01集合的概念（預(yù)備知識(shí)）

專題01集合的概念1、通過具體的實(shí)例，能根據(jù)集合中元素的確定性、互異性和無序性判斷某些元素的全體是否能組成集合，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2、知道元素與集合之間的關(guān)系，會(huì)用符號(hào)“”“”表示元素與集合的關(guān)系，能用常用數(shù)集的符號(hào)表示有關(guān)集合.3、會(huì)根據(jù)具體問題的條件，用列舉法表示給定的集合；能概括給定數(shù)學(xué)對(duì)象的一般特征，并用描述法表示集合，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，增強(qiáng)用集合表示數(shù)學(xué)對(duì)象的意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1．元素與集合的概念及表示(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡(jiǎn)記為“無序性”．3．元素與集合的關(guān)系4．常用的數(shù)集及其記法常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)學(xué)符合或5．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(2)具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：集合的基本概念典型例題例題1．（2425高一上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）給出下列說法：①所有接近于的數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；③高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；④所有不大于的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；⑤，，，組成的集合含有個(gè)元素．其中正確的是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于①：接近于的數(shù)不能確定，所以不能構(gòu)成集合，故①錯(cuò)誤；對(duì)于③：高科技產(chǎn)品不能確定，所以不能構(gòu)成一個(gè)集合，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：不大于的自然數(shù)為0，1，2，3，能構(gòu)成集合，故④正確；故選：D.例題2．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是（

）A．?dāng)?shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本中所有的難題 B．小于8的所有素?cái)?shù)C．直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn) D．所有小的正數(shù)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合的確定性逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合；對(duì)于選項(xiàng)B：小于8的所有素?cái)?shù)有2，3，5，7，能構(gòu)成集合；對(duì)于選項(xiàng)C：“一些點(diǎn)”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無法確定，因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合；對(duì)于選項(xiàng)D：沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能構(gòu)成集合．故選：B.精練1．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列給出的對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（

）A．著名物理家 B．很大的數(shù) C．聰明的人 D．小于3的實(shí)數(shù)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合中元素的特性即可判斷.【詳解】只有選項(xiàng)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，能構(gòu)成一個(gè)集合．故選：.2．（2425高一上·重慶渝北·期中）下列選項(xiàng)中元素的全體可以組成集合的是（

）A．學(xué)?；@球水平較高的學(xué)生 B．校園中長(zhǎng)的高大的樹木C．2007年所有的歐盟國(guó)家 D．中國(guó)經(jīng)濟(jì)較發(fā)達(dá)的地區(qū)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】由集合的三要素：確定性，互異性，無序性作出判斷【詳解】A選項(xiàng)，“水平較高”不明確，不滿足確定性，A選項(xiàng)不能組成集合；B選項(xiàng)：“長(zhǎng)得高”不明確，不滿足確定性，B選項(xiàng)不能組成集合；C選項(xiàng)：2007年所有的歐盟國(guó)家滿足“確定性，互異性，無序性”能構(gòu)成集合；D選項(xiàng)：“較發(fā)達(dá)”不明確，不滿足確定性，D選項(xiàng)不能組成集合.故選：C.3．（2425高一上·河南洛陽·階段練習(xí)）以下四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（

）.A．最大的正實(shí)數(shù) B．最小的整數(shù)C．平方等于1的實(shí)數(shù) D．最接近1的實(shí)數(shù)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】利用可構(gòu)成集合的元素的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，無法確定最大的正實(shí)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，無法確定最小的整數(shù)是哪一個(gè)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平方等于1的實(shí)數(shù)為，可以構(gòu)成集合，故C正確；對(duì)于D，無法確定最接近1的實(shí)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：判斷元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（2425高一上·安徽銅陵·期末）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】根據(jù)常用集合的符號(hào)和含義作出判斷，得到答案.故選：C例題2．（2425高一上·湖南邵陽·期中）下列關(guān)系中正確的是（

）【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】利用元素與集合之間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷可得結(jié)果.故選：A精練1．（2425高一上·甘肅·階段練習(xí)）下列關(guān)系正確的是（

