預(yù)習(xí)第01講空間向量及其線性運(yùn)算2025年升高二暑假數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）

第01講空間向量及其線性運(yùn)算本講義亮度：1構(gòu)建知識(shí)體系明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，深入淺出，力求打扎實(shí)基礎(chǔ)；2例題經(jīng)典力求熟練掌握各?？碱}型，提高分析能力；【題型一】空間向量的概念【題型二】空間向量的線性運(yùn)算【題型三】共線向量【題型四】共面向量3課后分層練習(xí)進(jìn)一步鞏固所學(xué)內(nèi)容.1.掌握空間向量的概念；2.掌握空間向量的線性運(yùn)算；3.理解空間共線向量和共面向量，并會(huì)證明空間四點(diǎn)共面.【題型一】空間向量的概念相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，用字母a、bPS(1)空間中點(diǎn)的位移、物體運(yùn)動(dòng)的速度、物體受到的力等都可以用空間向量表示；(2)向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作AB，其模記為|a(3)向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量；(4)向量具有平移不變性.(5)在空間，零向量、單位向量、相等向量、反向量與在平面的對(duì)應(yīng)向量一樣.【典題1】（2425高二上·山東·階段練習(xí)）給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量a，b滿足a=b，則④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)零向量的定義判斷①，根據(jù)相等向量的定義判斷②③，根據(jù)單位向量定義判斷④.【詳解】零向量是大小為0的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點(diǎn)不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，命題②錯(cuò)誤；若空間向量a，b滿足a=b，但由于它們的方向不一定相同，故a,空間中任意兩個(gè)單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯(cuò)誤；所以正確的命題只有1個(gè)；故選：D.變式練習(xí)1（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在底面為正方形的平行六面體ABCD-A'B'C'A．0個(gè) B．3個(gè) C．7個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)模的定義，以及平行六面體的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由向量的模的定義，根據(jù)平行六面體的性質(zhì)可知，與向量AAA'A,B故選：C．2（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（）A．單位向量都相等B．若|a|=|bC．若向量AB，CD滿足|AB|>|D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A中，單位向量長(zhǎng)度相等，方向不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，|a|=|b|只能說(shuō)明對(duì)于C中，向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，相等向量其方向必相同，故D正確．故選：D.3（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．向量AB與向量BA是相等向量B．與實(shí)數(shù)類似，對(duì)于兩個(gè)向量a，b，有a=b，a>C．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)D．若兩個(gè)非零向量是共線向量，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合【答案】D【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷A；根據(jù)空間向量的概念判斷B；根據(jù)空間向量模的定義判斷C；根據(jù)共線向量的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A，向量AB與向量BA是相反向量，不是相等向量，因此A不正確；對(duì)于B，與實(shí)數(shù)不一樣，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而兩個(gè)向量不能比較大小，因此B不正確；對(duì)于C，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，因此C不正確；對(duì)于D，若兩個(gè)非零向量是共線向量，則這兩個(gè)向量所在的直線可以平行，也可以重合，D正確.故選：D.4（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體ABCD-A1B③a=b是向量④若空間向量m,n,p滿足m∥其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷.【詳解】有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯(cuò)誤；AC和A1C1大小一樣、方向相同，則AC若a=b，則a和b的模相等，方向不一定相同，若a=b，則a和b的模相等，方向也相同，所以a=向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)n為零向量時(shí)，零向量與任何向量都平行，則m,p不一定平行，故④綜上所述，②③正確.故選：B．【題型二】空間向量的線性運(yùn)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解(1)定義:與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖).OA=OB+OC=(2)運(yùn)算律①加法交換律:a+②加法結(jié)合律:(a③數(shù)乘分配律:λ(a運(yùn)算法則:三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則.PS平行六面體法則:在平行六面體ABCD－A1【典題1】（2425高二上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，在四面體OABC中，設(shè)OA=a,OB=b,OC=c，G為A．16a-C．16a-【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】如圖，連接OH，連接OG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，則D為AB中點(diǎn)，且OG=∴OG=∵H為AC的中點(diǎn)，∴OH=∴GH=故選：A.變式練習(xí)1（2425高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知空間四邊形ABCD中，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，則MG-AB+A．