2024北京工大附中高二10月月考數(shù)學試題及答案

試題試題2024北京工大附中高二10月月考數(shù)學（考試時間120分鐘，總分150分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.若方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（）A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)3.過點，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為（）A. B. C. D.4.已知點.若直線與線段相交,則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.5.已知圓的一條直徑的端點分別是，，則該圓的方程為（）A. B.C. D.6.若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.7.直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.8.直線與圓的位置關系是()A.相交但直線不過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線過圓心9.已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B. C. D.10.吹奏樂器“塤”（如圖1）在古代通常是用陶土燒制的，一種“塤”的外輪廓的上部是半橢圓，下部是半圓，已知半橢圓（且為常數(shù)）和半圓組成的曲線C如圖2所示，曲線C交x軸的負半軸于點A，交y軸的正半軸于點G，點M是半圓上任意一點，當點M的坐標為時，的面積最大，則半橢圓的方程是（）A. B.C. D.11.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，使用歷史已有1000多年.以手工削制的竹條做傘架，以涂刷天然防水桐油的皮棉紙做傘面.油紙傘是世界上最早的雨傘，純手工制成，全部取材于天然，是中國古人智慧的結(jié)晶.在某市開展的油紙傘文化藝術節(jié)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個橢圓形的影子，此時陽光照射方向與地面的夾角為75°，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則該橢圓的長軸長為（）A. B. C. D.12.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點分別為，過點垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，，若點是橢圓上的動點，則下列說法錯誤的是（A.的最小值為B.的面積的最大值為C.的取值范圍為D.上有且只有個點，使得是直角三角形二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．13.兩條直線和的交點為_______.14.點關于直線：的對稱點的坐標為______.15.直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則__________.16.已知分別為橢圓的左，右焦點，為C上一點，內(nèi)切圓的半徑為____________．17.把半橢圓：和圓弧：合成的曲線稱為“曲圓”，其中點是半橢圓的右焦點，分別是“曲圓”與軸的左、右交點，分別是“曲圓”與軸的上、下交點，已知，過點的直線與“曲圓”交于兩點，則半橢圓方程為_________（），的周長的取值范圍是_______________.三、解答題：本題共5小題，共65分．解答應寫出文字說明，證明18.已知頂點、、．（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．19.已知圓：.（1）求過點的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為，求的值.20.已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．（1）求橢圓的方程；（2）設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．21.已知橢圓的左、右焦點分別為，，，且．（1）求的方程．（2）若，為上的兩個動點，過且垂直軸的直線平分，證明：直線過定點．22.已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設，，求證：為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.【答案】C【分析】由傾斜角與斜率關系，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】由得，故傾斜角滿足為，，故.故選：C2.【答案】D【分析】要利用條件橢圓焦點在軸上，應將橢圓的方程化為標準方程，由橢圓的焦點在軸上，可得，進而可解得實數(shù)的取值范圍．【詳解】因為方程，即表示焦點在軸上的橢圓，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：D．【點睛】本題考查橢圓的標準方程，要判斷橢圓焦點的位置，應將橢圓的方程化為標準方程．對于橢圓，①表示焦點在x軸上的橢圓；②表示焦點在y軸上的橢圓．；③表示橢圓．3.【答案】D【分析】設所求橢圓方程為，依題意可得，解得、，即可求出橢圓方程.【詳解】橢圓的焦點為或，設所求橢圓方程為，則，解得，所以橢圓方程為.故選：D4.【答案】D【分析】求出直線所過定點坐標,設定點是,求出斜率,由圖形可得結(jié)論.【詳解】由已知直線恒過定點,如圖所示,若與線段相交,則,因為,所以.故選:D.5.【答案】B【分析】利用中點坐標公式求出圓心，由兩點間距離公式求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】解：由題意可知，，的中點為，又圓的半徑為，故圓的方程為．故選：B．6.【答案】A【分析】利用點差法求解得，再根據(jù)點斜式求解即可得答案.【詳解】設，則所以，整理得，因為為弦的中點，所以，所以，所以弦所在直線的方程為，即.故選：A.7.【答案】A【分析】先求出兩點坐標得到，再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離的范圍，由三角形的面積公式計算即可.【詳解】因為線分別與軸，軸交于兩點，所以，所以，由，可得圓的圓心為，半徑為，因為點在圓上，所以圓心到直線的距離為，故到直線的距離的范圍為，則.故選：A.8.