基于梳理知識結(jié)構(gòu)的“數(shù)列”單元復習小結(jié)3教學設計-高二下學期數(shù)學人教B版選擇性

基于梳理知識結(jié)構(gòu)的“數(shù)列”單元復習小結(jié)教師姓名：工作單位：一、教學內(nèi)容解析1．本單元教學內(nèi)容及解析教學內(nèi)容本單元內(nèi)容出自人教B版《普通高中教科書·數(shù)學選擇性必修第三冊》第五章“數(shù)列”，其內(nèi)容包括：（1）等差數(shù)列的判斷和證明，基本量的求解，判斷單調(diào)性，求通項公式及前n項和．（2）等比數(shù)列的判斷和證明，基本量的求解，判斷單調(diào)性，求通項公式及前n項和．（3）等差數(shù)列與一次函數(shù)和等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系．（4）以遞推關系為載體求解數(shù)列的通項公式，重視累加法、累乘法、構(gòu)造法求通項公式的通性通法．（5）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列前n項和，重視倒序相加，錯位相減、裂項相消等求和方法的滲透．（6）數(shù)列的實際應用（分期還款，政府支出的“乘數(shù)”效應）以及數(shù)學歸納法．內(nèi)容解析（1）計算等差、等比數(shù)列兩類模型的基本量是數(shù)列運算的基礎，幫助學生提高學生邏輯思維和運算求解能力．（2）圍繞遞推關系求數(shù)列通項公式，對學生轉(zhuǎn)化與化歸的能力要求很高，需要教師培養(yǎng)學生利用通性通法去分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的數(shù)學素質(zhì)．（3）關注數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，以此為切入點搭建數(shù)列與高中數(shù)學其它知識之間的橋梁，理解數(shù)列與其它數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，加強函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的滲透．（4）本單元復習過程中重視對學生思維品質(zhì)和思維過程的培養(yǎng)，在求解與數(shù)列有關情景問題時，引導學生根據(jù)情境抽象出數(shù)列的表示形式，通過運算進行求解，幫助學生在實踐中不斷提高創(chuàng)新能力和數(shù)學建模能力．單元課時分配等差數(shù)列及其前n項和3課時等比數(shù)列及其前n項和3課時利用遞推關系求通項公式1課時數(shù)列求和1課時數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系2課時數(shù)列的情境問題1課時數(shù)學歸納法1課時數(shù)列與其它模塊知識交匯問題1課時本單元教學重點：（1）數(shù)列的遞推關系、通項公式、前n項和；（2）建立數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，明確它們的區(qū)別．本單復習基本流程圖：學習階段知識明線方法暗線素養(yǎng)眼線整體感知數(shù)列的基本知識特殊與一般轉(zhuǎn)化與化歸函數(shù)與方程分類討論數(shù)形結(jié)合數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學運算數(shù)學建模探究建構(gòu)函數(shù)觀點看數(shù)列應用遷移數(shù)列的情景問題重構(gòu)拓展其它模塊知識交匯問題2．本節(jié)課內(nèi)容及解析本節(jié)課之前，本單元的教學內(nèi)容已經(jīng)完成了9課時，但由于數(shù)列迭代特點和函數(shù)屬性的重要性，所以設置本節(jié)課對這兩部分內(nèi)容進行深入研究，教學內(nèi)容設置如下：教學內(nèi)容（1）通過數(shù)列遞推關系求數(shù)列通項公式；（2）用函數(shù)觀點研究數(shù)列．內(nèi)容解析（1）數(shù)列是反應運算規(guī)律的重要模型，其中遞推關系、通項公式（相應于函數(shù)解析式）是數(shù)列的表示方法，通過研究數(shù)列的性質(zhì)，選擇合適的方法，求數(shù)列的前n項和．通項公式和求和公式是重點，更強調(diào)通過代數(shù)運算解決問題．（2）數(shù)列也是一類特殊的函數(shù)，即定義在正整數(shù)集或其子集的離散型函數(shù)．建立等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，其實是同一種關系在離散和連續(xù)下的兩種狀態(tài)．引導學生用函數(shù)的觀點看數(shù)列，體會數(shù)學的整體性．（3）本節(jié)在梳理知識結(jié)構(gòu)的同時，使學生經(jīng)歷知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造以及知識體系的再建構(gòu)過程，幫助學生自主形成知識圖譜．