2024北京二中高三12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京二中高三12月月考數(shù)學(xué)一、單選題（共10小題，每小題4分，共40分）1．設(shè)集合，則（

）.A．B．C． D．2．已知（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）.A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上，若直線被圓截得弦長(zhǎng)為，則正實(shí)數(shù)的值為（

）.A．1 B． C． D．24.已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值為（

）.A．

B．

C．

D．5.在中，，則（

）.A. B. C.D.6.若,,則的值為（

）.A. B. C. D.7.設(shè)a，b均為單位向量，則“a⊥b”是“”的（

）條件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要8.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著.其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈.問(wèn)積幾何？”問(wèn)題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚w，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即PQ中點(diǎn)R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，，，，，長(zhǎng)度單位：丈則楔體的體積為體積單位：立方丈（

）.A.10 B.8 C.6 D.59.已知非零向量，，在同一平面，其中是單位向量.與的夾角為，，則的最小值是（

）.A．2 B． C．1 D．10.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）.A.B.C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率________．12.在等差數(shù)列中，公差不為，，且成等比數(shù)列，則__________；當(dāng)__________時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值．13.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是．14．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，；（2）若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．15．對(duì)于數(shù)列，若存在，使得對(duì)任意，有，則稱為“有界變差數(shù)列”.給出以下四個(gè)結(jié)論：①若等差數(shù)列為“有界變差數(shù)列”，則的公差等于0；②若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列為“有界變差數(shù)列”，則其公比的取值范圍是；③若數(shù)列是“有界變差數(shù)列”，則存在，使得對(duì)任意，有；④若數(shù)列是“有界變差數(shù)列”，則數(shù)列必是“有界變差數(shù)列”.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題（本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.（13分）設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③、條件④這四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得存在且唯一．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：；條件②：；條件③：最大值為；條件④：的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．17．（13分）為了解某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的1班~8班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，y軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：（Ⅰ）若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，試估計(jì)該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）若從高一2班抽測(cè)的10人中隨機(jī)抽取1人，從高一5班抽測(cè)的10人中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X表示這2人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等?，F(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀。直接寫出方差，，，的大小關(guān)系（無(wú)需過(guò)程）.18．（14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，平面，．（Ⅰ）求證：為中點(diǎn)；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱上任意一點(diǎn)，求證：與平面不垂直.19．（15分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線l過(guò)點(diǎn)F交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線上是否存在點(diǎn)C，使得為正三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

20．（15分）已知函數(shù)其中（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，且函數(shù)有極大值點(diǎn)求證：21.（15分）已知集合，集合且滿足：與恰有一個(gè)成立.對(duì)于定義（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）從中任意刪去兩個(gè)數(shù)，記剩下的個(gè)數(shù)的和為.證明：；（Ⅲ）求證：對(duì)于滿足（）的每一個(gè)集合，集合中都存在三個(gè)不同的元素，使得.

參考答案一、單選題12345AACBB678910ACDDA二、填空題11．12.;13.14．;15．①③④16.答案：（1）選擇條件②④，得到，，由的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為可得，所以解得，所以.選擇條件③④，由題意可得，最大值為得到，所以由的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為可得，所以解得，所以.（2）由正弦函數(shù)的圖象可得當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)即時(shí)，有最大值；當(dāng)即時(shí)，有最小值.17．【詳解】（1）由題意知從高一年級(jí)的（1）班~（8）班了抽測(cè)共80人，其中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的共有，故估計(jì)該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率為；（2）由題意可知高一2班抽測(cè)的10人中優(yōu)秀的有6人，高一5班抽測(cè)的10人中優(yōu)秀的有7人，則可取，，則的分布列為：的數(shù)學(xué)期望.（3）.18．解：（1）連結(jié)，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以與互相平分，所以為中點(diǎn)因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn).（2）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以∵?cè)面底面，側(cè)面底面，平面∴底面，所以因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以,因?yàn)?所以所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則（1，0，0），（1，2，0），（﹣1，2，0），（﹣1，0，0），，，（0，1，0），是平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的一個(gè)法向量是，∵，令，則，，所以二面角的余弦值為（3）假設(shè)平面，所以，設(shè)，則，∴，由，所以由，所以，導(dǎo)致矛盾，所以假設(shè)不成立，與平面不垂直.19．【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題得，且．令，代入橢圓得，故的面積為．所以．結(jié)合，解得．所以橢圓的方程為．當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，，顯然不滿足為正三角形，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB方程為，與橢圓顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，由得，設(shè)的中點(diǎn)，則，，，因?yàn)闉檎切危?，而，所以，解得，?dāng)時(shí)，所以，所以直線所以，同理當(dāng)時(shí)，直線所以，綜上：點(diǎn)C的坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)直線l的方程分別為20．【答案】解：當(dāng)時(shí)，，則，，，函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即不等式，即，，，恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也為最大值，故，由，得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是證明：由，得，①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)或時(shí)，令，設(shè)的兩根為和，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，，由，，知，，又由，得，

，令，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞減，，

21.已知集合，集合且滿足：與恰有一個(gè)成立.對(duì)于定義（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）從中任意刪去兩個(gè)數(shù)，記剩下的個(gè)數(shù)的和為.證明：；（Ⅲ）求證：對(duì)于滿足（）的每一個(gè)集合，集合中都存在三個(gè)不同的元素，使得.解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，，?…………2分因?yàn)椋?所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.…………4分（Ⅱ）證明：由的定義可知：.所以.…………6分設(shè)刪去的兩個(gè)數(shù)為，則.由題意可知：，且當(dāng)其中一個(gè)不等式中等號(hào)成立，不放設(shè)時(shí)，，.所以.……………8