【答案】A【分析】要判斷圓與直線的位置關系，方法是利用點到直線的距離公式求出圓心到此直線的距離，和圓的半徑比較即可得到此圓與直線的位置關系．【詳解】由圓的方程得到圓心坐標為，半徑r=1，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．9.【答案】B【分析】由已知可設，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．10.【答案】D【分析】由點在半圓上，可求，再根據(jù)已知的面積最大的條件可知，，即，代入可求，進而可求橢圓方程【詳解】由點在半圓上，所以，由橢圓可知圖中，要使的面積最大，可平行移動AG，當AG與半圓相切于時，M到直線AG的距離最大，此時，即，又，所以半橢圓的方程為故選：D.11.【答案】C【分析】以為傘面直徑，為其投影，畫出平面示意圖，易知且，，為左焦點，為橢圓長軸長，，，即可求長軸長.【詳解】由題設，為傘面直徑，為其投影，如下圖示：由題意，且，，為左焦點，為橢圓長軸長，所以，，而，所以，所以.故選：C12.【答案】A【分析】由題意得是等邊三角形，從而可求得，再根據(jù)通徑可求得，即可求得橢圓方程，由當點位于上下頂點時，最大，結(jié)合余弦定理即可判斷A；設，再根據(jù)即可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的坐標表示結(jié)合的范圍，即可判斷C；分別分析以三個點為直角頂點的直角三角形的個數(shù)，即可判斷D.【詳解】由題意得是等邊三角形，所以的周長為，所以，令，則，則，所以，所以橢圓，對于A，當點位于上下頂點時，最大，此時的最小為，故A錯誤；對于B，設，則，所以的面積的最大值為，故B正確；對于C，設，則，所以，又，則，因為，所以，所以，故C正確；對于D，由A選項可知，最大時為銳角，所以以點為直角頂點的不存在，以點為直角頂點的分別有個，所以上有且只有個點，使得是直角三角形，故D正確.故選：A.二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．13.【答案】【分析】聯(lián)立兩條直線方程即可得交點坐標．【詳解】聯(lián)立，解得,即直線2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0交于點（3，2），故答案為．【點睛】本題考查兩條直線相交的問題，屬基礎題.14.【答案】【分析】設Q的坐標，由題意可得直線l為線段PQ的中垂線，可得點的坐標．【詳解】設是點關于直線：的對稱點，由題意可得，解得，，可得.故答案為：.15.【答案】2【詳解】試題分析：依題意，設與單位圓相交于兩點，則∠°.如圖，當時滿足題意，所以.考點：直線與圓相交，相等弧的概念，容易題.16.【答案】【分析】將點代入得出方程，畫出圖形，直角三角形中用等面積法求出內(nèi)切圓半徑即可.【詳解】將代入中，，即，，則橢圓方程為，如圖所示，易得，則，，，因為(為三角形周長，為內(nèi)切圓半徑).又，代入得，解得.故答案為：.17.【答案】①.②.【分析】由橢圓的焦點坐標以及，可得橢圓的標準方程和圓的方程，從而得到半橢圓方程；易知是橢圓的左焦點，過橢圓的右焦點的直線與曲圓可得，，在直線轉(zhuǎn)動的過程中由，的位置可得三角形的周長的取值范圍．【詳解】解：由，令，可得以及，再由橢圓的方程及題意可得，，，由，可得，由可得，所以，所以半橢圓及圓弧的方程分別為，，所以，可得相當于橢圓的左焦點，的周長為，當從（不包括向運動時，，當在軸右側(cè)時，，所以這時三角形的周長為8，當從向運動時，在第四象限，則，，這時三角形的周長小于8，當運動到時，在處，不構(gòu)成三角形，三角形的周長接近，由曲圓的對稱性可得運動到軸下方時，與前面的一樣，綜上所述，的周長的取值范圍為，．故答案為：；．三、解答題：本題共5小題，共65分．解答應寫出文字說明，證明18.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)、，即可得中點及斜率，進而可得其中垂線方程；（2）當直線過坐標原點時可得直線方程；當直線不過坐標原點時，根據(jù)直線的截距式可得解.【小問1詳解】由、，可知中點為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；【小問2詳解】當直線過坐標原點時，，此時直線，符合題意；當直線不過坐標原點時，由題意設直線方程為，由過點，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.19.【答案】（1）或（2）【分析】(1)根據(jù)給定條件設出切線方程，再借助圓的切線的性質(zhì)列式計算即得.(2)由所給的弦長結(jié)合圓的性質(zhì)求出弦心距，再借助點到直線距離公式即可得解.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑，設過點的圓的切線方程為：，于是得，整理得：，則有：或，當時，切線方程為：，當時，切線方程為：，所以，所求切線方程為：或.【小問2詳解】因直線被圓所截弦AB的長為，則圓心C到直線AB的距離為，于是得，解得，所以的值為.20.【答案】（1）（2）【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓的值，寫出橢圓方程.（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達定理得到和，用交點弦長公式得到線段長，由點到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.【小問1詳解】由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓【小問2詳解】，∴直線：，聯(lián)立方程組得設，則，點到直線的距離∴21.【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】(1)由條件，可得的值，再由條件結(jié)合，可得答案.

（2）由條件先得出，設，，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達定理，代入結(jié)論中可求解.【詳解】（1）解：因為，所以，所以，又，所以，，故的方程為．（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，，設直線的方程為，設，，由，得，則，，．設直線，的傾斜角分別為，，則，，所以，即，所以，所以，化簡可得，所以直線的方程為，故直線過定點．【點睛】本題考查求橢圓的方程和直線過定點問題，解答本題的關鍵是根據(jù)條件得出，設出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立由韋達定理代入解決，屬于中檔題.22