專題1.1有理數(shù)的引入（高效培優(yōu)講義）（原卷版）

專題1.1有理數(shù)的引入1.正確理解正、負(fù)數(shù)及零的意義,會(huì)用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù).（重點(diǎn)）2.理解有理數(shù)的有關(guān)概念及其分類，了解集合的概念.（難點(diǎn)）3.通過(guò)有理數(shù)的學(xué)習(xí),感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,培養(yǎng)觀察、歸納與概括能力. 1.定義?在生活中存在各種各樣的量，其中有一類量，它們的屬性相同(即同類量)，但表示的意義卻相反，我們把這樣的量叫做具有相反意義的量.具有相反意義的量的“兩要素”：(1)具有相反意義的量是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)量不能稱為具有相反意義的量.(2)具有相反意義的量必須是同類量，只要求具有相反意義，不要求數(shù)量一定相等.2.用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量為了更好地區(qū)分這些具有相反意義的量，若我們把其中一種意義的量用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負(fù)數(shù)表示.用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，一般地，向指定趨勢(shì)變化用正數(shù)表示，向指定趨勢(shì)的相反趨勢(shì)變化用負(fù)數(shù)表示.（2425七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其中“方程術(shù)”中明確引進(jìn)了“負(fù)數(shù)”，用正、負(fù)數(shù)來(lái)表示具有相反意義的量，說(shuō)明我國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家．如果在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，以70分為基準(zhǔn)，80分記作分，那么60分應(yīng)記作（

）A．分 B．分 C．分 D．分 1.定義正數(shù)：像3、3.5、500、1.2這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).負(fù)數(shù)：像－12、－2.5、－237、－0.7這樣在正數(shù)前加上符號(hào)“－”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù).0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).2.數(shù)的符號(hào)?一個(gè)數(shù)前面的“+”“－”號(hào)叫做它的符號(hào)，其中“+”號(hào)可以省略不寫，而“－”號(hào)不能省略不寫.3.符號(hào)“+”“－”的雙重含義(1)作為運(yùn)算符號(hào)是加減號(hào)；(2)作為性質(zhì)符號(hào)是正負(fù)號(hào).1.正數(shù)的實(shí)質(zhì)是大于0的數(shù)，它可以帶著“+”(正)號(hào)，也可以省略“+”號(hào).2.負(fù)數(shù)就是在正數(shù)的前面加上“”號(hào)的數(shù).3.正數(shù)與負(fù)數(shù)的特征：(1)不為0；(2)含“+”“－”號(hào).下列各數(shù)中，正數(shù)有哪些？負(fù)數(shù)有哪些？不是負(fù)數(shù)的有幾個(gè)？ 1.整數(shù)正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，如3、2、0、1、2、3.......3.有理數(shù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)4.部分常用的數(shù)的名稱(1)正整數(shù):大于0的整數(shù);負(fù)整數(shù):小于0的整數(shù)（3）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0；非正數(shù)：負(fù)數(shù)和0．1.非負(fù)整數(shù)是在整數(shù)范圍內(nèi)取非負(fù)數(shù)，包括正整數(shù)和0.2.引入負(fù)數(shù)后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也相應(yīng)地?cái)U(kuò)大了,奇數(shù)和偶數(shù)也可以是負(fù)數(shù)3.自然數(shù)包括0和正整數(shù)1.有理數(shù)的分類(1)按定義分類(2)按性質(zhì)分類1.不管按什么標(biāo)準(zhǔn)分類，最終都將有理數(shù)分為五類:正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、2.正有理數(shù)都是正數(shù)，但正數(shù)不一定都是正有理數(shù)2.有理數(shù)分類的三原則(1)分類不重復(fù):所分的冬類應(yīng)當(dāng)互不包含(2)分類無(wú)遺漏:所分各類之“和”必須是原來(lái)的全部(3)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一:必須按同一分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類1.定義把一些數(shù)放在一起，就組成一個(gè)數(shù)的集合，簡(jiǎn)稱數(shù)集.2.數(shù)集的兩種常見形式把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中．（注意：只填序號(hào)）正數(shù)集合{…}；負(fù)數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分?jǐn)?shù)集合{…}；非負(fù)整數(shù)集{…}．題型一、相反意義的量典例1（2425七年級(jí)上·廣東廣州·期中）下面兩個(gè)量中，不具有相反意義的是（

）A．盈利和虧損元 B．浪費(fèi)水和節(jié)約水此題考查了相反意義的量．根據(jù)相反意義的量的定義進(jìn)行判斷即可．A、盈利和虧損元，是互為相反意義的量，故選項(xiàng)不符合題意；B、浪費(fèi)水和節(jié)約水，是互為相反意義的量，故選項(xiàng)不符合題意；C、進(jìn)三個(gè)球和輸三場(chǎng)比賽，不是互為相反意義的量，故選項(xiàng)符合題意；C．題型二、正負(fù)數(shù)的定義例2（2425七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）下列四個(gè)數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（

