第05講 圓的基本概念和性質-蘇科版新九年級《數學》暑假自學提升講義

PAGE1第05講圓的基本概念和性質內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練習題講典例：教材習題學解題、快速掌握解題方法練考點強知識：7大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點1圓的定義和性質圓的定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個長端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。備注：圓心確定圓的位置，半徑度確定圓的大小?！狙a充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。知識點2圓的有關概念弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。

知識點3點與圓的位置關系設⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d<r點P在⊙O內；d=r點P在⊙O上；d>r點P在⊙O外。教材習題01解題方法①勾股定理

②點與圓的位置關系

【答案】

教材習題02解題方法①矩形的性質

②勾股定理【答案】

/考點一圓的有關概念1．（2025·湖南婁底·三模）“轉化”是一種重要的解決問題策略，在我們數學學習中經常會運用到．例如探索圓的面積計算公式時，許多同學會將圓形紙片剪成16等份，拼成一個近似的平行四邊形（如圖①），然后推導出圓的面積計算方法．小亮在研究時，將圓形紙片剪成16等份，拼成一個近似的梯形（如圖②）．請仔細觀察拼成的這個梯形，梯形的上底與下底的和與梯形的高分別是（

）A．圓周長，圓的半徑 B．圓周長，圓的直徑C．圓周長的一半，圓的半徑 D．圓周長的一半，圓的直徑【答案】D【分析】本題考查圓的面積的推算，觀察圖形可知梯形的上底與下底的和為圓周長的一半，梯形的高為圓的直徑，據此解答．【詳解】解：由圖可得梯形的上底與下底的和為圓周長的一半，梯形的高為圓的直徑，故選：D．2．（2025·江蘇連云港·二模）一張圓形的紙，要想找到它的圓心，至少要對折（）次．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】本題主要考查了找圓心，沿不同的折痕把圓對折兩次，這兩條折痕的交點即為圓心，據此可得答案．【詳解】解：∵圓的圓心一定在其直徑上，∴沿不同的折痕把圓對折兩次，這兩條折痕的交點即為圓心，∴一張圓形的紙，要想找到它的圓心，至少要對折2次，故選：B．3．（2025·云南西雙版納·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC=CD，∠AOC=50°，則∠BOD=（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，先證明△AOC≌△COD，則∠COD=∠AOC=50°，結合AB是⊙O的直徑，列式計算，得∠BOD=80°，即可作答．【詳解】解：∵AO=CO=DO，AC=CD，∴△AOC≌△COD，∴∠COD=∠AOC=50°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BOD=180°?50°?50°=80°，故選：C．考點二求圓中弦的條數1．（2025·湖南張家界·一模）如圖，在⊙O中，點A，O，D在一條直線上，點B，O，C在一條直線上，那么圖中有弦（）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】B【分析】本題考查了圓的認識，根據弦的定義進行判斷．掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．【詳解】解：弦為AB、CE、BC．故選：B．2．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，A，B，C，E四點在⊙O上，點A，O，B，點C，O，D，點B，D，E分別共線，則圖中弦的條數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查圓的認識，理解弦的定義是解決本題的關鍵．根據弦的定義進行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有AC，AB，BE共三條，故選：B．3．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在⊙O中，弦的條數是（

）A．2 B．3 C．4 D．以上均不正確【答案】C【分析】本題主要考查了圓的弦．熟練掌握弦的定義是解決問題的關鍵．弦的定義：連接圓上任意兩點的線段叫做弦．根據圓的弦的定義解答．【詳解】在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD，共有4條弦．故選：C．4．（22-23九年級上·北京·單元測試）如圖，點A，O，D，點C，D，E以及點B，O，C分別在一條直線上，則圓中弦的條數為（

）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】A【分析】根據弦的定義進行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有BC，CE共2條．故選：A．【點睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關鍵．

