第12講 圓錐的側(cè)面積-蘇科版新九年級(jí)《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義

PAGE1第12講圓錐的側(cè)面積內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長(zhǎng)：扇形面積注意：(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(4)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(5)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.教材習(xí)題01解題方法圓錐側(cè)面積的運(yùn)算

【答案】

教材習(xí)題02解題方法圓錐側(cè)面積和全面積的運(yùn)算【答案】

/考點(diǎn)一求圓錐側(cè)面積1．（2025·云南文山·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓錐的高為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，則圓錐的側(cè)面積為（A．20πcm2 B．12πcm2 C．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，圓錐的側(cè)面積求解，掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出底面半徑，再由圓錐的側(cè)面積公式S=πrl（r為底面圓半徑，l為母線）求解即可．【詳解】解：∵高與底面垂直，∴高，母線，半徑組成的三角形的是直角三角形，∴底面半徑為：52∴圓錐的側(cè)面積為π×3×5=15π，故選：D．2．（2025·浙江杭州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，把△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為（

A．π B．5π C．25π【答案】B【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，點(diǎn)、線、面、體以及勾股定理，將△ABC繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓錐，圓錐的底面圓的半徑為1，利用勾股定理計(jì)算母線長(zhǎng)，然后利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形和扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：將△ABC繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓錐，圓錐的底面圓的半徑為1，母線長(zhǎng)=2所以圓錐的側(cè)面積=1故選：B．3．（2025·浙江舟山·二模）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為6，圓心角為120°的扇形，則圓錐的側(cè)面積是．【答案】12【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積計(jì)算即可．【詳解】解：∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為6，圓心角為120°的扇形，∴圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積=120×故答案為：12π考點(diǎn)二求圓錐底面半徑1．（2025·湖北恩施·一模）已知一塊圓心角為300°的扇形鐵皮，用它做一個(gè)圓錐形的煙囪帽（接縫忽略不計(jì)），圓錐的底面圓的直徑是80cm，則這塊扇形鐵皮的半徑是（

A．12cm B．24cm C．48cm【答案】C【分析】本題考查的是圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖之間的關(guān)系，利用底面周長(zhǎng)=展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可得答案．【詳解】解：設(shè)這個(gè)扇形鐵皮的半徑為rcm，由題意得300解得r=48．故這個(gè)扇形鐵皮的半徑為48cm故選C．2．（2025·江蘇宿遷·二模）用一個(gè)半徑為4的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓的半徑為．【答案】2【分析】本題主要考查了圓錐的計(jì)算．設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)半圓的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，列出方程求解即可．【詳解】解：∵半徑為4的半圓的弧長(zhǎng)為：12∴圍成的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為4π，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr=4π，解得r=2，故答案為：2．3．（2025·山東臨沂·二模）如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為4，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，若用扇形ABE圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為．【答案】1.2【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，展開(kāi)圖折疊成幾何體，圓錐的計(jì)算，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．設(shè)該圓錐的底面半徑為r，根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求出∠A=108°，再根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由題意得∠A=180°×(5?2)由題意得，2πr=108×π×4∴r=1.2，∴該圓錐的底面半徑為1.2，故答案為：1.2．4．（2025·寧夏銀川·二模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF中，以點(diǎn)F為圓心，以FB的長(zhǎng)為半徑作弧BD，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為．【答案】2【分析】本題考查正多邊形和圓，弧長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出陰影部分扇形的圓心角度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出半徑，由弧長(zhǎng)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BF，垂足為M，則BM=FM，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF=∠E=6?2×180°6∴∠ABF=∠AFB=∠DFE=180°?120°∴∠BFD=120°?30°?30°=60°，在Rt△ABM中，AB=4，∠ABM=30°∴BM=3∴BF=2BM=43設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為r，由題意可得，2πr=60π×4解得r=2故答案為：23考點(diǎn)三求圓錐的高1.（2025年黑龍江省齊齊哈爾市九年級(jí)中考數(shù)學(xué)調(diào)研模擬卷）一個(gè)圓錐體的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°，半徑為6的扇形，則這個(gè)圓錐體的高為．【答案】4【分析】本題主要考查了求圓錐的高，求圓錐底面圓半徑，勾股定理，，設(shè)這個(gè)圓錐體的底面圓半徑為r，根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)等于其展開(kāi)圖得到的扇形弧長(zhǎng)建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圓錐的高．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐體的底面圓半徑為r，由題意得，120π×6180∴r=2，∴這個(gè)圓錐體的高為62故答案為：422．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，其邊長(zhǎng)6cm為半徑畫(huà)弧，得到陰影部分的扇形，由這個(gè)扇形圍成的圓錐的高為cm【答案】2【分析】本題考查圓錐的母線，高和底面圓半徑之間的關(guān)系，利用圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)求出底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵．先求出扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)是圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，求出圓錐底面圓的半徑，再根據(jù)勾股定理即可求出圓錐的高．【詳解】解：如圖，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠A=∴扇形的弧長(zhǎng)為360?120180設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的高為h∴2π∴r=4∴?=故答案為：253．（2025·廣東清遠(yuǎn)·二模）在數(shù)學(xué)課上，某同學(xué)用一張如圖所示的長(zhǎng)方形紙板制做了一個(gè)扇形，并由這個(gè)扇形，圍成一個(gè)圓錐模型，若扇形的圓心角為120°，圓錐的底面半徑OB=2，則此圓錐的高為．【答案】4【分析】本題考查了圓錐的相關(guān)知識(shí)、弧長(zhǎng)的計(jì)算以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為R，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則利用弧長(zhǎng)公式得到2π×2=120×π×R180，求解即可確定【詳解】解：設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為R，根據(jù)題意得2π×2=120×π×R解得R=6，即在Rt△OAB中，AB=R=6∴由勾股定理，可得OA=A即此圓錐的高為42故答案為：42考點(diǎn)四求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角1．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是圓錐的軸截面圖形，AO是圓錐的高．若BC=6,AO=4，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為（