）【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】根據(jù)選項(xiàng)中大寫字母代表的數(shù)集，結(jié)合元素與集合的屬于關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】四個(gè)選項(xiàng)中的大寫字母分別代表正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集，故選：D【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】由元素與集合的關(guān)系即可直接判斷故選：C.A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】依次判斷出各數(shù)所屬于的數(shù)域范圍，再利用元素與集合的關(guān)系判定即可.故選：C.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：利用集合中元素的互異性求參數(shù)典型例題A．3 B．1 C．3或1 D．0【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)故選：A【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得出方程求解，結(jié)合集合中元素的互異性檢驗(yàn)即可.故答案為：2精練A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)故選：BA．2 B．3 C． D．5【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求解.故選：BD.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，結(jié)合元素的互異性即可求解.故答案為：.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：用列舉法表示集合典型例題【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合故選：C.【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】利用常用數(shù)集的意義列舉出所有元素即可.精練【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合【分析】解一元二次方程，即可求出集合.故選：C．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合【分析】根據(jù)集合中的元素特征可得出集合.故選：B.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合、描述法表示集合【分析】解一元一次不等式，寫出集合中的元素，利用列舉法可得答案.故選：B.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：用描述法表示集合典型例題【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合、描述法表示集合【分析】根據(jù)給定的集合的公共屬性及各選項(xiàng)中集合表示的數(shù)的特征判斷即得.對(duì)于AB，集合AB中的有負(fù)數(shù)，AB不是；對(duì)于C，集合中沒有，C不是；故選：D例題2．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐標(biāo)系中的x軸上的點(diǎn)組成的集合；【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合【分析】（1）（2）（3）根據(jù)各項(xiàng)文字描述寫出集合的描述形式即可.精練【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合【分析】解不等式即可求解.故選：D.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合【分析】根據(jù)集合中元素的特點(diǎn)用描述法表示即可.故選：C.3．（多選）（2425高一下·河北保定·階段練習(xí)）下列用描述法表示的集合，正確的是（

）【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合【分析】根據(jù)描述法的特點(diǎn)逐項(xiàng)分析即可.故選：ACD.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)六：集合中的含參問題角度1：已知集合相等求參數(shù)典型例題A． B．1 C． D．0【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等列式求解即可.故選：A.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等分析求解即可.故答案為：.精練A．0 B．C．1 D．2【答案】BD【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)故選：BD.【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】利用相等集合的元素關(guān)系，即可求解.故答案為：1．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)故答案為：.角度2：已知集合元素個(gè)數(shù)求參數(shù)典型例題【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)故選：B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)精練【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】利用集合元素個(gè)數(shù)，結(jié)合方程的解求出.故選：CA． B． C． D．【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)綜上實(shí)數(shù)的值可以為，.故選：AD【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【詳解】因?yàn)榧现袃H含有一個(gè)元素，一、單選題A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】根據(jù)題意求出的取值，即可得解.即集合中有個(gè)元素.故選：C.A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】列舉法求集合中元素的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)題意，采用列舉法表示集合即可求解.所以集合含有6個(gè)元素.故選：C.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】需要注意集合中的元素的形式，本題的A選項(xiàng)和C選項(xiàng)與集合的元素形式不同，可以直接排除，再用代入法即可選出正確答案D.【詳解】集合A的元素表示的是平面直角坐標(biāo)系中一條直線上的點(diǎn)（數(shù)對(duì)），選項(xiàng)A和選項(xiàng)C表示的都是只有一個(gè)點(diǎn)作為元素的集合，可以首先排除；故選D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】由集合的概念可得集合C中的元素.故選：A.5．（2425高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合B．聯(lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)能組成一個(gè)集合【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)題意，利用集合的定義逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹芟矚g足球的同學(xué)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合的確定性，所以不能組成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槁?lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)有明確的標(biāo)準(zhǔn)，符合集合的確定性，所以能組成一個(gè)集合，故B正確；故選：B.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】通過列舉法表示集合，逐項(xiàng)判斷即可故A，C，D錯(cuò)誤，B正確故選：B.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)題意列出不等式組即可求出結(jié)果.故選：C.A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)故選：A二、多選題9．（2425高一上·福建泉州·階段練習(xí)）下面四個(gè)說法中正確的是（

）D．與表示同一個(gè)集合【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合、判斷是否為同一集合【分析】直接運(yùn)用集合的含義和集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．對(duì)于D，表示以為元素的集合，故D錯(cuò)誤．故選：AB．【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合、列舉法表示集合【分析】通過聯(lián)立方程組的方法來求得正確答案.故選：BC三、填空題【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，化方程為一元二次方程，再利用根的情況列式計(jì)算得解.由已知集合只有一個(gè)元素，【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合【分析】根據(jù)集合描述，應(yīng)用列舉法表示集合即可.四、解答題13．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希⒅赋瞿男┦怯邢藜?，哪些是無限集．(1)大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合C；【知識(shí)點(diǎn)】描述法表示集合、列舉法表示集合、集合的分類【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)描述寫出集合的描述形式，即可判斷有限或無限.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】分兩種情況討論，結(jié)合集合元素間的互異性即可求解.A．5 B．3 C．2 D．1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)故選：A.【答案】②③④【知識(shí)點(diǎn)】集合的分類【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義，將無限循環(huán)小數(shù)整理為分?jǐn)?shù)性質(zhì)，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.故答案為：②③④．(1)寫出一個(gè)“二元和諧集”(無需寫計(jì)算過程)；(3)是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”？如果有，有幾個(gè)？請(qǐng)說明理由.(2)證明過程見解析【知識(shí)點(diǎn)】集合元素