能力提升：三角形全等的判定-SAS（解析版）

三角形全等的判定—SAS能力提升一、單選題：1．如圖，，，，，，連接，點(diǎn)恰好在上，則（）A．60o B．55o C．50o D．無(wú)法計(jì)算【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．故答案為：B．

【分析】先利用“SAS”證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形的外角計(jì)算即可。2．如圖，，且，，下列結(jié)論：①；②；③；其中正確的結(jié)論是A．①② B．①②③ C．①③ D．②③【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：，，.，即.在和中，，，，.在和中，，，即.綜上所述，①②③都是正確的.故答案為：B.【分析】由垂直的概念可得∠AOB=∠COD=90°，推出∠COB=∠AOD，證明△AOB≌△COD，得到AB=CD，∠ABO=∠CDO，進(jìn)而證明△AOD≌△COB，得到∠CBO=∠ADO，推出∠ABC=∠CDA，據(jù)此判斷.3．如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC邊上的中線，則AD長(zhǎng)的取值范圍是()A．6<AD<8 B．2<AD<4 C．1<AD<7 D．無(wú)法確定【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，如圖所示：∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE=AC=6，在△AEB中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：C.【分析】先延長(zhǎng)AD到E，且AD=DE，并連接BE，利用SAS易證△ADC≌△EDB，從而可得AC=BE，在△ABE中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得AB-BE＜AE＜AB+BE，從而易求1＜AD＜7.4．如圖，在中，已知于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，.則下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)是的中點(diǎn)；④；⑤為等邊三角形.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）；角平分線的定義【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵AC∥EF，∴∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，又∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠EAD，∴∠EAD=∠AEF，∴AG=GE，又∵GF=GD，∠AGF=∠EGD，∴△AGF≌△EGD（SAS），∴∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，故①正確；∴∠EFB=∠AFE=90°∵AC∥EF，∴∠BAC=∠EFB=90°，故②正確；∵∠AEG+∠EAG=∠AGF，∴2∠AEF=∠AGF，∵∠AGF+∠GAF=90°，∠GAF+∠B=90°，∴2∠AEF=∠AGF=∠B，故④正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明E是BC的中點(diǎn)，即無(wú)法證明CE=AE=EB，故無(wú)法證明三角形AEB是等邊三角形，故③⑤錯(cuò)誤；故答案為：B.【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠ADB=90°，由平行線的性質(zhì)可得∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，由角平分線的概念可得∠CAE=∠EAD，進(jìn)而推出AG=GE，證明△AGF≌△EGD，得到∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，據(jù)此判斷①；由平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠EFB=90°，據(jù)此判斷②；由外角的性質(zhì)可得∠AEG+∠EAG=∠AGF，則2∠AEF=∠AGF，由同角的余角相等可得∠AGF=∠B，據(jù)此判斷④；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明E是BC的中點(diǎn)，即無(wú)法證明CE=AE=EB，據(jù)此判斷③⑤.二、填空題：5.如圖，，，且，則.【答案】140°【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE即∠DCB=∠ACE，

在△BDC和△ACE中

DC=EC∠DCB=∠ECABC=AC

∴△BDC≌△ACE（SAS）

∴∠DBC=∠CAE，

∵∠EBC=50°，

∴∠CAE+∠CBE=50°，

在Rt△ABC中，∠ABE+∠BAE+∠CAE+∠CBE=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°-50°=40°，

∴∠AEB=180°-（∠故答案為：140°.

【分析】利用已知可證得∠DCB=∠ACE，利用SAS證明△BDC≌△ACE，利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠DBC=∠CAE；利用∠EBC=50°，可得到∠CAE+∠CBE=50°，在Rt△ABC中，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABE+∠BAE的值；然后根據(jù)∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE），代入計(jì)算可求解.6．如圖，在銳角中，AC＝10，，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；三角形的面積；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：如圖，在AC上取一點(diǎn)E，使，連接ME，是的平分線，，在和中，，，，，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為BE，又由垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，BE取得最小值，，，解得，即的最小值為5，故答案為：5.【分析】在AC上取一點(diǎn)E，使AE=AN，連接ME，由角平分線的概念可得∠EAM=∠NAM，證明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)B、M、E共線時(shí)，BM+ME取最小值，最小值為BE，然后由三角形的面積公式求出BE即可.三、解答題：7．如圖，AD是的角平分線，且AB>AC，E為AD上任意一點(diǎn)，求證：.【答案】證明：如圖，在AB上截取AF=AC，連接EF，∵AD是的角平分線∴∠1=∠2在與中∵AF=AC，∠1=∠2，AE=AE∴≌（SAS）∴在中，而∴即.【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；三角形全等的判定（SAS）；角平分線的定義【解析】【分析】在AB上截取AF=AC，連接EF，證出△AEF≌△AEC，得出EF=EC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出EB-EF＜BF，從而得出EB-EC＜AB-AC，即可得出AB-AC＞EB-EC.8．如圖，是的中線，是的中線，．求證：?！敬鸢浮拷猓貉娱L(zhǎng)AC到點(diǎn)F，使AC＝CF，連接DF，∵AC是△ABD的中線，∴BC＝DC．∵∠ACB＝∠FCD，在△ABC和△FDC中∴△ABC≌△FDC（SAS）．∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，又∵BA＝BD，AD是△ABE的中線，∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