2025屆天津市十二區(qū)重點學校高三畢業(yè)班聯(lián)考(二)數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市十二區(qū)重點學校2025屆高三畢業(yè)班聯(lián)考(二)數(shù)學試題一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的序號填涂到答題卡上.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A2.設，則“是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，則；若，則，即“”是“”既不充分也不必要條件、故選：D.3.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為R，，是奇函數(shù)，函數(shù)都是R上的增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，B是；對于C，函數(shù)的定義域為，不是奇函數(shù)，C不是；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上不單調(diào)，D不是.故選：B4.小明研究溫差（單位：）與本單位當天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關系，他記錄了5天的數(shù)據(jù)：345671620252836由表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結論不正確的是（）A.與正相關 B.經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點C.當時，殘差為1.8 D.【答案】C【解析】選項A：觀察數(shù)據(jù)，增大時也增大，說明正相關,故A正確；選項B：易得，,樣本中心點為,回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，故B正確；將樣本中心點坐標代入回歸直線方程得,故D正確.計算預測值，實際值，殘差.題目中殘差為1.8（未考慮符號），故C錯誤，故選：C5.若，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴∵函數(shù)單調(diào)遞增，∴∴，∴大小關系為，故選：C.6.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的一個對稱軸為，則的最小取值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將向左平移個單位長度得到，又函數(shù)的一個對稱軸為，所以，解得，當時，所以的最小取值為.故選：B7.將5個顏色互不相同的小球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的小球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）A.3種 B.4種 C.10種 D.25種【答案】D【解析】根據(jù)題意，每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，分析可得，可得1號盒子至少放1個，最多放3個小球，分情況討論：①1號盒子中放1個球，其余4個放入2號盒子，有種方法；②1號盒子中放2個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；③1號盒子中放3個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；則不同的放球方法有種.故選：.8.雙曲線的左右焦點分別為，過且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】過點作，垂足為，則，如圖所示，設，則，所以，所以，則，因為直線的斜率為，所以，則，在中，，在中，，由余弦定理得，，整理得，，故選：D．9.圖①是底面邊長為的正三棱柱，直線經(jīng)過上下底面的中心，將圖①中三棱柱的上底面繞直線逆時針旋轉得到圖②，若為正三角形，則圖②所示幾何體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】初始幾何體為底面邊長為

的正三棱柱，設高為H，上底面繞直線逆時針旋轉得到一個對稱的六面體，其外接球球心必在旋轉軸上，正三棱柱底面正三角形的外接圓半徑

，設球心到任一底面的距離為

d，則球半徑

滿足：由于幾何體對稱，球心在正中間，故，如圖，以下底面ABC的重心為原點建立空間直角坐標系，則，旋轉后的頂點坐標為,所以，長度，所以數(shù)量積為;，由夾角

，所以，球心在中間，高度

，半徑,所以表面積,故選；C二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分.請將正確的答案填寫到答題紙上.題中包含2個空的，答對1個空的得3分，全部答對的得5分.）10.復數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則______.【答案】【解析】依題意，.故答案為：11.二項式的展開式的常數(shù)項等于_____________．【答案】【解析】二項式的展開式的通項公式為：，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：12.甲、乙、丙三人各自獨立地解同一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人都做錯的概率是，則甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為______.【答案】【解析】設甲、乙、丙三人各自獨立地做對同一道題分別為事件，則，因為，，解得，或，設甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題為事件，當時，，，，當時，則，綜上，則甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為.故答案為：.13.過點且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，則以線段AB為直徑的圓的標準方程為______.【答案】【解析】已知直線