32DB B．3MG C．GM【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的減法及線性關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)镸,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，所以MG→則MG→故選：B.2（2425高二下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C①AB+BC+C③AB+BB1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法法則判斷．【詳解】由正方體ACAB+BC+AB+BB故選：D．3（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點(diǎn)．若A．a(chǎn)+b+12c B．a(chǎn)【答案】A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，AM=故選：A．4（2425高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE→=4AFA．DF→=14C．DF→=-14【答案】B【分析】根據(jù)條件可得出AF→【詳解】AE→=4AF∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE∴AF∴故選：B.5（2425高二上·遼寧丹東·期末）在四面體O-ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)D滿足BD=xBC，E為A．16 B．13 C．12【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】由題意OE=1所以12a+故選：B【題型三】共線向量相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b(2)共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，(3)三點(diǎn)共線：A、B、(4)與a共線的單位向量為±a【典題1】（2425高二·甘肅武威·課后作業(yè)）下列條件中，能說(shuō)明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是（

）A．AB+BC=C．|AB|=|BC【答案】D【分析】利用空間中不重合的三點(diǎn)共線的條件，逐一考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】對(duì)于空間中的任意向量，都有AB+BC=若AB-BC=AC，則AC+BC=AB，而|AB|=|BC|，則線段AB的長(zhǎng)度與線段BC的長(zhǎng)度相等，不一定有A、B、AB=BC，則A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)故選：D.【典題2】（2324高一下·河北邢臺(tái)·期末）一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)P在棱VA上，且VP=14VA，過(guò)點(diǎn)P將木塊鋸開(kāi)，使截面平行于直線VB和A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】分別在BA，BC，VC上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，可得四邊形PFED即為所求截面，求出周長(zhǎng)可得答案．【詳解】如圖所示，分別在BA，BC，VC上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且滿足BDBA易得PD//VB//所以四邊形PFED為平行四邊形，可得PD=EF=3，PF=DE=1，因?yàn)閂B?平面PFED，F(xiàn)E?平面PFED，所以VB//平面PFEDAC?平面PFED，PF?平面PFED，所以AC//平面PFED所以四邊形PFED即為截面，故截面圖形的周長(zhǎng)為8．故選：B.變式練習(xí)1（2425高二上·河南許昌·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為ABA．A1B B．DC1 C．【答案】B【分析】利用線線位置關(guān)系可得與向量EF平行的向量.【詳解】由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C所以四邊形AB1C1D又E，F(xiàn)分別為AB，BB1的中點(diǎn)，所以AB所以向量EF平行于DC因?yàn)橹本€A1B與直線EF相交，又A1B∥D1C又直線AC1與AB1相交，所以向量故選：B.2（2425高二上·湖南永州·期中）下列條件中，能說(shuō)明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是（

）A．AB+BC=ACC．AB=-2BC D【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算可判斷A，根據(jù)向量的減法以及相反向量可判斷B，根據(jù)共線向量的定義可判斷C，向量的模長(zhǎng)相等不一定能推出向量共線，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，對(duì)于空間中的任意向量，都有AB+BC=對(duì)于B，若AB-BC=AC，則AC+BC=AB，而AC+對(duì)于C，AB=-2BC，則A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)對(duì)于D，AB=BC，則線段AB的長(zhǎng)度與線段BC的長(zhǎng)度相等，不一定有A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)故選：C.3（2425高二上·天津河西·期中）設(shè)空間四點(diǎn)O,?A,?B,?P滿足A．點(diǎn)P一定在直線AB上 B．點(diǎn)P一定不在直線AB上C．點(diǎn)P不一定在直線AB上 D．以上答案都不對(duì)【答案】A【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間三點(diǎn)共線的向量表示法求解即可.【詳解】因?yàn)閙+n=1，所以m=1-n，而OP=m故OP=(1-n)OA+n所以AP=nAB，則點(diǎn)P一定在直線AB上，故A故選：A4（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3eA．-2 B．-4 C．-8 D．8【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算表示AD，根據(jù)A、B、D三點(diǎn)共線可得AB=λAD，建立等量關(guān)系可得k【詳解】∵AB?=2e1?∴AD?∵A、B、D三點(diǎn)共線，∴?λ∈R，使得AB=λ即2e1?∴λ=2，λ(k+4)=k，解得k=-8．故選：C．5（2324高二上·貴州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，PA．當(dāng)λ=0時(shí)，點(diǎn)P在棱BBB．當(dāng)λ=μ時(shí)，點(diǎn)P在線段B1C．當(dāng)μ=1時(shí)，點(diǎn)P在棱B1D．