2024北京十一學(xué)校高二（上）段考一數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京十一學(xué)校高二（上）段考一數(shù)學(xué)時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（共12道題，每題5分，共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置。1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.3.已知圓錐的底面半徑為1，高為，則這個圓錐的側(cè)面面積為（）A. B. C.2 D.4.已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.下列四個命題中正確的是（）A.正三棱錐的每個面都是正三角形B.所有棱長都相等的四棱柱是正方體C.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱D.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐6.已知兩條不同的直線，兩個不同的平面，則（）A.若則B.若則C.若則D.若則7.如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）.A. B. C. D.8.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為R，酒杯的容積，則其內(nèi)壁表面積為（）A. B. C. D.9.已知過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，則（）A. B.1 C.2 D.410.下列說法正確的個數(shù)是（）①動點(diǎn)滿足，則P的軌跡是橢圓②動點(diǎn)滿足，則P的軌跡是雙曲線③動點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動點(diǎn)滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（）A.0 B.1 C.2 D.311.設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A. B. C. D.12.直線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)是（）．A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（共6道題，每題5分，共30分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置。13.拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為__________.14.已知雙曲線的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為________.15.如圖，已知正方體，E，F(xiàn)分別是上底面和側(cè)面的中心．若．則______．16.已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．17.過點(diǎn)，且與圓外切的動圓圓心P的軌跡方程為________．18.已知正方體，則以下結(jié)論正確的是________．①直線與所成的角為②直線與所成的角為③直線與平面所成的角為④直線與平面所成的角為三、解答題（5道大題，共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置。19.如圖，在邊長是2的正方體中，E、F分別為AB、的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面．20.如圖，已知四棱錐的底面是正方形，平面平面，且，點(diǎn)M、N分別為側(cè)棱PD、PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面AMN；（2）當(dāng)時，求三棱錐體積．21.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程．22.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．23.若橢圓上有一動點(diǎn)，到橢圓的兩焦點(diǎn)，的距離之和等于，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題（共12道題，每題5分，共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置。1.【答案】B【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程類型可直接得出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B2.【答案】C【分析】利用雙曲線方程可得漸近線方程．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，故選：C.3.【答案】B【分析】先求得圓錐的母線長，然后求得側(cè)面積.【詳解】圓錐的母線長為，所以側(cè)面積為.故選：B4.【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，可得，再根據(jù)充分必要條件的集合關(guān)系，可得到答案.【詳解】由方程表示雙曲線，可得，解得或，則為或的充分不必要條件，故選：B.5.【答案】C【分析】根據(jù)題意，舉出反例可得AB錯誤，由圓柱、圓錐的定義綜合分析可知C正確，D錯誤.【詳解】對于A，正三棱錐的底面為正三角形，側(cè)面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形，且能保證頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影在底面正三角形的中心即可，可知A錯誤；對于B，底面是菱形的直四棱柱，其側(cè)棱長與底面邊長相等時，該四棱柱的所有棱長都相等，但不是正方體，可得B錯誤；對于C，以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，即C正確；對于D，以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐，可得D錯誤.故選：C6.【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線線的位置關(guān)系，判斷A；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面的位置關(guān)系，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面的位置關(guān)系，判斷C；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷D.【詳解】對于A，若則可能平行，也可能異面，A錯誤；對于B，若則可能有，也可能有，B錯誤；對于C，若則有可能是，也可能，C錯誤，對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知若則，正確，故選：D7.【答案】C【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，，由題意可知，即異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，即異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：.8.【答案】C【分析】根據(jù)圓柱和球的體積公式和表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓柱部分的高是，所以，所以所以，內(nèi)壁表面積為，故選：C.9.【答案】C【分析】根據(jù)圓的通徑的上端點(diǎn)就是拋物線通徑的上右端點(diǎn)，可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)2,1，從而可得答案.【詳解】因?yàn)閳A的一條直徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，而拋物線的通徑與軸垂直，所以圓的這條直徑與軸垂直，且圓的直徑的上端點(diǎn)就是拋物線通徑的右端點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以該圓與軸垂直的直徑的上端點(diǎn)為2,1，即拋物線經(jīng)過點(diǎn)2,1，則，即.故選：C10.【答案】C【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線、直線和圓的知識對四個說法進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離和為，而兩點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)間的線段，①錯誤.②，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離和為，而兩點(diǎn)的距離為，，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，②錯誤.③，動點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則動點(diǎn)滿足到直線的距離和到的距離相等，所以則P的軌跡是拋物線，③正確.④，動點(diǎn)滿足，則或，所以P的軌跡是圓和一條直線，④正確.所以正確的有個.故選：C11.【答案】B【詳解】分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大此時，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．12.【答案】B【分析】考慮和兩種情況，畫出曲線和直線圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當(dāng)時，曲線，即，橢圓的左半部分；畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知有個公共點(diǎn).故選：B二、填空題（共6道題，每題5分，共30分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置。13.【答案】.【分析】由拋物線的定義結(jié)合題中條件可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線定義可知M到焦點(diǎn)距離扥等于到準(zhǔn)線距離，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，在拋物線中，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離通常和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)雙曲線的漸近線的方程知即，所以此雙曲線的離心率.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線方程和離心率.15.【答案】【分析】連接，根據(jù)中線向量公式，結(jié)合在正方體中，即可求解.【詳解】連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是上底面和側(cè)面的中心，所以E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以，

，所以，又，所以，則.故答案為：.16.【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【分析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.17.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，且圓的圓心，由題意，即，得點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，計(jì)算得出方程.【詳解】點(diǎn)，且圓的圓心，半徑為2，由題意，即，所以點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，，得，故圓心P的軌跡方程為．故答案為：.18.【答案】①②④【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對四個結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)正方體的邊長為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以直線與所成的角為，①正確.，所以直線與所成的角為，②正確.，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成的角為，則，由于，所以，③錯誤.平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則,由于，所以，④正確.故答案為：①②④三、解答題（5道大題，共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置。19.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）連結(jié)，連結(jié)，先利用平行四邊形證得，再利用線面平行的判定定理得到平面；（2）利用線面垂直的判定定理，由，證得平面，再由證得平面.【小問1詳解】如圖，連結(jié)，連結(jié)，因?yàn)樵谡襟w中，面是正方形，所以，是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，故，又面，面，所以平面；【小問2詳解】由（1）知，易得平面，又面，故,又因?yàn)?，面，所以平面，又，所以平?20.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面AMN；（2）根據(jù)錐體體積公式來求得正確答案.【小問1詳解】由于平面平面，且交線為，四邊形是正方形，平面且，所以平面，由于平面，所以.由于是的中點(diǎn)，所以，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面AMN；【小問2詳解】連接，由（1）可知平面，由于，所以，由于平面，平面，所以，所以，由于分別是的中點(diǎn)，所以，且，所以，所以.21.【答案】（1）（2）或【分析】（1）利用橢圓對稱性以及橢圓定義可得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程為，并利用弦長公式以及點(diǎn)到直線距離得出的面積表達(dá)式，解方程即可得出，求得直線方程.【小問1詳解】根據(jù)橢圓性質(zhì)可得右焦點(diǎn)為，由橢圓定義可得點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，解得，所以，因此橢圓的方程為【小問2詳解】依題意可設(shè)直線的方程為，Ax1,聯(lián)立橢圓與直線l的方程，消去可得；所以，因此，又易知點(diǎn)O0,0到直線的距離為，所以的面積為，解得，所以直線的方程為或.22.【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，【小問2詳解】因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫?，故，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因?yàn)椋势矫?，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法