數(shù)列的學習能有效提升學生的數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等素養(yǎng)．本節(jié)課教學重點：（1）將不熟悉的遞推關系通過代數(shù)運算化歸成熟悉的遞推數(shù)列；（2）利用函數(shù)觀點研究數(shù)列；（3）引導學生自主構(gòu)建知識圖譜．教學目標設置在《普通高中數(shù)學課程標準（2020年修訂版）》的指導下，教學目標設置為：1．單元目標以及達成目標的標識目標（1）通過日常生活和數(shù)學中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．（2）通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義．探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并解決相應的問題．體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關系．（3）通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義．探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題．體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．（4）了解數(shù)學歸納法的原理及其過程。目標達成的標識（1）能從具體實例中歸納、概括出數(shù)列的表示方法（表格、圖象、遞推關系和通項公式）．（2）能根據(jù)數(shù)列的通項公式，寫出任意項．能理解遞推公式中體現(xiàn)的是項與項之間的迭代關系,并能根據(jù)遞推公式選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蟪鰯?shù)列通項公式．（3）能理解數(shù)列的前n項和公式的定義,并會根據(jù)數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列的通項公式，會根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列前n項和．（4）會類比函數(shù)的“定義—表示方法—性質(zhì)“的研究路徑來研究數(shù)列，會用函數(shù)思想解決數(shù)列問題．

（5）會從具體的情景中抽象出數(shù)列模型，進而應用數(shù)學知識解決實際問題．2．本課時教學目標以及達成目標的標識目標（1）通過對簡單數(shù)列的分析，學生能明確數(shù)列遞推關系的重要性，會將不熟悉的迭代關系通過代數(shù)變形化歸成數(shù)列相鄰兩項的關系或與數(shù)列相關數(shù)列相鄰兩項的關系．探索知識之間的縱向聯(lián)系，體會特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，同時還發(fā)展了數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng)．（2）通過自主探究、合作探究進一步了解數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，讓學生會用函數(shù)的觀點看數(shù)列，發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)列的性質(zhì)，認識數(shù)列的應用價值，體會函數(shù)與方程的數(shù)學思想，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力．（3）在解題活動中，進一步理解數(shù)列知識的內(nèi)在聯(lián)系，感受數(shù)列的迭代特點和函數(shù)屬性．引導學生自主構(gòu)建知識圖譜，提高學生歸納總結(jié)的能力．目標達成的標識（1）學生通過對探究1的分析研究，得到將不熟悉的遞推關系轉(zhuǎn)化成熟悉的遞推關系的一般思想和方法，并利用這個方法去解決新的問題．（2）學生通過對全國甲卷理科高考題第17題（2）問的梳理，明確等差數(shù)列通項與一次函數(shù)，等差數(shù)列前n項和與二次函數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系，通過對探究2的合作研究，明確指數(shù)函數(shù)的底數(shù)和等比數(shù)列的公比之間的區(qū)別．（3）通過本節(jié)課的梳理使學生能對本章的知識有更新的認識，完善已有的知識體系，自主建構(gòu)適合自己的知識圖譜．三、學生學情分析1．學生已具備的認知基礎本節(jié)課的授課對象是沈陽鐵路實驗中學高三、三班的學生，通過幾節(jié)課的復習，他們已經(jīng)基本掌握了數(shù)列的定義、通項公式的求法，已經(jīng)掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷、證明和基本量的求解．