過點

且斜率為1，因此其方程為

.拋物線的方程為

（），其焦點坐標為

.由于直線

經(jīng)過拋物線的焦點，代入焦點坐標得到

，解得

，因此拋物線的方程為

，焦點為

.將直線方程

代入拋物線方程

得到：,展開并整理得：,解得

，對應的

值為

，因此交點

和

的坐標分別為

和

.以線段

為直徑的圓的圓心為

的中點，坐標為：,,,半徑為

，因此圓的標準方程為：,故答案為：.14.在中，.（1）若，則向量在向量上的投影向量的模為______；（2）邊和的中點分別為，點為和的交點，為線段上靠近的三等分點，則的最小值為______.【答案】①.4；②.【解析】（1）因，所以，解得，則，結合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量為，故向量在向量上的投影向量的模為，（2）如圖，根據(jù)題意可知為的重心，故，又為線段上靠近的三等分點，故,因此，，，由（1）知，故，所以，當且僅當，即時取等號，則的最小值為.故答案為：4，15.設，函數(shù).若在區(qū)間上恰有2個不同的零點，則的取值范圍是______；若在定義域內(nèi)恰有2個零點，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】由于在區(qū)間上恰有2個零點，故在有兩個實數(shù)根，故在有兩個實數(shù)根，記，則，解得或，接下來求解在定義域內(nèi)恰有2個零點時的范圍.①當時，，此時在無零點，故需要在區(qū)間上有2個零點，故，②當時，，此時沒有零點，不符合題意，③當時，，若時，此時在有兩個零點，故只需要在無零點，令，即，記由于，且而，故，，因此在有兩個零點，不符合題意，若時，，，此時有兩個根，有一個實數(shù)根，不滿足題意，舍去，接下來只需要考慮的情況，此時對于來說，，故在沒有零點，因此需要在有兩個零點，故，即，即，故當在單調(diào)遞增，當在單調(diào)遞減，，因此對任意的，均有，故且綜上可得在定義域內(nèi)恰有2個零點，則，故答案為：，三、解答題（本題共5小題，共75分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若的面積為，且，求的周長.解：（1）解法1：因為，由正弦定理得即，因為，則，故；解法2：因為，由余弦定理得，整理得，可得，由余弦定理可得.（2）因為，且，則，，，.，，.（3），因為由余弦定理得，于是，因為，則，所以，因此，于是的周長.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，為邊CD的中點，且.（1）求線段的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上（不含端點）是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.解：（1）由底面平面，故，又底面是矩形，故，故AD、AB、PA兩兩垂直，故可以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則、，設，則，則，由，則，解得，即；（2），設平面的一個法向量，因為，可得，令，則，所以，，設平面的一個法向量，可得，令，則，所以，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）設，則，因為與平面所成角的正弦值為，設AN與平面所成角，所以，所以所以或，因為所以，所以.18.已知A、B分別為橢圓的右頂點和上頂點，點在橢圓上.若定義向量的運算：（是向量的夾角），且（為坐標原點）.（1）求橢圓的標準方程；（2）若過點的直線交橢圓于另一點，且，求直線的方程.解：（1）依題意，所以橢圓的方程為：；（2）依題意，所以，法1：當?shù)男甭什淮嬖跁r，此時，所以直線斜率存在，消去得，，設，則，，到的距離，，，或，的方程：或；法2：當軸時，,此時，不符合題意，當與軸不平行時，消去得，，直線與軸交點，，可得，或，的方程為或；法3：，設到的距離為，設與平行的直線，與之間的距離，解得：或，當，，解得或，當時，，當時，；時，直線與橢圓方程聯(lián)立判別式，舍去，所以，或.法4：同法3得，點到得距離，設，則，解得或，下同法3法5：若的斜率為零，此時滿足題意，此時，若的斜率不為零，設，，得，將代入方程可得，此時.所以，或.19.已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，去掉數(shù)列中的第3n項，余下的項順序不變，構成新數(shù)列，求數(shù)列的前項和；（3）令，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足，且對，都有，設的前項和為，若對任意都有成立，求正整數(shù)的最小值.（參考值：，）解：（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得：，又，，解得，所以；（2）由（1）得，當時，，當時，，綜上；（3）方法一：，，，故，，，……，，，又因為，，，，，又時，時，，又因為時，，，又，所以，所以正整數(shù)的最小值為；方法二：，，，故，，，……，，，又因為，，，，又因為，，，，，又時，時，，，又因為時，，，又，所以，所以正整數(shù)的最小值為20已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線斜率為0，求實數(shù)的值；（2）若，對，不等式恒成立（a,b均為實數(shù)），求的最大值；（3）實數(shù)滿足對任意的，函數(shù)總有兩個不同的零點，證明：.（1）解：因，則，解得.（2）解：［方法一］當時，不等式可化為恒成立，不妨設，則，當，即時，則在R上單調(diào)遞增，此時當時，，與矛盾，不合題意；當時，則；當時，由，解得，于是當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故，即，由于，故，于是，令，則，當時，則在上單調(diào)遞增；當時，則在上單調(diào)遞減所以，，此時，因此，當時，的最大值為.