）A．108° B．168.75° C．216° D．337.5°【答案】C【分析】本題考查求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)，勾股定理求出母線長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可知：OA⊥BC,OB=OC=1∴AB=3設(shè)展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為n°，則：6π=nπ∴n=216；即：展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為216°；故選：C．2．（2025·黑龍江佳木斯·二模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為8cm，底面圓的半徑為3cm，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是．【答案】135°【分析】本題主要考查了求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是n°，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖得到的扇形的弧長(zhǎng)等于其底面圓周長(zhǎng)建立方程求解即可．【詳解】解；設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是n°，由題意得，8πn180解得n=135，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是135°，故答案為：135°．3．（2025·山西朔州·三模）如圖，數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們從卡紙上剪下一個(gè)扇形，它可以折成一個(gè)底面半徑r為3cm，高?為4cm的圓錐體，那么這個(gè)扇形的圓心角∠AOB的度數(shù)是【答案】216°/216度【分析】本題考查了圓錐與扇形之間的關(guān)系，扇形的弧長(zhǎng)，勾股定理；設(shè)圓錐的母線為l，由勾股定理得l=?2+【詳解】解：設(shè)圓錐的母線為l，這個(gè)扇形的圓心角∠AOB=n，∴l(xiāng)===5，∵nπl(wèi)∵nπ×5解得：n=216，故答案為：216°．4．（24-25九年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，要用一個(gè)半徑為24?cm扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓半徑長(zhǎng)為10?cm，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為【答案】150°/150度【分析】本題考查的是求解圓錐展開(kāi)圖的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)列方程計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為n°，∵圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20π?cm，母線長(zhǎng)為24∴nπ解得n=150，即扇形的圓心角為150°．故答案為：150°．考點(diǎn)五圓錐的實(shí)際問(wèn)題1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）湖南是全國(guó)13個(gè)糧食主產(chǎn)省之一，水稻播種面積、總產(chǎn)量均居全國(guó)第一．2024年3月19日，習(xí)近平總書(shū)記來(lái)到常德市鼎城區(qū)謝家鋪鎮(zhèn)港中坪村，走進(jìn)當(dāng)?shù)丶Z食生產(chǎn)萬(wàn)畝綜合示范片區(qū)，察看秧苗培育和春耕備耕進(jìn)展．如圖為某農(nóng)戶(hù)家的圓錐形糧倉(cāng)示意圖，已知其底面周長(zhǎng)為3π米，高度為3.6米，則此糧倉(cāng)的側(cè)面積為m2．（結(jié)果保留π【答案】5.85【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，先計(jì)算底面半徑和母線長(zhǎng)，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．熟知圓錐的側(cè)面是扇形以及扇形的面積計(jì)算方法是關(guān)鍵．【詳解】解：∵底面周長(zhǎng)為3π米∴底面半徑為：3π母線長(zhǎng)為：3.62故糧倉(cāng)的側(cè)面積為：12故答案為：5.85π2．（2025·云南曲靖·二模）某博物館修復(fù)一把古代銅鎖，鎖頭的裝飾部分為圓錐形（如圖）．已知裝飾部分的底面圓的半徑為3厘米，母線長(zhǎng)為5厘米，則該圓錐形裝飾的面積為（