考點三求過圓內一點的最長弦1．（24-25九年級上·浙江寧波·開學考試）已知⊙O中最長的弦為6cm，則⊙O的半徑為（

）cmA．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】本題考查了圓的基本知識；熟練理解圓中最長的弦是直徑是解題的關鍵．根據圓中最長的弦是直徑以及同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，即可求得結果．【詳解】解：∵⊙O中最長的弦長為6cm∴⊙O的直徑的長為6cm∴⊙O的半徑為3cm故選B．2．（23-24九年級下·吉林松原·階段練習）如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC是弦，點P是劣弧BC上任意一點．若AB=4,∠B=30°，則AP的長不可能是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題主要考查直徑是最長的弦，由AB是⊙O直徑得AB是⊙O中最長的弦，且AB=4，故有AP≤AB，所以可得結論．【詳解】解：AB是⊙O直徑，∴AB是⊙O中最長的弦，∴AP≤AB，∵AB=4,∴AP≤4,∴只有選項D符合題意，故選：D．3．（24-25九年級下·湖南長沙·開學考試）已知⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，則AB的長度a的取值范圍是．【答案】0<a≤10【分析】本題考查了圓的相關知識，明確圓中最長的弦是直徑是解題的關鍵．利用直徑是圓內最長的弦即可求解．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5，∴⊙O的弦AB的長度的取值范圍為：0<a≤2×5=10，故答案為：0<a≤10．4．（24-25九年級上·河北唐山·期中）⊙O外一點P到圓周上一點的最長距離為8cm，最短距離為2cm，則⊙O的直徑長為【答案】6【分析】本題考查了圓的直徑，半徑，熟練掌握直徑是圓的最大弦是解題的關鍵．根據直徑是圓中最大的弦解答即可．【詳解】解：如圖，設圓的圓心為點O，∵直徑是圓中最大的弦，∴過P，O作圓的直徑AB，則PA=8cm，PB=2∴AB=PA?PB=6cm∴圓的直徑為6cm故答案為：6．

考點四求一點到圓上點距離的最值1.如圖，正方形的邊長為，點分別在、上，且，與相交于點，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質，圓周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握的圓周角所對的弦是直徑是解答本題的關鍵．通過證明，可證，則點在以為直徑的一段弧上運動，當點在與弧的交點處時，最短，然后根據勾股定理求出的長即可求解．【詳解】解∶四邊形是正方形，，在和中，，，，∴，點在以為直徑的一段弧上運動，設的中點為，則當點在與弧的交點處時，最短，，，∴，，故答案為：．2.如圖，四邊形為矩形，，．點E是線段上一動點，連接，點F為線段上一點，連接，若，則的最小值為．【答案】4【分析】本題考查了圓外一點到圓上各點的最小距離，勾股定理，矩形的性質，關鍵是構造圓．由可得，，點在以為直徑的圓弧上，點在圓外，可求的最小值．【詳解】解：作的中點，連接．矩形中，，，，，，當點移動時，點在以為直徑的圓弧上移動，當點在上時，有最小值．，，，，，有最小值為4．故答案為：4．3.如圖，正方形的邊長為8，點是邊的中點，點是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接．當最小時，的長是．【答案】/【分析】本題主要考查了圓的性質，正方形和折疊的性質，勾股定理，確定當點G、F、A三點共線時，最小是解題的關鍵，同時注意運用面積法求垂線段的長度．由翻折知，得點F在以B為圓心，8為半徑的圓上運動，可知當點G、F、A三點共線時，最小，連接，再勾股定理求出的長，然后利用等面積法即可求出．【詳解】解：∵正方形的邊長為8，∴，，∵將沿翻折得到，∴，∴點F在以B為圓心，8為半徑的圓上運動，∴當點G、F、A三點共線時，最小，如圖，連接

∵點G是邊的中點，∴，由勾股定理得，，∵∴∴解得．故答案為：．4.如圖，在正方形中，，M，N分別為邊，的中點，E為邊上一動點，以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交于點F，P為的中點，Q為線段上任意一點，則長度的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，為的中點，可得，則在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，當四點共線時，最小，再進一步求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵正方形，，∴，，∵分別，的中點，∴，，∵為的中點，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，當四點共線時，最小，此時，，∴，∴，即的最小值為：，故選B【點睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質，勾股定理的應用，等腰三角形的性質，正方形的性質，圓的確定，熟練的確定P的運動軌跡是解本題的關鍵．

考點五求圓弧的度數1．（24-25九年級上·山東淄博·期末）如圖，已知AB,CD是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，∠BOD=112°，則CE的度數為（A．38° B．44° C．48° D．54°【答案】B【分析】由對頂角相等得∠AOC=∠BOD=112°，由CE∥AB得到∠DCE=180°?∠AOC=68°，由OC=OE得到∠OCE=∠OEC=68°，即可求出∠COE=180°?∠OCE?∠OEC=44°，得到【詳解】解：如圖，連接OE，∵∠BOD=112°，∴∠AOC=∠BOD=112°，∵CE∴∠DCE=180°?∠AOC=68°，∵OC=OE∴∠OCE=∠OEC=68°，∴∠COE=180°?∠OCE?∠OEC=44°，∴CE的度數為44°．故選：B【點睛】此題考查了平行線的性質、等腰三角形的判定和性質、三角形內角和定理、圓心角和弧的度數的關系等知識，熟練掌握圓心角和弧的度數的關系是解題的關鍵．2．（24-25九年級上·江蘇徐州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A=25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則BD的度數為（