［方法二］依題意，可得恒成立，設，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以不符題意；當時，要使恒成立，則，所以；當且時，在上恒成立，又因，故可轉化為恒成立，即恒成立，令，則，但時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，當且僅當時取得等號，即當時，即的最大值為，即當時，對任意滿足恒成立，所以當時，對任意恒成立，當且時，，所以的最大值為.（3）證明：［方法一］有2個不同零點，則，因，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由于函數(shù)有2個不同零點，，，設，記，易知定義域上單調(diào)遞增，又，所以當時，，；當時，，即在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故，又由知，則，要證，只需，因且關于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則所以只需證，只需證，只需證在時恒成立，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.［方法二］有2個不同零點，，由得（其中）且.要證，只需證，即證，只需證又，所以，即所以只需證，而，所以，又，只需證所以，原命題得證.［方法三］若，同法二知有兩個零點且又，故進一步有由可得且，從而，因為，所以，只需證又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立.天津市十二區(qū)重點學校2025屆高三畢業(yè)班聯(lián)考(二)數(shù)學試題一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的序號填涂到答題卡上.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A2.設，則“是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，則；若，則，即“”是“”既不充分也不必要條件、故選：D.3.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為R，，是奇函數(shù)，函數(shù)都是R上的增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，B是；對于C，函數(shù)的定義域為，不是奇函數(shù)，C不是；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上不單調(diào)，D不是.故選：B4.小明研究溫差（單位：）與本單位當天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關系，他記錄了5天的數(shù)據(jù)：345671620252836由表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結論不正確的是（）A.與正相關 B.經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點C.當時，殘差為1.8 D.【答案】C【解析】選項A：觀察數(shù)據(jù)，增大時也增大，說明正相關,故A正確；選項B：易得，,樣本中心點為,回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點，故B正確；將樣本中心點坐標代入回歸直線方程得,故D正確.計算預測值，實際值，殘差.題目中殘差為1.8（未考慮符號），故C錯誤，故選：C5.若，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴∵函數(shù)單調(diào)遞增，∴∴，∴大小關系為，故選：C.6.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的一個對稱軸為，則的最小取值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將向左平移個單位長度得到，又函數(shù)的一個對稱軸為，所以，解得，當時，所以的最小取值為.故選：B7.將5個顏色互不相同的小球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的小球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）A.3種 B.4種 C.10種 D.25種【答案】D【解析】根據(jù)題意，每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，分析可得，可得1號盒子至少放1個，最多放3個小球，分情況討論：①1號盒子中放1個球，其余4個放入2號盒子，有種方法；②1號盒子中放2個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；③1號盒子中放3個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；則不同的放球方法有種.故選：.8.雙曲線的左右焦點分別為，過且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】過點作，垂足為，則，如圖所示，設，則，所以，所以，則，因為直線的斜率為，所以，則，在中，，在中，，由余弦定理得，，整理得，，故選：D．9.圖①是底面邊長為的正三棱柱，直線經(jīng)過上下底面的中心，將圖①中三棱柱的上底面繞直線逆時針旋轉得到圖②，若為正三角形，則圖②所示幾何體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】初始幾何體為底面邊長為