以及求數(shù)列前n項和的方法，也了解數(shù)列是特殊函數(shù)，具備了一定的分析問題和解決問題的能力．2．達成教學目標所需具備的認知基礎（1）將不熟悉的迭代關系通過代數(shù)變形化歸成了數(shù)列相鄰兩項的關系或與數(shù)列相關數(shù)列相鄰兩項的關系．（2）會用函數(shù)的觀點看數(shù)列，在利用函數(shù)解決數(shù)列問題的過程中，發(fā)現(xiàn)函數(shù)與數(shù)列之間的區(qū)別．（3）對已掌握的知識進行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造以及知識體系的再構(gòu)建能力．3．可能出現(xiàn)的障礙學生整章知識的掌握缺乏系統(tǒng)性認識，不能靈活應用代數(shù)變形將復雜的遞推關系進行轉(zhuǎn)化，進而求出數(shù)列的通項公式．將函數(shù)類比成函數(shù)進行研究時，易忽略解析中相關參數(shù)的差異性以及數(shù)列圖象的離散性．教學難點及突破策略教學難點：使學生經(jīng)歷知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造以及知識體系的再建構(gòu)的過程，形成知識圖譜．突破策略：通過展示交流，讓學生會從題目中提煉出對應的數(shù)學知識及思想方法，教師通過問題串引領，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，加強數(shù)學思想的滲透．學生在自主探究和小組合作中，理解知識的內(nèi)在關聯(lián)，達到溫故知新的目的．四、教學策略分析本節(jié)課是一節(jié)單元復習課，貫徹“學生為主體，教師為主導”的教學理念．1．教法分析結(jié)合本課時的內(nèi)容特點和學情分析，通過一系列有層次的問題串生成探究活動，注重啟發(fā)式、互動式教學．本課時以提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)為目標．圍繞著數(shù)列的函數(shù)屬性和迭代特點，研究數(shù)列的性質(zhì)，獲得數(shù)列的一般路徑．在課堂活動中使得學生獲得“四基”，提高“四能”，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，讓學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界．2．學法分析在學法上，注重學生的學習過程體驗，勿忘學生是主體，把復習構(gòu)建知識體系的主動權交給學生，發(fā)揮學生在學習中的主體作用，使學生由被動變?yōu)橹鲃?，由配角變?yōu)橹鹘?，真正做課堂的主人．學生在展示交流的過程中，對基本知識、基本技能和基本方法有更深刻的理解，促進他們知識的靈活應用．學生通過主動思考、自主探究、合作探究進而突破重、難點．五、教學過程設計環(huán)節(jié)一：挖掘本質(zhì)互動探究教師：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，是反映運算規(guī)律的重要模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛應用，這節(jié)課我們來復習數(shù)列這一單元的主要內(nèi)容和思想方法．首先請同學回顧一下我們是按照什么樣的路徑對等差數(shù)列和等比數(shù)列開展研究的？教師：數(shù)列的大部分問題都是圍繞著遞推關系、通項和求和這三個要素展開的，在課前老師給大家布置了一項作業(yè)，完成2022年全國高考甲卷第17題，在批改的過程中，老師發(fā)現(xiàn)同學們的思考角度各不相同，接下來找同學跟大家分享他的解題思路．學生活動：學生展示問題（1）解題思路，闡述問題涉及的基礎知識和基本方法．思路一：思路二：【設計意圖】教師引導學生自評、互評，建立信心，共同發(fā)展．允許學生從不同的角度和層面進行思考，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和批判性思維．教師：同學們提供的兩種解題方法各有千秋，但兩種方法也有著異曲同工之妙，那就是將不熟悉的迭代關系通過代數(shù)變形化歸成了數(shù)列相鄰兩項差的關系或與數(shù)列相關數(shù)列相鄰兩項差的關系．所以通過合理的代數(shù)變形將迭代關系化歸成特殊數(shù)列，就值得我們進一步探究．【預期效果】【追問1預期效果】【追問1預期課堂呈現(xiàn)效果】【追問2預期效果】數(shù)列；【設計意圖】探究及兩個追問的設計，旨在強調(diào)數(shù)列遞推關系的重要性，強化特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．環(huán)節(jié)二：類比遷移拓展思維教師：函數(shù)既有迭代特點，還具有函數(shù)屬性，找同學繼續(xù)分享作業(yè)第（2）問的解題思路．學生活動：學生展示問題（2）解題思路，闡述問題涉及的基礎知識和基本方法．思路一：思路二：【設計意圖】通過學生不同解題方法的展示，使同學們感受數(shù)列與函數(shù)的共性和差異．