2025年考研數(shù)學（一）高等數(shù)學強化訓練：多元函數(shù)微分法與積分法試題集

2025年考研數(shù)學（一）高等數(shù)學強化訓練：多元函數(shù)微分法與積分法試題集一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）1.設函數(shù)f(x,y)=x^2+y^2，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=2x，f_y=2yB.f_x=2y，f_y=2xC.f_x=2x^2，f_y=2y^2D.f_x=2y^2，f_y=2x^22.設函數(shù)z=f(x,y)=e^(x+y)，則下列混合偏導數(shù)中，正確的是：A.?^2z/?x^2=e^(x+y)，?^2z/?y^2=e^(x+y)B.?^2z/?x^2=e^x，?^2z/?y^2=e^yC.?^2z/?x^2=e^y，?^2z/?y^2=e^xD.?^2z/?x^2=e^x+y，?^2z/?y^2=e^x+y3.設函數(shù)f(x,y)=ln(x^2+y^2)，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=2x/(x^2+y^2)，f_y=2y/(x^2+y^2)B.f_x=2y/(x^2+y^2)，f_y=2x/(x^2+y^2)C.f_x=2x/(x^2+y^2)，f_y=2y/(x^2+y^2)D.f_x=2y/(x^2+y^2)，f_y=2x/(x^2+y^2)4.設函數(shù)f(x,y)=arctan(y/x)，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=-y/(x^2+y^2)，f_y=x/(x^2+y^2)B.f_x=x/(x^2+y^2)，f_y=y/(x^2+y^2)C.f_x=y/(x^2+y^2)，f_y=x/(x^2+y^2)D.f_x=x/(x^2+y^2)，f_y=y/(x^2+y^2)5.設函數(shù)f(x,y)=x^2y^3，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=2xy^3，f_y=3x^2y^2B.f_x=3x^2y^2，f_y=2xy^3C.f_x=2x^2y^3，f_y=3xy^2D.f_x=3xy^2，f_y=2x^2y^36.設函數(shù)f(x,y)=e^(x^2+y^2)，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=2xe^(x^2+y^2)，f_y=2ye^(x^2+y^2)B.f_x=2ye^(x^2+y^2)，f_y=2xe^(x^2+y^2)C.f_x=2xe^(x^2+y^2)，f_y=2ye^(x^2+y^2)D.f_x=2ye^(x^2+y^2)，f_y=2xe^(x^2+y^2)7.設函數(shù)f(x,y)=ln(x^2+y^2)，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=2x/(x^2+y^2)，f_y=2y/(x^2+y^2)B.f_x=2y/(x^2+y^2)，f_y=2x/(x^2+y^2)C.f_x=2x/(x^2+y^2)，f_y=2y/(x^2+y^2)D.f_x=2y/(x^2+y^2)，f_y=2x/(x^2+y^2)8.設函數(shù)f(x,y)=arctan(y/x)，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=-y/(x^2+y^2)，f_y=x/(x^2+y^2)B.f_x=x/(x^2+y^2)，f_y=y/(x^2+y^2)C.f_x=y/(x^2+y^2)，f_y=x/(x^2+y^2)D.f_x=x/(x^2+y^2)，f_y=y/(x^2+y^2)9.設函數(shù)f(x,y)=x^2y^3，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=2xy^3，f_y=3x^2y^2B.f_x=3x^2y^2，f_y=2xy^3C.f_x=2x^2y^3，f_y=3xy^2D.f_x=3xy^2，f_y=2x^2y^310.設函數(shù)f(x,y)=e^(x^2+y^2)，則下列偏導數(shù)中，正確的是：A.f_x=2xe^(x^2+y^2)，f_y=2ye^(x^2+y^2)B.f_x=2ye^(x^2+y^2)，f_y=2xe^(x^2+y^2)C.f_x=2xe^(x^2+y^2)，f_y=2ye^(x^2+y^2)D.f_x=2ye^(x^2+y^2)，f_y=2xe^(x^2+y^2)二、填空題（共5小題，每小題10分，共50分）1.設函數(shù)f(x,y)=e^(x^2+y^2)，則f_x(0,0)=______，f_y(0,0)=______。2.設函數(shù)f(x,y)=ln(x^2+y^2)，則f_x(1,1)=______，f_y(1,1)=______。3.設函數(shù)f(x,y)=arctan(y/x)，則f_x(1,1)=______，f_y(1,1)=______。4.設函數(shù)f(x,y)=x^2y^3，則f_x(2,3)=______，f_y(2,3)=______。5.設函數(shù)f(x,y)=e^(x^2+y^2)，則f_x(0,0)=______，f_y(0,0)=______。三、解答題（共3小題，每小題20分，共60分）1.設函數(shù)f(x,y)=x^2y^3，求f_x(2,3)和f_y(2,3)。2.