）A．1.2 B．1 C． D．0本題考查負(fù)數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是明確負(fù)數(shù)的定義，即小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)．明確正數(shù)，負(fù)數(shù)和0的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)中的數(shù)與0的大小關(guān)系．A、1.2是正數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B、1是正數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C、小于0，根據(jù)負(fù)數(shù)的定義：小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)，所以是負(fù)數(shù)，C項(xiàng)正確；D、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)誤．C．21（2425七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）下列四個(gè)數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（

）A． B．0 C． D．22（2425七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）下列四個(gè)有理數(shù)中，負(fù)數(shù)的是（

）A．0 B． C．3 D．24（2425七年級(jí)上·河南駐馬店·期中）大于的數(shù)是正數(shù)，小于的數(shù)是負(fù)數(shù)．題型三、正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例3（2425七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）七年一班某次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均成績(jī)是105分，小明得了110分，記作分，小麗的成績(jī)記作分，則小麗本次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)?yōu)椋?/p>

）A．118分 B．112分 C．108分 D．103分本題考查了正負(fù)數(shù)在實(shí)際成績(jī)表示中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解以平均成績(jī)?yōu)榛鶞?zhǔn)，高于平均成績(jī)記為正，低于平均成績(jī)記為負(fù)．先根據(jù)小明的成績(jī)和記分情況確定記分規(guī)則，再依據(jù)此規(guī)則求出小麗的成績(jī)．D．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)34（2425七年級(jí)上·山西呂梁·期末）第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在法國(guó)巴黎舉行，下表是幾個(gè)城市與北京的時(shí)差（兩個(gè)地區(qū)地方時(shí)之間的差別）：（帶“”號(hào)的數(shù)表示同一時(shí)刻該地區(qū)時(shí)間比北京時(shí)間早的小時(shí)數(shù)）城市紐約倫敦巴黎首爾時(shí)差?yuàn)W運(yùn)會(huì)開幕式的時(shí)間是巴黎時(shí)間7月26日19時(shí)30分，對(duì)應(yīng)下列城市的時(shí)間是（

）．A．倫敦時(shí)間7月26日18時(shí)30分 B．北京時(shí)間7月27日3時(shí)30分C．紐約時(shí)間7月26日14時(shí)30分 D．首爾時(shí)間7月27日5時(shí)30分題型四、有理數(shù)的定義例4（2425七年級(jí)上·廣東廣州·期中）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的兩種分類方法判斷即可．②是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故②正確；③非負(fù)有理數(shù)是大于或等于零的有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；④是有理數(shù)，故④錯(cuò)誤；⑤沒(méi)有最小的有理數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；⑥有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故⑥錯(cuò)誤；D．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)42（2425七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）①在和之間沒(méi)有正數(shù)；②在0與之間沒(méi)有負(fù)數(shù)；③在和之間有很多個(gè)正分?jǐn)?shù)；④在和之間沒(méi)有正分?jǐn)?shù)．A．③ B．④ C．①②③ D．③④A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)A． B． C． D．題型五、0的意義例5（2425七年級(jí)上·湖南湘西·期中）下列對(duì)“0”的說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒(méi)有”；③0可以表示特定的意義，如；④0是正數(shù)．A．1 B．2 C．3 D．4本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，根據(jù)0的意義，逐一判斷即可解答．①因?yàn)檎龜?shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，所以0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界，故①正確；②0除了表示“什么也沒(méi)有”，還可以表示其他意義，如等，故②錯(cuò)誤；③0可以表示特定的意義，如，故③正確；④0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故④錯(cuò)誤，綜上所述：正確的有①③，共2個(gè)，B．51（2324七年級(jí)上·河南許昌·開學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．0是正數(shù) B．0是負(fù)數(shù) C．0是整數(shù) D．0是分?jǐn)?shù)52（2425七年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）0的發(fā)現(xiàn)被稱為人類偉大的發(fā)現(xiàn)之一．0在我國(guó)古代叫做金元數(shù)字，意思是極為珍貴的數(shù)字，下列關(guān)于0在生活中的應(yīng)用的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（

）A．是一個(gè)確定的溫度 B．海拔表示沒(méi)有海拔C．24小時(shí)時(shí)制中，0點(diǎn)表示一天的開始時(shí)刻 D．在二進(jìn)制中，0是基本的數(shù)字表示53（2425七年級(jí)上·云南·期中）下列說(shuō)法正確的是（）B．不帶“”號(hào)的數(shù)都是正數(shù)C．0是自然數(shù)也是正數(shù)D．能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)54（2223七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）下列語(yǔ)句中正確的有(

)個(gè)．①不帶“”號(hào)的數(shù)都是正數(shù)；②如果是正數(shù)，那么一定是負(fù)數(shù)；③不存在既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的數(shù)；④表示沒(méi)有溫度．A．1 B．2 C．3 D．4題型六、有理數(shù)的分類本題考查了有理數(shù)的分類，負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，負(fù)分?jǐn)?shù)是小于0的分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)．根據(jù)小于零的分?jǐn)?shù)是負(fù)分?jǐn)?shù)，可得答案．是負(fù)分?jǐn)?shù)，D．負(fù)數(shù)集合：｛______｝…；正整數(shù)集合：｛______｝…；分?jǐn)?shù)集合：｛______｝…62（2425七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）把下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的集合里：