教師：從定義上看，數(shù)列是特殊的函數(shù)，從表示方法上看，通項相應于函數(shù)的解析式，圖象是數(shù)列的又一種表示方法，數(shù)列與其類比之后的函數(shù)在圖象上既有區(qū)別又有聯(lián)系，我們可以用函數(shù)的觀點研究數(shù)列．剛才解題過程中，第一位同學將等差數(shù)列前n項和類比成了二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的對稱性找到了最小值，另一位同學將等差數(shù)列通項類比成了一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的零點，找到了數(shù)列的正負分界項，從而找到了最小值．數(shù)列不僅可以類比成一次函數(shù)和二次函數(shù)，還可以類比成其它函數(shù)，接下來給同學們一些時間，請大家認真思考探究2．探究2．設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列，若QUOTEan為等比數(shù)列，QUOTEbn為等差數(shù)列，請問這兩個數(shù)列中最多有多少個公共元素？追問1：將QUOTEbn改為等比數(shù)列，這兩個數(shù)列最多有多少個公共元素？追問2：將改QUOTEan為遞增數(shù)列，將QUOTEbn改為遞減數(shù)列，這兩個數(shù)列最多有多少個公共元素？學生活動：思考，自主探究，小組合作，分享交流．【課堂呈現(xiàn)】第一小組呈現(xiàn)內(nèi)容第二小組呈現(xiàn)內(nèi)容第三小組呈現(xiàn)內(nèi)容【設計意圖】以學生展示的解題思路為生長點，在學生最近發(fā)展區(qū)提出問題，進一步感受數(shù)列與函數(shù)的共性和差異，一是函數(shù)圖象的交點并不一定是數(shù)列圖象的交點，二是指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)與等比數(shù)列的公比取值范圍不一樣．體會數(shù)學的整體性，提升轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．在自主的探索過程中，發(fā)展學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)．環(huán)節(jié)三：反思感悟構(gòu)建圖譜學生活動：學生自主構(gòu)建知識圖譜，展示、補充、完善．【課堂呈現(xiàn)】生1補充：（1）將等差數(shù)列中的公差類比成一次函數(shù)的斜率進行研究；（2）等差數(shù)列的【設計意圖】學生經(jīng)歷再研究、再探索，感悟本章知識的內(nèi)在聯(lián)系，建構(gòu)完整的認知結(jié)構(gòu)，提高學生總結(jié)歸納的能力．環(huán)節(jié)四：歸納提升建構(gòu)體系1、研究數(shù)列的一般途徑：提煉—概念—表示—性質(zhì)—求和—應用．2、本節(jié)課的目標【設計意圖】幫助學生形成研究數(shù)列的一般途徑，理清知識結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學思想，提高關鍵能力，發(fā)展核心素養(yǎng)，達成育人目標．環(huán)節(jié)五：布置作業(yè)應用遷移作業(yè)1：通過本節(jié)課的學習繪制適合自己的思維導圖；作業(yè)2：導學案課后分層作業(yè)（其中A組、B組為必做題；C組為選做題）A組A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件（2020·全國Ⅱ卷）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊B組（2021·全國甲卷）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．第項最大．C組【設計意圖】1．學生經(jīng)歷了知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造以及知識體系的再建構(gòu)過程，重新構(gòu)建思維導圖，幫助學生完善知識體系，內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)．2．分層作業(yè)的設計滿足學生的個性化需求，提高作業(yè)的有效性，落實因材施教原則．使不同層次的學生都能體會成功的喜悅，既鞏固所學知識，又給學有余力的同學有發(fā)展空間，使得不同層次的學生都能夠得到提高．3．作業(yè)設計將數(shù)列與函數(shù)和不等式等知識相結(jié)合，培養(yǎng)學生的邏輯思維和運算求解能力．設計同樣注重了數(shù)列與現(xiàn)實情境相結(jié)合，發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模等學科素養(yǎng)．六、課堂教學評價1．教師為主導，精心設計教學環(huán)節(jié)本節(jié)課從