2024北京二中高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京二中高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.無窮多個(gè)2.若是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.設(shè)，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則A. B. C. D.5.定義在上的任意函數(shù)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，如果，，那么（）A.，B.，C.，D.，6.設(shè)為實(shí)數(shù)，則是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有A.144個(gè) B.120個(gè) C.96個(gè) D.72個(gè)8.按照“碳達(dá)峰”?“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時(shí)期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時(shí)間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中n為Peukert常數(shù)，為了測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.29.已知定義在上的函數(shù)滿足：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，成立（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，且函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.已知甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙盒中有1個(gè)白球，2個(gè)黑球．若從這8個(gè)球中隨機(jī)選取一球，該球是白球的概率是______；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是______．12.若，則_______；_______.13.已知直線與圓相交，能說明“直線截圓所得弦長(zhǎng)不小于”是假命題的一個(gè)的值為______．14.已知點(diǎn)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為_______.15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②，且，關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③已知是曲線上任意一點(diǎn)，，則；④設(shè)Mx1,y1為曲線上一點(diǎn)，Nx2,y2其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.三、解答題（共6小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.在△中，，.（1）求證：△為等腰三角形；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△存在且唯一，求的值.條件①：；條件②：△的面積為；條件③：邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17.改革開放40年來，體育產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展反映了“健康中國(guó)”理念的普及．下圖是我國(guó)2006年至2016年體育產(chǎn)業(yè)年增加值及年增速圖．其中條形圖為體育產(chǎn)業(yè)年增加值（單位：億元），折線圖為體育產(chǎn)業(yè)年增長(zhǎng)率（％）．（Ⅰ）從2007年至2016年隨機(jī)選擇1年，求該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值多億元以上的概率；（Ⅱ）從2007年至2016年隨機(jī)選擇3年，設(shè)是選出的三年中體育產(chǎn)業(yè)年增長(zhǎng)率超過20%的年數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由圖判斷，從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長(zhǎng)率方差最大？從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值方差最大？（結(jié)論不要求證明）18.已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面平面分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大??；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．19.已知橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否過定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列，函數(shù)對(duì)于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出排列的生成列及排列的母列；（Ⅱ）證明：若和為中兩個(gè)不同排列，則它們的生成列也不同；（Ⅲ）對(duì)于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列．證明：一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項(xiàng)滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）12345678910BCCDCCBBAA二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.①.12②.12.①.②.13.（答案不唯一）14.15.②③④三、解答題（共6小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.解：（1）在△ABC中，設(shè)a=5m，b=m，其中m>0.根據(jù)余弦定理a2=b2+c2?2bccosA，得整理，得c2?2mc?15m2=0，因?yàn)閏>0，解得c=5m，所以a=c.所以△ABC為等腰三角形.………………7分（2）若選擇條件②：在△ABC中，由得解得m=1，即b=10.………………13分若選擇條件③：在△ABC中，由AB邊上的高為3，得bsinA=3.所以解得m=1,即b=.………………13分17.解:（1）設(shè)A表示事件“從2007年至2016年隨機(jī)選出1年，該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值多500億元以上”．由題意可知，2009年，2011年，2015年，2016年滿足要求，故；............................4分（2）由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2，3，且；；；所以X的分布列為：X0123P故X的期望 ............................10分（3）從2008年或2009年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長(zhǎng)率方差最大．