）A．5π平方厘米 B．15π平方厘米 C．30π平方厘米 【答案】B【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即可得解，熟練掌握相關(guān)公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：該圓錐形裝飾的面積為π×3×5=15故選：B．3．（2025·云南昆明·二模）2025年3月9日，云南省首屆“云嶺石榴紅”陀螺邀請(qǐng)賽在玉溪市新平彝族傣族自治縣正式開(kāi)幕．來(lái)自昆明、玉溪、普洱等省內(nèi)7個(gè)州市的68支隊(duì)伍齊聚一堂，展開(kāi)激烈角逐，以陀螺為媒，共話民族團(tuán)結(jié)，共促文化交流．陀螺的底部是一個(gè)圓錐的造型．如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為10cm，高h(yuǎn)為8cm，則此圓錐的側(cè)面積為cm2【答案】60【分析】本題考查了勾股定理，圓錐的側(cè)面積的求解，掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積為πrl（r,l分別為底面圓半徑和母線長(zhǎng)）是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求出半徑，再由圓錐側(cè)面積計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：由題意得，r=10∴圓錐的側(cè)面積為π×6×10=60πcm故答案為：60π4．（22-23九年級(jí)下·河北承德·階段練習(xí)）如圖漏斗，圓錐形內(nèi)壁的母線OB長(zhǎng)為6cm，開(kāi)口直徑為6cm．（1）因直管部分堵塞，漏斗內(nèi)灌滿(mǎn)了水，則水深cm；（2）若將貼在內(nèi)壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開(kāi)，則展開(kāi)濾紙的圓心角為．【答案】33180°【分析】（1）勾股定理求出圓錐的高即可；（1）利用圓錐底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由題意，得，圓錐的底面半徑為62∴圓錐的高為62即：水深33故答案為：33（2）由題意，得：nπ180∴n=180，∴展開(kāi)濾紙的圓心角為180°；故答案為：180°．【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的高，以及求扇形的圓心角．熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題1．（22-23八年級(jí)上·遼寧遼陽(yáng)·期末）今年9月23日是第五個(gè)中國(guó)農(nóng)民豐收節(jié)，小明用3D打印機(jī)制作了一個(gè)底面周長(zhǎng)為12cm，高為8cm的圓柱糧倉(cāng)模型．如圖BC是底面直徑，AB是高．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)（接頭不計(jì)），則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為（