設函數(shù)f(x,y)=e^(x^2+y^2)，求f_x(0,0)和f_y(0,0)。3.設函數(shù)f(x,y)=ln(x^2+y^2)，求f_x(1,1)和f_y(1,1)。四、計算題（共2小題，每小題20分，共40分）4.設函數(shù)f(x,y)=x^3y-3x^2y^2+2xy^3，求f_x(1,1)和f_y(1,1)。五、證明題（共1小題，共20分）5.證明：若函數(shù)f(x,y)在點(x_0,y_0)可微，則f(x,y)在該點的全微分存在，且滿足以下關系式：df=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy。六、應用題（共1小題，共20分）6.已知函數(shù)f(x,y)=x^2e^y，求在點(1,0)處的全微分df。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：根據(jù)偏導數(shù)的定義，對x求偏導得到f_x=2x，對y求偏導得到f_y=2y。2.A解析：對z關于x求二階偏導得到?^2z/?x^2=e^(x+y)，對z關于y求二階偏導得到?^2z/?y^2=e^(x+y)。3.A解析：對f關于x求偏導得到f_x=2x/(x^2+y^2)，對f關于y求偏導得到f_y=2y/(x^2+y^2)。4.A解析：對f關于x求偏導得到f_x=-y/(x^2+y^2)，對f關于y求偏導得到f_y=x/(x^2+y^2)。5.A解析：對f關于x求偏導得到f_x=2xy^3，對f關于y求偏導得到f_y=3x^2y^2。6.A解析：對f關于x求偏導得到f_x=2xe^(x^2+y^2)，對f關于y求偏導得到f_y=2ye^(x^2+y^2)。7.A解析：與第3題相同，對f關于x求偏導得到f_x=2x/(x^2+y^2)，對f關于y求偏導得到f_y=2y/(x^2+y^2)。8.A解析：與第4題相同，對f關于x求偏導得到f_x=-y/(x^2+y^2)，對f關于y求偏導得到f_y=x/(x^2+y^2)。9.A解析：與第5題相同，對f關于x求偏導得到f_x=2xy^3，對f關于y求偏導得到f_y=3x^2y^2。10.A解析：與第6題相同，對f關于x求偏導得到f_x=2xe^(x^2+y^2)，對f關于y求偏導得到f_y=2ye^(x^2+y^2)。二、填空題1.f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0解析：將x和y都取0，代入函數(shù)f(x,y)=e^(x^2+y^2)得到f(0,0)=e^0=1，所以偏導數(shù)為0。2.f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=2解析：將x和y都取1，代入函數(shù)f(x,y)=ln(x^2+y^2)得到f(1,1)=ln(1+1)=ln(2)，所以偏導數(shù)為2。3.f_x(1,1)=-1，f_y(1,1)=1解析：將x和y都取1，代入函數(shù)f(x,y)=arctan(y/x)得到f(1,1)=arctan(1/1)=π/4，所以偏導數(shù)為-1和1。4.f_x(2,3)=24，f_y(2,3)=54解析：將x和y都取2和3，代入函數(shù)f(x,y)=x^2y^3得到f(2,3)=2^2*3^3=216，所以偏導數(shù)為24和54。5.f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0解析：與第1題相同，將x和y都取0，代入函數(shù)f(x,y)=e^(x^2+y^2)得到f(0,0)=e^0=1，所以偏導數(shù)為0。三、解答題1.f_x(2,3)=24，f_y(2,3)=54解析：對f關于x求偏導得到f_x=2xy^3，將x和y都取2和3，得到f_x(2,3)=2*2*3^3=24。對f關于y求偏導得到f_y=3x^2y^2，將x和y都取2和3，得到f_y(2,3)=3*2^2*3^2=54。2.f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0解析：對f關于x求偏導得到f_x=2xe^(x^2+y^2)，將x和y都取0，得到f_x(0,0)=0。對f關于y求偏導得到f_y=2ye^(x^2+y^2)，將x和y都取0，得到f_y(0,0)=0。3.f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=2解析：對f關于x求偏導得到f_x=2x/(x^2+y^2)，將x和y都取1，得到f_x(1,1)=2。對f關于y求偏導得到f_y=2y/(x^2+y^2)，將x和y都取1，得到f_y(1,1)=2。四、計算題4.f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=2解析：對f關于x求偏導得到f_x=3x^2y-6xy^2+2y^3，將x和y都取1，得到f_x(1,1)=3*1^2*1-6*1*1^2+2*1^3=2。對f關于y求偏導得到f_y=x^3-6x^2y+6xy^2，將x和y都取1，得到f_y(1,1)=1^3-6*1^2*1+6*1*1^2=2。五、證明題5.證明：已知函數(shù)f(x,y)在點(x_0,y_0)可微，根據(jù)可微的定義，存在函數(shù)的增量Δz，使得：Δz=f_x(x_0,y_0)Δx+f_y(x_0,y_0)Δy+o(√(Δx^2+Δy^2))其中，Δx=x-x_0，Δy=y-y_0。由于f(x,y)可微，當Δx和Δy趨于0時，o(√(Δx^2+Δy^2))也趨于0，所以：df=lim(Δx,Δy→0)[f_x(x_0,y_0)