09　第二章　第3課時(shí)　函數(shù)的奇偶性、周期性

第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第3課時(shí)函數(shù)的奇偶性、周期性[考試要求]

1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．鏈接教材·夯基固本1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于______對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于______對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2．周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有_____________，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)______的正數(shù)，那么這個(gè)____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)[常用結(jié)論]1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)；3．常見(jiàn)奇、偶函數(shù)的類型(1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)為偶函數(shù)；(2)f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)為奇函數(shù)；(6)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|為偶函數(shù)；(7)f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|為奇函數(shù)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(

)(2)存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)．(

)(3)偶函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)．(

)(4)若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)．(

)×√×√二、教材經(jīng)典衍生1．(多選)(人教A版必修第一冊(cè)P84例6改編)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)√√2．(人教A版必修第一冊(cè)P203練習(xí)T4改編)若f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2－x，則f(2025)＝________.3．(人教A版必修第一冊(cè)P86習(xí)題3.2T11改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－2x＋a，則a＝_____；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝______________.－1－2－x－2x＋1

[因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1，所以當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－2x－1.設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝2－x＋2x－1，所以f(x)＝－2－x－2x＋1.]4．(人教A版必修第一冊(cè)P85練習(xí)T1改編)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)<0的解集為_(kāi)_______.(－2,0)∪(2,5]

[由題圖可知，當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x≤5時(shí)，f(x)<0，又f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)－2<x<0時(shí)，f(x)<0，當(dāng)－5≤x<－2時(shí)，f(x)>0.綜上，f(x)<0的解集為(－2,0)∪(2,5]．]典例精研·核心考點(diǎn)考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷[典例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性：因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)．(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，

判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)必備條件及方法(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先判斷函數(shù)的定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．(3)判斷函數(shù)奇偶性的方法：①定義法；②圖象法．A．|f(x)|是偶函數(shù)B．－f(x)是奇函數(shù)C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)√√√因?yàn)閒(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函數(shù)，所以f(|x|)f(x)是奇函數(shù)，所以D錯(cuò)誤．](2)解：由題意知，函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x2，f(－x)＝2(－x)2＝2x2＝f(x)，f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(1)＝2＋a，f(－1)＝2－a，f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1)，f(x)是非奇非偶函數(shù)．√考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

利用奇偶性求值(解析式)(2)由函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，得f(0)＝0，而當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)

(1)選擇、填空題中，已知奇偶性求參數(shù)值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)利用奇偶性求解析式，求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，自變量轉(zhuǎn)移．√

利用奇偶性解不等式[典例3]

(1)(2025·菏澤調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定義在[－2c－1，c＋3]上的奇函數(shù)，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0的解集為(

)A．(－2,4] B．(－3,5]√(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(3)＝0，則不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集為(

)(1)C

(2)C

[(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定義在[－2c－1，c＋3]上的奇函數(shù)，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，因?yàn)閥＝x3與y＝2x在定義域[－5,5]上單調(diào)遞增，所以f(x)在定義域[－5,5]上單調(diào)遞增，則不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0，即f(2x＋1)＋f(4)＞0，等價(jià)于f(2x＋1)＞f(－4)，(2)依題意，函數(shù)的大致圖象如圖所示．因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f(－3)＝0，則當(dāng)x＞3或x＜－3時(shí)，f(x)＜0；當(dāng)－3＜x＜3時(shí)，f(x)＞0.

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合圖象直觀求解相關(guān)問(wèn)題．√√考點(diǎn)三函數(shù)的周期性(2)已知函數(shù)y＝f(x)，對(duì)任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k(k為常數(shù))，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(2025)＝________.(1)A

(2)2

[(1)由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，(2)因?yàn)閷?duì)任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k為常數(shù)，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝k，從而f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期為4，所以f(2025)＝f(1)＝2.]

利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題；利用函數(shù)的周期性，能實(shí)現(xiàn)自變量的轉(zhuǎn)移，把自變量大化?。甗跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.(1)f(x)的最小正周期是________；(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，f(x)＝________；(3)計(jì)算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝____________.(1)4

(2)x2－6x＋8

(3)0

[(1)因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f