）

A．96πcm B．48cm C．413【答案】D【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)解題．【詳解】解：如圖，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，AC=A′C，且點(diǎn)C∵AB=8，BC=1∴裝飾帶的長(zhǎng)度=2AC=2A故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)?最短路線問(wèn)題，以及學(xué)生的立體思維能力．解題關(guān)鍵是圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形．2．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知某建筑物的頂端為圓錐形（如圖），為了美觀，要在圓錐形建筑上裝飾一條燈帶，燈帶自B處開(kāi)始繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)B，若這個(gè)圓錐形建筑物的底面周長(zhǎng)為40πcm，母線AB的長(zhǎng)為60A．40cm B．60cm C．303【答案】D【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，首先求出圓錐底面的周長(zhǎng)，再求出圓錐側(cè)面的圓心角度數(shù)，最后運(yùn)用勾股定理求出BB【詳解】如圖，扇形BAB1為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，連接∵圓錐形底面周長(zhǎng)為40πcm，母線AB的長(zhǎng)為60cm∴40π=nπ×60180°．解得n=120°，即∵AB=AB∴∠ABB過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BB1于點(diǎn)∴∠ADB=90°．∵AB=60cm∴AD=30cm，BD=30∵AB=AB1，AD垂直∴B∴BB故這條燈帶的最短長(zhǎng)度為603故選D．3．（2025·廣東梅州·一模）綜合與實(shí)踐【主題】制作圓錐形生日帽【素材】①一張圓形紙板；②一條裝飾彩帶．【實(shí)踐操作】步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開(kāi)，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為n°的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽．【實(shí)踐探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中點(diǎn)，現(xiàn)要從點(diǎn)A到點(diǎn)C再到點(diǎn)【答案】8【分析】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理求最值問(wèn)題，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)條件得出圓錐的側(cè)面展開(kāi)后可得到的扇形圓心角為180°，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵AB=8?cm∴r=4?cm∵1∴n=360r∴將圓錐側(cè)面展開(kāi)后得到圓心角為180°由圖可知，∠A∵PA∴PC=1在Rt△A′PC∴彩帶長(zhǎng)度的最小值為2A4．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）如圖1，等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角∠A的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值他就確定了，我們把這個(gè)比值記作T(A)，即T(A)=∠A的對(duì)邊(底邊)∠A的鄰邊(腰)=(1)T90°=__________，T120°(2)如圖2，圓錐的母線長(zhǎng)為18，底面直徑PQ=14，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：T140°≈1.88，T70°【答案】(1)2，3，0<T(A)<2(2)約為20.7【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理和TA（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的知識(shí)和扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算，可求扇形的圓心角；再根據(jù)TA【詳解】（1）解：如圖1，由∠A=90°，AB=AC，得∴T90°如圖2，∵∠BAC=120°，∴作AD⊥BC于D，則∠BAD=12∠BAC=60°∴∠B=30°，則AB=2AD，∴BD=∴BC=2BD=3∴T120°∵AB?AC<BC<AB+AC=2AB，∴0<BC∴0<T（故答案為：2，3，0<T(A)<2；（2）解：∵圓錐的底面直徑PQ=14，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為14π，即側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為14設(shè)扇形的圓心角為n°，則n?π×18180∵T70°∴螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為18×1.15≈20.7．知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1.求圓錐的側(cè)面積2.求圓錐的底面半徑

3.求圓錐的高

4.求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角

5.圓錐的實(shí)際問(wèn)題

6.圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題一、單選題1．（2025·安徽宣城·二模）一圓錐的高為1，母線長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（

）A．3π B．2π C．23π【答案】C【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算．首先根據(jù)勾股定理求得圓錐的底面半徑，從而得到底面周長(zhǎng)，然后利用扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：圓錐的底面半徑是：22圓錐的底面周長(zhǎng)為2π×3則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是12故選：C2．（2025九年級(jí)下·云南楚雄·學(xué)業(yè)考試）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120°的扇形，且側(cè)面積為3π，該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)扇形的面積公式列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，由題意得，120π×l解得：l=3，∴圓錐的母線長(zhǎng)為3．故選：A．3．（24-25九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，圓錐的軸截面（過(guò)圓錐頂點(diǎn)和底面圓心的截面）是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形ABC，點(diǎn)D是母線AC的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)沿圓錐的表面爬行到點(diǎn)D處，則這只螞蟻爬行的最短距離是（

）A．3cm B．33cm C．3【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形可知，展開(kāi)圖是半徑是4的半圓．點(diǎn)B是半圓的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)D是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)B和D在展開(kāi)圖中的距離，就是這只螞蟻爬行的最短距離．正確判斷螞蟻爬行的路線，把曲面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵圓錐的底面周長(zhǎng)是6π，則6π=nπ×6∴n=180°即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是180°，∴在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中AD=3，AB=6，∠BAD=90°，∴在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中BD=A∴這只螞蟻爬行的最短距離是3故選：C．4.（22-23九年級(jí)上·湖北黃岡·期末）如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是（

