四川省資陽(yáng)市天立學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)卷一（含解析）

資陽(yáng)天立高二下數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)卷一一、單選題1．?dāng)?shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C．5 D．2．斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，……，按此規(guī)律，則第9項(xiàng)為（

）A．13 B．21 C．34 D．553．已知數(shù)列滿足，設(shè)的前項(xiàng)和為，則（

）A．1 B．0 C． D．20254.已知數(shù)列滿足，且，則的值為（

）A． B． C．3 D．105．已知是可導(dǎo)的函數(shù)，且對(duì)于恒成立，則（

）A． B．C． D．6．已知對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7..若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍（

）A． B． C． D．8.若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．使的最小正整數(shù)為12D．的最小值為10．下列命題正確的有（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則成等比數(shù)列；B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列；C．?dāng)?shù)列滿足:，則D．已知為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和11.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．是的極小值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．的極小值是 D．函數(shù)為奇函數(shù)三、填空題12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則．13.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，且則14．已知函數(shù)（且），曲線在處的切線與直線垂直，則．四、解答題15．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)求在區(qū)間上的最值．16．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，，，求正整數(shù)的最小值.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)、.①求的取值范圍；②證明：19.已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

參考答案1.【答案】A【詳解】數(shù)列中，因?yàn)?，所以，?shù)列周期為3，則.故選：A.2.【答案】C【詳解】根據(jù)題意，，，.故選：C3.【答案】A【詳解】由，得，即是周期為4的周期數(shù)列，且，所以．故選：A4.【答案】A【詳解】因?yàn)?，故，所以，所以?shù)列是周期數(shù)列且周期為2，因?yàn)?，故，所以，所?故選：A.5.【答案】A【詳解】設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.故選：A.6.【答案】A【詳解】設(shè)，則.∵時(shí)，，，∴，故在上單調(diào)遞增.∵對(duì)恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，則有，當(dāng)時(shí)，可等價(jià)變形為.∵在上單調(diào)遞增，且，（），∴由可得，即對(duì)恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，，，故.∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，.∵對(duì)恒成立，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.7.【答案】A【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A8.【答案】D【詳解】由，不等式，即，即，即，設(shè)，則上式為，由，則在R上單調(diào)遞增，可得，由，得，令，則，因此對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意正實(shí)數(shù)t恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最大值，則.故選：D9.【答案】BD【詳解】對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由，即，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)或4時(shí)，取得最小值為，故D正確．故選：BD.10.【答案】BD【詳解】對(duì)于A：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，可得，則，，故不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)等差數(shù)列公差為，則，則是個(gè)常數(shù)，所以為等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：依題意，，它不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，于是，即，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，故D正確.故選：BD.11.【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，求導(dǎo)：已知函數(shù)，可得，令，即，解得或.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

x(-,-3)-3(-3,1)1(1,+)f′(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小植單調(diào)遞增根據(jù)極小值點(diǎn)的定義，在左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A正確.對(duì)于C，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，是的極小值點(diǎn)，.故C正確.

對(duì)于B，利用零點(diǎn)存在性定理：因，，.因，故函數(shù)在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；又因，故函數(shù)在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；因，故函數(shù)在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，可知函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，故B正確.

對(duì)于D，由，即.因，而，可得，故不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.12.【答案】【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，不符合，故故答案為：13.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，同理，又因?yàn)?，所?14.【答案】【詳解】因?yàn)椋ㄇ遥?，則，因?yàn)橹本€的斜率為，又因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以，，解得.故答案為：.15.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．極小值為,無(wú)極大值；(2)最小值為,最大值為2．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?．令得,或（舍去）,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．函數(shù)的極小值為,無(wú)極大值．（2）由（1）知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,,,又因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間的最小值為,最大值為2．16.【答案】(1)(2)24【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，兩式相減，可得，所以，可得，又因?yàn)?，，…，，累乘得，所?（2）解：由（1）知，可得，所以，所以，解得，故的最小值為24.17.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，①當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，②由①②得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，所以.18.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)①；②證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意知.當(dāng)時(shí)，，所以的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）①由題意知，所以，因恰有兩個(gè)極值點(diǎn)、，所以方程，即方程有兩不等正根，所以，解得，即的取值范圍為；②由①知，，所以，所以，令，其中，所以，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以，使得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，則，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).19.【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)?，所以兩邊取?duì)數(shù)得，即，問(wèn)題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)