從2014年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值方差最大．............................13分18.解：（1）證明:因?yàn)镋、F分別是PC、PD的中點(diǎn)所以EF∥CD又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形所以AB∥CD所以AB∥EF又因?yàn)锳B平面EFGEF平面EFG所以AB∥平面EFG………………4分（2）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)OP,OG因?yàn)椤鱌AD是正三角形，O是AD的中點(diǎn)，所以PO⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥面ABCD所以PO⊥OG,PO⊥OA,在正方形ABCD中，G、O分別是BC、AD的中點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OG所以O(shè)A，OG，OP兩兩垂直如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)分別以O(shè)A、OG、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(?2,4,0),D(?2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2)，E(?1,2,),F(?1,0,)，=(0,?2,0),=(1,2,?)，設(shè)平面EFG的法向量為=(x,y,z),令z=1，則m=(,0，1)，又平面ABCD的法向量n=(0,0,1)，設(shè)平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為θ，所以所以平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為………………10分（3）假設(shè)線段PA上存在點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為設(shè)，所以.所以整理得，無實(shí)解，導(dǎo)致矛盾所以，不存在這樣的點(diǎn)M.………………14分19.解：（Ⅰ）由題意，a=4，a2=b2+c2解得b=2,c=2所以橢圓C方程為，離心率………………5分（Ⅱ）直線MQ過定點(diǎn)T(0,?4)證明如下：設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2),則Q(x2,?6)由(3+4k2)x2?16kx?32=0△=(?16k)2+4×32(3+4k2)>0（方法1）所以，所以M，Q，T三點(diǎn)共線，即直線MQ過定點(diǎn)T(0,?4)………………15分（方法2）令x=0,得（略）或者令x=0得（略）20.（1）因?yàn)樗?，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線斜率為所以切線方程為即………………5分（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象沒有公共點(diǎn)，所以f(x)=g(x)，即 無實(shí)根，所以當(dāng)x≠0時(shí)，h(x)=cosx+ax2?1=0無實(shí)根，因?yàn)閔(?x)=h(x)，即h(x)是偶函數(shù)，所以h(x)=cosx+ax2?1=0在(0,+∞)上無實(shí)根.h’(x)=2ax?sinx，記m(x)=h’(x)=2ax?sinx則m’(x)=2a?cosx，x∈(0,+∞).當(dāng)a<0時(shí)，ax2<0，又?1≤cosx≤1，則cosx?1≤0，所以h(x)=cosx+ax2?1<0，滿足h(x)=0在(0,+∞)上無實(shí)根.當(dāng)a=0時(shí)，h(x)=cosx?1=0在(0,+∞)上有實(shí)根，不合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，m’(x)=2a?cosx≥0，所以h’(x)=2ax?sinx在(0,+∞)單調(diào)遞增，則h’(x)>h’(0)=0，所以h(x)=cosx+ax2?1=0在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)=0，滿足h(x)=0在(0,+∞)上無實(shí)根.④當(dāng)時(shí)，因?yàn)閙’(x)=2a?cosx在，且m(0)=2a-10，，則存在唯一的，使m’(x0)=2a?cosx0=0，列表得所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，h’(x)<h’(0)=0，則h(x)在(0,x0)單調(diào)遞減，則h(x)<h(0)=0，又因?yàn)閔(2π)=4aπ2>0，且h(x)在(0,+∞)上連續(xù)，所以h(x)=cosx+ax2?1=0在(0,2π)上有實(shí)根，不合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是………………15分21.（1）解：當(dāng)n=6時(shí)，排列3,5,1,4,6,2的生成列為0,1,?2,1,4,?3；排列0,?1,2,?3,4,3的母列為3,2,4,1,6,5．………………4分（2）證明：設(shè)a1,a2,,an的生成列是b1,b2,,bn；a1’,a2’,,an’的生成列是b1’,b2’,,bn’．從右往左數(shù)，設(shè)排列a1,a2,,an與a1’,a2’,,an’第一個(gè)不同的項(xiàng)為ak與ak’，即：an=an’，an?1=an’?1，，ak+1=ak’+1，ak≠ak’．顯然bn=bn’，bn?1=bn’?1，，bk+1=bk’+1，下面證明：bk≠bk’．由滿意指數(shù)的定義知，ai的滿意指數(shù)為排列a1,a2,,an中前i?1項(xiàng)中比ai小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比ai大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．由于排列a1,a2,···,an的前k項(xiàng)各不相同，設(shè)這k項(xiàng)中有l(wèi)項(xiàng)比ak小，則有k?l?1項(xiàng)比ak大，從而bk=l?(k?l?1)=2l?k+1．同理，設(shè)排列a1’,a2’,···,an’中有l(wèi)’項(xiàng)比ak’小，則有k?l’?1項(xiàng)比ak’大，從而bk’=2l’?k+1．因?yàn)閍1,a2,···,ak與a1’,a2’,···,ak’是k個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且akak’，所以l≠l’，從而bk≠bk’．所以排列a1,a2,···,an和a1’,a2’,···,an’的生成列也不同．………………10分（3）證明：設(shè)排列a1,a2,,an的生成列為b1,b2,,bn，且ak為a1,a2,,an中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以b1≥0,b2≥0,,bk?1≥,bk≤?1．進(jìn)行一次變換后，排列a1,a2,,an變換為ak,a1,a2,ak?1,ak+1,,an，設(shè)該排列的生成列為b