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，點(diǎn)P在線段B1【答案】B【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)λ=0時(shí)，BP=μBB所以BP//BB1，則點(diǎn)P在棱對(duì)于B，當(dāng)λ=μ時(shí)，BP=λBC+B即BP=λB所以點(diǎn)P在線段BC1上，故對(duì)于C，當(dāng)μ=1時(shí)，BP=λBC+所以λBC=BP-B所以點(diǎn)P在棱B1C1對(duì)于D，當(dāng)λ+μ=1時(shí)，所以BP=λBC+所以BP-即B1P=λ所以點(diǎn)P在線段B1C上，故故選：B．6（2324高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點(diǎn)F，則AFAG=（A．12 B．23 C．34【答案】C【分析】根據(jù)共線定理及空間向量線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】如圖：連接DG交BC于H，則H為BC中點(diǎn)，連接AH,EH,AG,因?yàn)锳G?平面AHD，EH?平面AHD，設(shè)AG∩EH=K，則K∈EH,K∈AG，又EH?平面BCE，所以K∈平面BCE，故K為AG與平面BCE的交點(diǎn)，又因?yàn)锳G與平面BCE交于點(diǎn)F，所以F與K重合，又E為AD的中點(diǎn)，G為平面BCD的重心，因?yàn)辄c(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，則AF=m=又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，則AF=xAF=x所以m3=x2x+y=1m3故選：C.【題型四】共面向量相關(guān)知識(shí)點(diǎn)講解(1)定義一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量.說(shuō)明:空間任意的兩向量都是共面的.(2)共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,(3)四點(diǎn)共面方法1若要證明A、B、C、方法2若要證明A、B、C、P證明若x+y+z=1，則OP=x=OC∴OP-OC即CP,CA,CB【典題1】（2223高二下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知向量e1，e2不共線，AB=e1+eA．AB與AC共線 B．AB與CD共線C．A，B，C，D四點(diǎn)不共面 D．A，B，C，D四點(diǎn)共面【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，∵12≠18，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得AB=λAC成立，∴對(duì)于B，∵AC=2e1+8e2，又11≠1-13，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得AB=λCD成立，∴對(duì)于C、D，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則有AD=x∴x+2y=3x+8y=-5，即x=17故A，B，C，D四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【典題2】（2025·山西臨汾·一模）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，H為CC1的中點(diǎn)，AF=λAH，λ∈0,1A．12 B．25 C．13【答案】D【分析】由四點(diǎn)B，D，C1，F(xiàn)共面可得存在實(shí)數(shù)x,y，使BF=xBC【詳解】由平行六面體的特征可得AH=則AF=λ所以BF=又BD=AD-又由B，D，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)x,y，使BF所以λ-1=-yλ=x+yλ2故選：D.變式練習(xí)1（2324高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個(gè)不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【答案】C【分析】利用空間向量的共線定理與共面定理.【詳解】若MA,MC共線，則又MC=5MA-3與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；同理若MB,MC共線，則又MC=5MA-3與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知MA,MB,MC共面，即C故選：C2（2425高二上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，點(diǎn)P滿足：5PA=PBA．P，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，D四點(diǎn)共面C．P，B，C，D四點(diǎn)共面 D．P，A，C，D四點(diǎn)共面【答案】C【分析】由空間向量共面定理的推論求解即可；【詳解】因?yàn)?PA=PB即5AP=AB因?yàn)?6+13+另解：由已知得PB=5所以PB?,PC?,PD?故選：C．3（2425高二上·浙江金華·期末）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E是棱AB的中點(diǎn)，PF=2FB,PG=λGC，D，E，F(xiàn)，GA．1 B．12 C．23 D【答案】A【分析】結(jié)合圖形，表示出相關(guān)向量，再利用四點(diǎn)共面時(shí)空間向量的基本定理列方程組求解即可.【詳解】由題意可得DE=因?yàn)镻F=2FB,所以DF=DP+PF所以DF=因?yàn)镻G=λGC，所以PG=所以DG=因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，根據(jù)空間向量四點(diǎn)共面的性質(zhì)，有DG=x所以1λ+1所以y3=1所以λ=1.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能利用空間向量的基本定理得到下列方程1λ+1【A組基礎(chǔ)題】1（2425高二下·全國(guó)·課堂例題）下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若a=b，則a，C．若向量AB，CD滿足AB>CDD．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，單位向量長(zhǎng)度相等，方向不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a=b只能說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等而方向不確定，故對(duì)于C，向量作為矢量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，相等向量方向相同大小相等，故D正確.