旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的題目及答案

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的題目及答案1.題目：已知點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(4,5)，點(diǎn)C(6,7)，求點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90度后的新坐標(biāo)。答案：首先，我們需要找到點(diǎn)A相對于點(diǎn)B的向量，即向量AB。向量AB的坐標(biāo)為(4-2,5-3)=(2,2)。接下來，我們將向量AB繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度。旋轉(zhuǎn)90度后，向量的坐標(biāo)變?yōu)?-2,2)。最后，我們將旋轉(zhuǎn)后的向量加到點(diǎn)B的坐標(biāo)上，得到點(diǎn)A的新坐標(biāo)。因此，點(diǎn)A的新坐標(biāo)為(4-2,5+2)=(2,7)。2.題目：已知直線l的方程為y=2x+3，求直線l繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45度后的新方程。答案：直線l的斜率為2，旋轉(zhuǎn)45度后，新直線的斜率k'可以通過以下公式計(jì)算：k'=(k+tan(45°))/(1-ktan(45°))。將k=2代入公式，得到k'=(2+1)/(1-21)=-3。因此，旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=-3x。但是，由于旋轉(zhuǎn)后直線可能經(jīng)過原點(diǎn)，我們需要檢查這一點(diǎn)。將x=0代入原方程，得到y(tǒng)=3，所以原點(diǎn)不在直線l上。因此，旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=-3x+3。3.題目：已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=9，求圓C繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度后的新方程。答案：圓C的圓心為(1,2)，半徑為3。首先，我們需要找到圓心繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度后的新坐標(biāo)。圓心的向量為(1,2)，旋轉(zhuǎn)60度后，向量的坐標(biāo)變?yōu)?1cos(60°)-2sin(60°),1sin(60°)+2cos(60°))=(-1,√3)。因此，旋轉(zhuǎn)后的圓心為(-1,√3)。由于圓的半徑不變，旋轉(zhuǎn)后的圓方程為(x+1)^2+(y-√3)^2=9。4.題目：已知點(diǎn)A(3,4)，點(diǎn)B(6,8)，求點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180度后的新坐標(biāo)。答案：點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180度后，新坐標(biāo)可以通過以下公式計(jì)算：(x',y')=(2xB-xA,2yB-yA)。將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入公式，得到新坐標(biāo)為(26-3,28-4)=(9,12)。5.題目：已知直線l的方程為y=x+1，求直線l繞點(diǎn)(2,2)旋轉(zhuǎn)30度后的新方程。答案：直線l的斜率為1，旋轉(zhuǎn)30度后，新直線的斜率k'可以通過以下公式計(jì)算：k'=(k+tan(30°))/(1-ktan(30°))。將k=1代入公式，得到k'=(1+√3/3)/(1-1√3/3)=2+√3。因此，旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y-2=(2+√3)(x-2)。整理后得到：y=(2+√3)x-4-2√3。6.題目：已知圓C的方程為(x-3)^2+(y-4)^2=16，求圓C繞點(diǎn)(1,1)旋轉(zhuǎn)45度后的新方程。答案：圓C的圓心為(3,4)，半徑為4。首先，我們需要找到圓心繞點(diǎn)(1,1)旋轉(zhuǎn)45度后的新坐標(biāo)。圓心的向量為(3-1,4-1)=(2,3)，旋轉(zhuǎn)45度后，向量的坐標(biāo)變?yōu)?2cos(45°)-3sin(45°)+1,2sin(45°)+3cos(45°)+1)=(1-√2,1+√2)。因此，旋轉(zhuǎn)后的圓心為(1-√2,1+√2)。由于圓的半徑不變，旋轉(zhuǎn)后的圓方程為(x-(1-√2))^2+(y-(1+√2))^2=16。7.題目：已知點(diǎn)A(5,6)，點(diǎn)B(8,10)，求點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)120度后的新坐標(biāo)。答案：點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)120度后，新坐標(biāo)可以通過以下公式計(jì)算：(x',y')=(xB+(xA-xB)cos(120°)-(yA-yB)sin(120°),yB+(xA-xB)sin(120°)+(yA-yB)cos(120°))。將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入公式，得到新坐標(biāo)為(8+(5-8)(-1/2)-(6-10)(-√3/2),10+(5-8)(-√3/2)+(6-10)(-1/2))=(7+√3,8-√3)。8.題目：已知直線l的方程為y=-x+2，求直線l繞點(diǎn)(0,0)旋轉(zhuǎn)60度后的新方程。答案：直線l的斜率為-1，旋轉(zhuǎn)60度后，新直線的斜率k'可以通過以下公式計(jì)算：k'=(k+tan(60°))/(1-ktan(60°))。將k=-1代入公式，得到k'=(-1+√3)/(1+√3)=√3-1。因此，旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=(√3-1)x。9.題目：已知圓C的方程為(x-2)^2+(y-3)^2=25，求圓C繞點(diǎn)(4,4)旋轉(zhuǎn)30度后的新方程。答案：圓C的圓心為(2,3)，半徑為5。首先，我們需要找到圓心繞點(diǎn)(4,4)旋轉(zhuǎn)30度后的新坐標(biāo)。圓心的向量為(2-4,3-4)=(-2,-1)，旋轉(zhuǎn)30度后，向量的坐標(biāo)變?yōu)?-2cos(30°)-(-1)sin(30°)+4,-2sin(30°)+(-1)cos(30°)+4)=(3-√3,4-√3)。因此，旋轉(zhuǎn)后的圓心為(3-√3,4-√3)。由于圓的半徑不變，旋轉(zhuǎn)后的圓方程為(x-(3-√3))^2+(y-(4-√3))^2=25。10.題目：已知點(diǎn)A(7,8)，點(diǎn)B(9,11)，求點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)135度后的新坐標(biāo)。答案：點(diǎn)A繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)135度后，新坐標(biāo)可以通過以下公式計(jì)算：(x',y')=(xB+(xA-xB)cos(135°)-(yA-yB)sin(135°),yB+(xA-xB)sin(135°)+(yA-yB)c