A．50° B．40° C．55° D．60°【答案】A【分析】本題考查了直角三角形性質，求圓弧度數，等腰三角形性質，解題的關鍵在于恰當的作出輔助線解決問題．連接CD，利用直角三角形性質得到∠ABC=65°，結合圓的特點和等腰三角形性質得到∠CDB=∠ABC=65°，進而即可求得BD的度數．【詳解】解：連接CD，∵在Rt△ABC中，∠A=25°，∴∠ABC=90°?25°=65°，∵BC=CD，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°?2×65°=50°，即BD的度數為50°，故選：A．3．（23-24九年級上·全國·單元測試）已知AB，CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，∠COE=40°，則BD的度數是（A．70° B．110° C．40° D．70°或110°【答案】D【分析】本題考查了考查了圓的有關性質，等腰三角形的有關性質，平行線的性質，根據題意畫圖分情況分析即可，熟練掌握知識點的應是解題的關鍵．【詳解】如圖，∵OC=OE，∴∠1=∠2，∵∠COE=40°，∴∠1=∠2=1∵弦CE∥∴∠AOE=∠2=70°，∴∠BOD=∠AOC=∠COE+∠AOE=110°∴BD的度數是110°；如圖，∵OC=OE，∴∠C=∠E，∵∠COE=40°，∴∠C=∠E=1∵弦CE∥∴∠AOC=∠C=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°∴BD的度數是70°；綜上可知：BD的度數是70°或110°，故選：D．考點六點與圓的位置關系1．（24-25九年級上·北京西城·階段練習）如果⊙O的半徑為3，OA=2，則點A在⊙O（

）A．外 B．內 C．上 D．不確定【答案】B【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，若點與圓心的距離為d，圓的半徑為r，則當d>r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內，據此判斷即可．【詳解】解：∵⊙O的半徑為3，OA=2，且2<3，∴點A在⊙O內，故選：B．2．（24-25九年級上·山西忻州·階段練習）已知⊙O的半徑為4cm，若OA=5cm，則點A與⊙O的位置關系是（A．點A在⊙O外 B．點A在⊙O上C．點A在⊙O內 D．不能確定【答案】A【分析】本題考查點與圓的位置關系．若⊙O的半徑為r，一點P和圓心O的距離為d，當d=r時，點P在⊙O上；當d<r時，點P在⊙O內；當d>r時，點P在⊙O外．熟記相關結論即可．【詳解】解：∵OA=5cm>4∴點A在⊙O外故選：A3．（24-25九年級上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點D處建一個5G基站，其覆蓋半徑為300mA．A，B，C都不在 B．只有B C．只有【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性質，點與圓的位置關系，根據勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，取AC中點D，連接BD，根據直角三角形斜邊中線的性質得BD=12AC=250m，以點【詳解】解：∵AB=300m，BC=400m，∴AB∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，取AC中點D，連接BD，則BD=1以點D為圓心，300m由圖可知，點A、B、C都在⊙D內，∴這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內，故選：D．4.（22-23九年級下·上海·階段練習）在直角坐標平面內，M2,0，圓M的半徑為4，那么點P?2,3與圓M的位置關系是（A．點P在圓內 B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了點與圓的位置關系．求得線段MP的長后與圓M的半徑比較即可確定正確的選項．【詳解】解：∵M2,0，P∴MP=2+2∵圓M的半徑為4，∴點P在圓外，故選：C．