）A．20cm2 B．40cm2 C．【答案】C【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2．【詳解】解：由圖知，底面直徑為5，則底面周長(zhǎng)l為5π，母線長(zhǎng)為8，所以側(cè)面展開(kāi)圖的面積=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解，比較簡(jiǎn)單．二、填空題5．（2025·江蘇徐州·一模）已知圓錐的底面半徑為5，母線長(zhǎng)為12，則其側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角的度數(shù)為°．【答案】150【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．設(shè)圓心角的度數(shù)為n°，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，列出方程解出n的值即可．【詳解】解：設(shè)圓心角的度數(shù)為n°，由題意得，nπ×12180解得：n=150，∴扇形的圓心角的度數(shù)為150°．故答案為：150．6．若圓錐的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，則圓錐的側(cè)面積為cm2【答案】20π【分析】本題考查圓錐側(cè)面積的求法，掌握相應(yīng)公式是解題的關(guān)鍵．圓錐的側(cè)面積=π×底面半徑×母線長(zhǎng)，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑長(zhǎng)為4cm，母線長(zhǎng)為5∴圓錐的側(cè)面積=π×4×5=20π(cm故答案為：20π．7．（2024·廣東肇慶·一模）若圓錐的高為8cm，母線長(zhǎng)為10cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是cm．（結(jié)果保留【答案】12π【分析】本題主要考查求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，先由勾股定理求出底面半徑即求解．【詳解】解：圓錐底面半徑=10這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是12π故答案為：12π．8．（2024·江蘇徐州·一模）圓錐的側(cè)面積為24π，底面半徑為3，則該圓錐的母線長(zhǎng)是．【答案】8【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面積=πrl，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，∵圓錐的側(cè)面積為24π，底面半徑為3，∴3πl(wèi)=24π．解得：l=8，故答案為：8．9．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）某節(jié)活動(dòng)課上，安安用一張半徑為18cm的扇形紙板做了一個(gè)圓錐形帽子（如圖，接縫處忽略不計(jì)）．若圓錐形帽子的半徑為10cm，則這張扇形紙板的面積為

【答案】180π【分析】本題主要考查圓錐的側(cè)面積，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：解：這張扇形紙板的面積為12故答案為：180π．10．（2025·四川眉山·二模）有一直徑是1m的圓形鐵皮，要從中剪出圓心角是90°的扇形ABC（如圖），用剪下的扇形鐵皮ABC圍成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是【答案】28/【分析】本題考查圓周角定理，求圓錐底面圓的半徑，連接BC，圓周角定理的推論得到BC為直徑，求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐底面圓的半徑即可．【詳解】解：連接BC，由題意，得：∠BAC=90°，AB=AC，∴BC為⊙O的直徑，∴BC=1m∴AB=AC=2∴BC的長(zhǎng)為：90π180∴圓錐的底面圓的半徑為：2π故答案為：2811．（24-25九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)SA=8，現(xiàn)有一只小蟲(chóng)從圓錐底面圓上A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面繞行到母線SA的中點(diǎn)B，則它所走的最短路程是．【答案】4【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角，圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題，涉及弧長(zhǎng)公式，圓的周長(zhǎng)公式，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，掌握?qǐng)A錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)和兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)求解圓心角；再畫(huà)出展開(kāi)圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n°，根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)得：2π又∵r=2,l=8．∴2×2π解得：n=90．∴它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90°；根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90°，畫(huà)出展開(kāi)圖如下：根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知AB為最短路徑，∵SA=8，B為SA∴SB=4由（1）知∠AS∴AB=∴它所走的最短路線長(zhǎng)是45故答案為：412．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，△ABC是一個(gè)圓錐的主視圖，若AB=AC=5，BC=6，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為°．【答案】216【分析】本題考查了圓錐側(cè)展開(kāi)圖的圓心角的計(jì)算，熟知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)主視圖得到圓錐的母線長(zhǎng)和底面圓的直徑，可得底面周長(zhǎng)，再由扇形弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得可知：圓錐的母線長(zhǎng)為5，圓錐的底面直徑為6，則圓錐的底面周長(zhǎng)為6π由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可得：5×nπ180∴n=216°故答案為：216．13．（2024·四川德陽(yáng)·二模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個(gè)圓錐，則圓錐底面圓的半徑為．【答案】3【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，含30度直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形弧長(zhǎng)計(jì)算，圓的周長(zhǎng)公式等知識(shí)；涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H；由正六邊形的性質(zhì)得∠BAC=∠FAE=30°，∠CAE=60°；在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH，從而求得AC，則可求得CE【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，∵正六邊形ABCDEF，∴∠BAF=∠ABC=(6?2)×180°÷6=120°，又∵AB=BC，BH⊥AC∴∠BAC=12(180°?120°)=30°同理可知∠FAE=30°，∴∠CAE=60°，在Rt△ABH中，∠BAH=30°則BH=12AB=3∴AC=63∴CE的長(zhǎng)=∴圓錐底面圓的半徑為23故答案為：3．14．（2023·湖北十堰·三模）黨的二十大提出“發(fā)展鄉(xiāng)村特色產(chǎn)業(yè)，拓寬農(nóng)民增收致富渠道．”王家莊村民李興旺看到來(lái)村游客越來(lái)越多，民宿需求大增，就擴(kuò)大自己的農(nóng)家樂(lè)經(jīng)營(yíng)規(guī)模，在新建大廚房時(shí)，購(gòu)買(mǎi)了規(guī)格為180cm×120cm的長(zhǎng)方形不銹鋼鐵皮（如圖①）用來(lái)制作如圖②的煙囪帽（圓錐部分），他用鐵皮裁下的最大扇形焊成的煙囪帽的高度為cm．