故選：D.2（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，若AB+DC=λEF，則A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法法則，將AB+DC,EF【詳解】如圖，AB+EF=∴AB+DC故選：C.3（2425高二上·廣東·期末）如圖，在四面體OABC中，D為BC的中點(diǎn)，3AG=2AD，且P為OG的中點(diǎn)，則OPA．16OA+1C．13OA+【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，OP=1故選：A4（2425高二下·福建龍巖·期中）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+2e2A．-3 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由AB=mBC【詳解】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以AB=m即e1所以mλ=1mμ=2m=-1，解得所以λ+μ=-3，故選：A5（2425高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列條件中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A?B?A．MA+MB+C．OM=3OA+2【答案】A【分析】利用空間共面向量定理以及其推論，看等式右邊系數(shù)和是否為1，可判斷A,B,C;根據(jù)空間向量共面定理即可判斷D,得出正確答案．【詳解】對(duì)于MA+MB+MC=0可得，MA=-MB-MC，由空間共面向量定理知，對(duì)于OM=2OA-OB-OC可知，系數(shù)和不為1，故M、A、對(duì)于OM=3OA+2OB-6OC，系數(shù)和3+2-6=-1≠1，故M、A、對(duì)于OM+OA+OB+OC=0，可得OM=-OA-OB-故選：A.6（2223高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E是棱PD上的點(diǎn)，且PE=3ED，若PF=λPC，且滿足BF//平面ACE，則λ=（A．23 B．32 C．33【答案】A【分析】連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE，利用中位線性質(zhì)和線面平行的判定證明BG//平面ACE，結(jié)合BF//平面ACE，則證明平面BGF//平面ACE，再利用利用面面平行的性質(zhì)則有GF//【詳解】如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE，則BO=OD，在線段PE取一點(diǎn)G，使得GE=ED，則G是PD的中點(diǎn)，PGPE連接BG，F(xiàn)G，則BG//因?yàn)镺E?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG//平面ACE.因?yàn)锽F//平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF?平面BGF，所以平面BGF//平面ACE因?yàn)槠矫鍼CD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，所以GF//所以PFPC=PG故選：A.7（多選）（2425高三上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且AB=AA1=4，∠BAD=60°，M為線段D1C1的中點(diǎn)，A．若μ=1，則三棱錐P-DBC的體積為定值B．若λ=12，則有且僅有一個(gè)點(diǎn)PC．若λ+μ=12，則PND．若λ=0，μ=12，則平面DPM【答案】ACD【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)確定點(diǎn)P的位置，并通過(guò)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)μ=1時(shí)，B1P=λBC而B(niǎo)1C1//平面DBC，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)λ=12時(shí)，取BC中點(diǎn)記為E，連接EN，易得點(diǎn)P當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且∠BAD=60°，所以DB=DC，又因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以DE⊥BC，又AB=AA1=4，所以DE=23，又由已知此棱柱為直棱柱，所以則B1B2又B1B2+D所以ED⊥EB1，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，因?yàn)锽1又NE⊥DE，所以NE2+DE2所以ND⊥NB1，即故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)λ+μ=12時(shí)，取BC中點(diǎn)記為E連接EF，則點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，易得點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為C'連接NC'，此時(shí)點(diǎn)N、E、故點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PN+PC取得最小值為故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)λ=0，μ=12時(shí)，因?yàn)橛芍崩庵再|(zhì)可知，面ABB1A1//面DC則平面DPM截該直棱柱交AB于E，交B1C1且由定理可得EP//DM,DE//MF，所以易得ΔDD1M與ΔPBE易知BE=1，B1所以DM=25，EP=FP=2DE=MF=2易得平面DPM截該直棱柱所得截面周長(zhǎng)為95故D正確.故選：ACD8（2425高一下·浙江·期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，【答案】13【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的意義可以判定P的位置，然后利用展開(kāi)方法求得B1P+PD【詳解】取AB,CD的靠近A,D的四等分點(diǎn)M,N，連接MN，由題意得P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，將MNC1BAD=2,AM=1,MB1=MB所以B1P+PD的最小值為故答案為：13.9（2425高二上·安徽·階段練習(xí)）已知向量a,b,(1)若AB=mAC,m∈R(2)若O,A,B,C四點(diǎn)共面，求3p+5q的值.【答案】(1)2,-2(2)-4【分析】（1）根據(jù)向量的運(yùn)算得到AB以及AC，再根據(jù)AB與AC的關(guān)系列得方程組，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)四點(diǎn)共面得到OB=λOA+μOC，可用λ和μ表示出p【詳解】（1）由題可得：AB=AC=因?yàn)锳B=mAC，所以即p-1=m,3=3m,q-1=-3m,所以p,q的值分別為2,-2；（2）因?yàn)镺,A,B,C四點(diǎn)共面，所以存在λ,μ∈R，使得OB=λ即pa+b+qc=λa-2b+c于是有p=λ+2μ,所以3p+5q=3λ+2μ即3p+5q的值為-4.【B組提高題】1（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）在四面體O-ABC中