考點七利用點與圓的位置關系求半徑1．（24-25九年級上·河南商丘·期中）已知圓外一點到圓的最大距離為9cm，最小距離為3cm，則圓的半徑為（A．10cm或5cm B．6cm或3cm C．【答案】C【分析】本題考查了點與圓的位置關系，掌握圓外一點到圓的最大距離與最小距離之差等于圓的直徑是解題關鍵．將最大距離與最小距離作差，進而求解即可．【詳解】解：∵圓外一點到圓的最大距離為9cm，最小距離為3∴圓的半徑為9?3÷2=3故選：C．2．（2024八年級上·全國·專題練習）在直角坐標平面內，點A的坐標為(1,0)，點B的坐標為(a,0)，圓A的半徑為2．若點B在圓上，則a值為（）A．2或3 B．?1或3 C．?3或1 D．?3或2【答案】B【分析】本題考查了點與圓的位置關系，正確理解點與圓的位置關系是解題的關鍵．根據點A的坐標和圓A的半徑以及兩點之間的距離即可求出答案．【詳解】∵A(1,0)，圓A的半徑為2，∴AB=2，∴a?1解得a=?1或3．故選：B．3．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）數軸上有點A、點B，點A表示實數6，點B表示實數b，⊙B半徑為4，若點A在⊙B內．則實數b的取值范圍是（）A．b<2 B．b>10 C．b<2或b>10 D．2<b<10【答案】D【分析】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．首先確定AB的取值范圍，然后根據點A所表示的實數寫出b的取值范圍，即可得到正確選項．【詳解】解：∵⊙B半徑為4．若點A在⊙B內，∴AB<4，∵點A所表示的實數為6，∴2<b<10，故選：D．4．（24-25九年級上·浙江臺州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以點C為圓心，r為半徑作⊙C．若點A在⊙C內，且點B在⊙C外，則rA．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】B【分析】本題考查了點與圓的位置關系，正確理解點與圓的位置關系是解題的關鍵．根據點與圓的位置關系，即可求得3<r<4，由此即可判斷答案．【詳解】解：∵點A在⊙C內，∴r>3，∵點B在⊙C外，∴r<4，∴3<r<4，∴只有r=3.5cm故選：B．知識導圖記憶知識目標復核1.圓的有關概念2.點與圓的位置關系3.圓弧角度的計算4.點到圓距離的最值問題

一、單選題1．（2025·吉林·二模）在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，以B為圓心，BC長為半徑畫圓，則點A和⊙B的位置關系，下列說法正確的是（

）A．點A在⊙B外 B．點A在⊙B上C．點A在⊙B內 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查的是等腰三角形的判定，點與圓的位置關系，先證明∠A=180°?40°?70°=70°=∠C，可得BA=BC即可得到結論.【詳解】解：如圖，∵在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，∴∠A=180°?40°?70°=70°=∠C，∴BA=BC，∴以B為圓心，BC長為半徑畫圓，則點A在⊙B上，故選：B．2．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，則∠ACO的度數為（）A．38° B．46° C．44° D．48°【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，圓的相關定義，掌握相關知識點是解題關鍵．先證明△AOB≌△CODSSS，推出∠BOD=∠AOC=84°【詳解】解：在△AOB和△COD中，OA=OCOB=OD∴△AOB≌△CODSSS∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB?∠AOD=∠COD?∠AOD，∴∠BOD=∠AOC=84°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=180°?∠AOC故選：D．3．（2025·浙江寧波·一模）圖1是阿基米德的滑動曲尺模型，圖2是其抽象成的幾何圖形．AB為⊙O的直徑，其延長線與弦DC的延長線交于點E，CE=CO．若∠AOD=60°，則∠AED的度數為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】本題考查了圓的基本概念、等邊對等角，熟練掌握圓的基本概念是解題的關鍵．利用等邊對等角得到∠E=∠COE，由DO=CO得到∠D=∠OCD=2∠E，利用三角形的外角的性質得到∠AOD=3∠E，結合∠AOD=60°即可求解．【詳解】解：∵CE=CO，∴∠E=∠COE，∴∠OCD=∠E+∠COE=2∠E，∵DO=CO，∴∠D=∠OCD=2∠E，∴∠AOD=∠E+∠D=3∠E，∵∠AOD=60°，∴3∠E=60°，∴∠E=20°，即∠AED=20°．故選：B．4．（2025·云南保山·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，垂足為E．如果BE=8，DE=12，那么⊙O的半徑是（

）A．5 B．7 C．12 D．13【答案】D【分析】本題考查圓的性質、勾股定理的運用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．連接OD，OD為半徑，在Rt△EDO中根據勾股定理可得出OD【詳解】解：連接OD，∴OB=OD．∵AB⊥CD，∴∠DEO=90°．∴OE∵OE=OB?BE=OD?8，∴OD?82+故選：D．5．（24-25九年級上·河南鄭州·期末）⊙O的半徑為5，圓心O的坐標為0,0，點P的坐標為3,4，則點P與⊙O的位置關系是（

）A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上C．點P在⊙O外 D．點P在⊙O上或⊙O外【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，點與圓的位置關系，掌握點與圓的位置關系是解題的關鍵．運用勾股定理得到OP=5，根據點與圓的位置關系即可求解．【詳解】解：點P的坐標為3,4，∴OP=3∵⊙O的半徑為5，圓心O的坐標為0,0，∴點P與⊙O的位置關系是點P在⊙O上，故選：B．6．（24-25九年級上·天津·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，連接CD，則∠ACD=（