【答案】80【分析】先找到用鐵皮裁下的最大扇形，再根據(jù)圓錐的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，扇形面積為14

如圖，扇形面積為12

如圖，CD=BD=120，則AD=180?120=60，在Rt△ABD中，∠A=90°，AD=60，BD=120∴cos∠ADB=∴∠ADB=60°，∴∠CDB=120°，，扇形面積為120π?120最大扇形的弧長(zhǎng)為120π?120180圓錐的底面半徑為80π2π=40，母線長(zhǎng)為用鐵皮裁下的最大扇形焊成的煙囪帽的高度為1202故答案為：802【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．三、解答題15．（24-25九年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)B，F(xiàn)在⊙A上，若圖中陰影部分恰是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求這個(gè)圓錐的高．【答案】4【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)與底面圓的關(guān)系，母線、底面圓的半徑和圓錐的高構(gòu)成直角三角形的關(guān)系，弄清弧長(zhǎng)與圓錐的底面圓的周長(zhǎng)的關(guān)系及母線、底面圓的半徑和高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和，即可求得內(nèi)角∠A的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)邊長(zhǎng)等于⊙A的半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得弧FB的長(zhǎng)，再根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)就是弧FB的長(zhǎng)，求得底面圓的半徑，進(jìn)而根據(jù)母線、底面圓的半徑和圓錐的高構(gòu)成直角三角形，再求解即可．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，∴∠A=180°?360°∴弧FB的長(zhǎng)為：120π∵圖中陰影部分恰是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖．∴弧FB的長(zhǎng)即為圓錐底面的周長(zhǎng)，設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2π解得：r=2，∴圓錐的高?=616．（2022·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為5cm(1)取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長(zhǎng)為6cm，開(kāi)口圓的直徑為6cm．當(dāng)濾紙片重疊部分三層，且每層為(2)假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長(zhǎng)為6cm，開(kāi)口圓的直徑為7.2【答案】(1)能，見(jiàn)解析(2)5π【分析】此題考查了圓錐側(cè)面積實(shí)際應(yīng)用．（1）證明表面是否緊貼只需考慮展開(kāi)圖的圓心角是否相等．即可得到結(jié)論；（2）求出扇形弧長(zhǎng)為7.2πcm，則圓心角為7.2π÷6×180°π【詳解】（1）解：如圖所示：∵表面緊貼的兩圓錐形的側(cè)面展開(kāi)圖為圓心角相同的兩扇形，∴