的正三棱柱，設高為H，上底面繞直線逆時針旋轉得到一個對稱的六面體，其外接球球心必在旋轉軸上，正三棱柱底面正三角形的外接圓半徑

，設球心到任一底面的距離為

d，則球半徑

滿足：由于幾何體對稱，球心在正中間，故，如圖，以下底面ABC的重心為原點建立空間直角坐標系，則，旋轉后的頂點坐標為,所以，長度，所以數(shù)量積為;，由夾角

，所以，球心在中間，高度

，半徑,所以表面積,故選；C二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分.請將正確的答案填寫到答題紙上.題中包含2個空的，答對1個空的得3分，全部答對的得5分.）10.復數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則______.【答案】【解析】依題意，.故答案為：11.二項式的展開式的常數(shù)項等于_____________．【答案】【解析】二項式的展開式的通項公式為：，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：12.甲、乙、丙三人各自獨立地解同一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人都做錯的概率是，則甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為______.【答案】【解析】設甲、乙、丙三人各自獨立地做對同一道題分別為事件，則，因為，，解得，或，設甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題為事件，當時，，，，當時，則，綜上，則甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為.故答案為：.13.過點且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，則以線段AB為直徑的圓的標準方程為______.【答案】【解析】已知直線

過點

且斜率為1，因此其方程為

.拋物線的方程為

（），其焦點坐標為

.由于直線

經(jīng)過拋物線的焦點，代入焦點坐標得到

，解得

，因此拋物線的方程為

，焦點為

.將直線方程

代入拋物線方程

得到：,展開并整理得：,解得

，對應的

值為

，因此交點

和

的坐標分別為

和

.以線段

為直徑的圓的圓心為

的中點，坐標為：,,,半徑為

，因此圓的標準方程為：,故答案為：.14.在中，.（1）若，則向量在向量上的投影向量的模為______；（2）邊和的中點分別為，點為和的交點，為線段上靠近的三等分點，則的最小值為______.【答案】①.4；②.【解析】（1）因，所以，解得，則，結合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量為，故向量在向量上的投影向量的模為，（2）如圖，根據(jù)題意可知為的重心，故，又為線段上靠近的三等分點，故,因此，，，由（1）知，故，所以，當且僅當，即時取等號，則的最小值為.故答案為：4，15.設，函數(shù).若在區(qū)間上恰有2個不同的零點，則的取值范圍是______；若在定義域內(nèi)恰有2個零點，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】由于在區(qū)間上恰有2個零點，故在有兩個實數(shù)根，故在有兩個實數(shù)根，記，則，解得或，接下來求解在定義域內(nèi)恰有2個零點時的范圍.①當時，，此時在無零點，故需要在區(qū)間上有2個零點，故，②當時，，此時沒有零點，不符合題意，③當時，，若時，此時在有兩個零點，故只需要在無零點，令，即，記由于，且而，故，，因此在有兩個零點，不符合題意，若時，，，此時有兩個根，有一個實數(shù)根，不滿足題意，舍去，接下來只需要考慮的情況，此時對于來說，，故在沒有零點，因此需要在有兩個零點，故，即，即，故當在單調(diào)遞增，當在單調(diào)遞減，，因此對任意的，均有，故且綜上可得在定義域內(nèi)恰有2個零點，則，故答案為：，三、解答題（本題共5小題，共75分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若的面積為，且，求的周長.解：（1）解法1：因為，由正弦定理得即，因為，則，故；解法2：因為，由余弦定理得，整理得，可得，由余弦定理可得.（2）因為，且，則，，，.，，.（3），因為由余弦定理得，于是，因為，則，所以，因此，于是的周長.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，為邊CD的中點，且.（1）求線段的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在線段上（不含端點）是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.解：（1）由底面平面，故，又底面是矩形，故，故AD、AB、PA兩兩垂直，故可以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則、，設，則，則，由，則，解得，即；（2），設平面的一個法向量，因為，可得，令，則，所以，，設平面的一個法向量，可得，令，則，所以，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）設，則，因為與平面所成角的正弦值為，設AN與平面所成角，所以，所以所以或，因為所以，所以.18.已知A、B分別為橢圓的右頂點和上頂點，點在橢圓上.若定義向量的運算：（是向量的夾角），且（為坐標原點）.（1）求橢圓的標準方程；（2）若過點的直線交橢圓于另一點，且，求直線的方程.解：（1）依題意，所以橢圓的方程為：；（2）依題意，所以，法1：當?shù)男甭什淮嬖跁r，此時，所以直線斜率存在，消去得，，設，則，，到的距離，，，或，的方程：或；法2：當軸時，,此時，不符合題意，當與軸不平行時，消去得，，直線與軸交點，，可得，或，的方程為或；法3：，設到的距離為，設與平行的直線，與之間的距離，解得：或，當，，解得或，當時，，當時，；時，直線與橢圓方程聯(lián)立判別式，舍去，所以，或.法4：同法3得，點到得距離，設，則，解得或，下同法3法5：若的斜率為零，此時滿足題意，此時，若的斜率不為零，設，，得，將代入方程可得，此時.所以，或.19.已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，去掉數(shù)列中的第3n項，余下的項順序不變，構成新數(shù)列，求數(shù)列的前項和；（3）令，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，若數(shù)列