）A．15° B．10° C．12° D．50°【答案】B【分析】本題考查了三角形的內角和定理和等腰三角形的性質，是基礎知識比較簡單．先求得∠B=50°，再由等腰三角形的性質求出∠BCD=180°?2×50°=80°，則∠ACD與∠BCD互余．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°?2×50°=80°，∴∠ACD=90°?80°=10°；故選：B．7．（24-25九年級上·青海西寧·期中）下列命題是真命題的是（

）A．長度相等的弧是等弧B．圓中最長的弦是經過圓心的弦C．一條弦把圓分成兩條弧，分別是優(yōu)弧和劣弧D．平分弦的直徑垂直于弦【答案】B【分析】本題考查了命題，圓中的有關概念，熟練掌握圓的概念和性質是解題的關鍵。根據圓的概念和性質分析即可．【詳解】解：A．在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故原說法錯誤，是偽命題，不符合題意；B．圓中最長的弦是經過圓心的弦，說法正確，是真命題，符合題意；C．一條弦（非直徑）把圓分成兩條弧，分別是優(yōu)弧和劣弧，故原說法錯誤，是偽命題，不符合題意；D．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故原說法錯誤，是偽命題，不符合題意；故選：B．二、填空題8．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則弧BC的度數是【答案】150°/150度【分析】本題考查了求弧的角度，連接BO，過點O作OE⊥AB于點E，設圓的半徑為r，根據題意可得OE=12OB，進而得∠OBE=30°，根據AB【詳解】解：如圖所示：連接BO，過點O作OE⊥AB于點E，設圓的半徑為r，由題意可得：OE=12∴OE=∴∠OBE=30°∴∠BOD=∠OBE=30°∴∠BOC=180°?∠BOD=150°∴弧BC的度數是150°故答案為：150°9．（2025·甘肅隴南·三模）已知矩形ABCD的頂點B，C在半徑為5的半圓O上，頂點A，D在直徑EF上．若ED=2，則矩形ABCD的面積為．【答案】24【分析】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，圓的有關概念，掌握矩形的性質和勾股定理是解題的關鍵．連接OC,OB，可由勾股定理求得CD=CO2?DO2=4【詳解】解：連接OC,OB，則OC=OE=5，∵ED=2，∴OD=3，∵矩形ABCD，∴∠CDO=∠BAO=90°,CD=AB，∴CD=∵OC=OB，∴Rt△CDO≌∴AO=DO=3，∴AD=6，∴矩形ABCD的面積為4×6=24，故答案為：24．10．（2025·河南·模擬預測）如圖，正方形ABCD的頂點A，B分別與數軸上表示數0，2的點重合，點C在⊙A上，則⊙A與數軸正半軸的交點E表示的數為．【答案】2【分析】本題主要查了圓的基本性質，正方形的性質，勾股定理，實數與數軸．連接AC，根據正方形的性質可得BC=AB=2，∠ABC=90°，再由勾股定理可得AC=22【詳解】解：如圖，連接AC，∵正方形ABCD的頂點A，B分別與數軸上表示數0，2的點重合，∴BC=AB=2，∠ABC=90°，∴AC=A∵點C在上，∴⊙A的半徑為22∴⊙A與數軸正半軸的交點E表示的數為22故答案為：211．（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在⊙O中，已知∠OAB=50°，則弦AB所對的圓心角的度數是．【答案】80°【分析】本題考查了圓心角，圓的性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵掌握相關知識．由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA=50°，再根據三角形的內角和定理求出∠AOB，即可求解．【詳解】解：∵OA=OB，∠OAB=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°?50°?50°=80°，即弦AB所對的圓心角的度數是80°，故答案為：80°．12．（24-25九年級上·山西大同·期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點D在⊙O上，連接AD，在AB上截取AC=AD，連接DC并延長交⊙O于點E．若∠A=30°，AB=8，則DE的長為．【答案】4【分析】本題考查了圓的基本性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理．先證明△DOE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接OD，∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD=1∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠ODE=∠ADC?∠ADO=45°．∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE=45°．∴∠DOE=180°?∠OED?∠ODE=90°，則△DOE是等腰直角三角形．∵AB=8，∴OD=OE=1∴DE=O故答案為：4213．（24-25九年級下·湖北宜昌·階段練習）如圖，直線l與⊙O相交于點A，B，點A的坐標為3,1，則點B的坐標為．【答案】?3,?1【分析】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，根據關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點Px,y關于原點O的對稱點是P【詳解】解：由圖可以發(fā)現：點A與點B關于原點對稱，∵點A的坐標為3,1，∴點B的坐標為?3,?1，故答案為