整數(shù)集合：{__________________}；負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{__________________}；正有理數(shù)集合：{__________________}．63（2425七年級(jí)上·福建漳州·期中）把下列各數(shù)填寫在相應(yīng)的集合中．64（2324七年級(jí)上·青海西寧·期中）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里．65（2425七年級(jí)上·云南西雙版納·期中）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里．整數(shù)集合：

；負(fù)有理數(shù)集合：

；正分?jǐn)?shù)集合：

；非負(fù)整數(shù)集合：

．(1)正有理數(shù)集合：{

…}．(2)負(fù)有理數(shù)集合：{

…}．(3)整數(shù)集合：{

…}．題型七、帶“非”字的有理數(shù)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)本題考查有理數(shù)，理解有理數(shù)、非負(fù)整數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)，非負(fù)整數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．B．71（2425七年級(jí)上·甘肅隴南·期末）在、、0、、2、3、4中，非負(fù)整數(shù)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)72（2425七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)里．整數(shù)集合：{

…}負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{

…}非負(fù)有理數(shù)集合：{

…}正數(shù)：{

…}；非負(fù)整數(shù)：{

…}；整數(shù)：{

…}；負(fù)分?jǐn)?shù)：{

…}．正數(shù)集合：{

…}；負(fù)數(shù)集合：{

…}；非負(fù)整數(shù)集合：{

…}；有理數(shù)集合：{

…}．對(duì)有理數(shù)的分類理解不清導(dǎo)致出錯(cuò)例1下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．有理數(shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù) B．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)C．一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù) D．以上說(shuō)法都不對(duì)有理數(shù)按定義分為整數(shù)和分?jǐn)?shù),按性質(zhì)分為正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】∵有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，∴A錯(cuò)誤，∵有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，∴一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，∴B正確，∵有理數(shù)分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，∴C錯(cuò)誤，1.對(duì)有理數(shù)的分類只能按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分,不能相互混淆2.按性質(zhì)分類時(shí)易漏掉0.1．[新視角]（2425七年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖是一種轉(zhuǎn)盤型密碼，每次開鎖時(shí)需要先把表示“”的刻度線與固定盤上的標(biāo)記線對(duì)齊、再按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)帶有刻度的轉(zhuǎn)盤三次，例如，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)個(gè)小格記為“”，此時(shí)標(biāo)記線對(duì)準(zhǔn)的數(shù)是．再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)小格記為“”，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)小格記為“”，鎖可以打開，那么開鎖密碼就可以記為“，，．此時(shí)標(biāo)記線對(duì)準(zhǔn)的數(shù)是．如果一組開鎖密碼為“，，”要想打開鎖，按上述規(guī)定方式旋轉(zhuǎn)鎖盤，鎖打開時(shí)標(biāo)記線對(duì)準(zhǔn)的刻度線表示哪個(gè)數(shù)？（

）A． B． C． D．2．（2425七年級(jí)上·四川成都·期中）下面的五個(gè)時(shí)鐘顯示了同一時(shí)刻國(guó)外四個(gè)城市時(shí)間和北京時(shí)間，根據(jù)表中給出的國(guó)外四個(gè)城市與北京的時(shí)差，請(qǐng)你判斷城市代表北京（在A、B、C、D、E五個(gè)里面選一個(gè)填在橫線上）城市時(shí)差/h紐約悉尼倫敦羅馬3．[集合思想]（2425七年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）所有整數(shù)組成整數(shù)集合，所有負(fù)數(shù)組成負(fù)數(shù)集合，陰影部分也表示一個(gè)集合，則這個(gè)集合可以包含的有理數(shù)是（

）5．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：正整數(shù)集：{

…}；正數(shù)集：{

…}；負(fù)分?jǐn)?shù)集：{

…}；負(fù)數(shù)集：{

…}；非負(fù)整數(shù)集：{

…}；分?jǐn)?shù)集：{

…}．6．[新趨勢(shì)·跨學(xué)科]（2425七年級(jí)上·湖南婁底·期末）科學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，原子中的原子核與電子所帶電荷是兩種相反的電荷．物理學(xué)規(guī)定：原子核所帶電荷為正電荷，電子所帶電荷為負(fù)電荷．氫原子中的原子核與電子各帶一個(gè)電荷，其中原子核所帶電荷可記作，則電子所帶電荷應(yīng)記作．7．[數(shù)學(xué)文化]中國(guó)古代的算籌計(jì)數(shù)法可追溯到公元前5世紀(jì)．?dāng)[法有縱式和橫式兩種（如圖所示），以算籌計(jì)數(shù)的方法是擺個(gè)位為縱，十位為橫，百位為縱，千位為橫……這樣縱橫依次交替，