2023-2024學年四川省眉山市東坡區(qū)高二下學期6月期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）VIP

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市東坡區(qū)2023-2024學年高二下學期6月期末聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4．全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程表示焦點在軸上的橢圓，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A2.圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為2，第二代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為3，第三代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為4，…第n代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為，故選：D3.如圖，圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長，過的中點B作的垂線交圓O于點C，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知B在直角梯形中，因為B為的中點，，所以，連接，易證四邊形為矩形，所以，所以為異面直線與所成的角，在中，，所以,連接，在中，由，，得；在中，，所以，故選：B.4.“”是“直線和直線平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，直線和直線平行且或；當時，直線和直線不平行；當時，直線和直線不平行．所以“”是“直線和直線平行”的充分不必要條件.故選：C．5.小王同學制作了一枚質(zhì)地均勻的正十二面體骰子，并在十二個面上分別畫了十二生肖的圖案，且每個面上的生肖各不相同，如圖所示．小王拋擲這枚骰子2次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小王拋擲這枚骰子1次，出現(xiàn)龍的圖案朝上的概率為，所以小王拋擲這枚骰子2次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為.故選：C.6.已知圓：與圓：的公共弦所在直線與直線：垂直，則的值為（）A.2 B. C.8 D.【答案】A【解析】把圓與圓的方程相減得：，即為圓與圓的公共弦所在直線方程，由直線與直線垂直，得，解得，當時，圓：，即的圓心，半徑，而圓：的圓心，半徑，于是，則圓與圓相交，符合題意，所以的值為2.故選：A7.已知點，，，，則直線，的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.異面【答案】D【解析】因為點，，，，所以，，，因為不存在實數(shù)，使得，所以、不共線，所以直線，不平行，不重合，故選項A、D不正確；假設、、三個向量共面，設，則，此方程組無解，可得、、三個向量不共面，所以直線，不相交，所以直線，異面，故選：D.8.已知，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，且.則此雙曲線離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，，，由，則，顯然，則整理可得，由，則，解得，由雙曲線的定義可知：，則，整理可得，化簡可得，由，且，則，可得或，解得或，所以，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.對于一個古典概型的樣本空間和事件A,B,C,其中,,，，，則（）A.事件A與B互斥 B.事件A與B相互獨立C.事件A與C互斥 D.事件A與C相互獨立【答案】AD【解析】因，由已知得：，，即事件A與B互斥，A正確；因，，，，事件A與B不獨立，B不正確；因，由已知得：，，即事件A與C不互斥，C不正確；因，，，有，事件A與C相互獨立，D正確.故選：AD10.如圖，在棱長為1的正方體中，點P在線段上運動，則下列判斷中正確的是（）A.三棱錐的體積是B.平面C.平面與平面所成的二面角為D.異面直線與所成角的范圍是【答案】ABD【解析】A：，因為到面的距離不變，且△的面積不變，所以三棱錐的體積不變，當與重合時得，故A正確；B：連接，，，，易證面面，又面，所以面，故B正確；C：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，有面，又面，則面面，故C錯誤；D：由知：當與線段的兩端點重合時，與所成角取最小值，當與線段的中點重合時，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，故D正確.故選：ABD．11.數(shù)列滿是，則（）A.數(shù)列的最大項為 B.數(shù)列的最大項為C.數(shù)列的最小項為 D.數(shù)列的最小項為【答案】BD【解析】因為，所以，由，得到，且易知，時，，當時，，所以所以數(shù)列的最大項為，最小項為，故選：BD.12.用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合.若拋物線C：的焦點為F，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點M射入，經(jīng)過C上的點反射，再經(jīng)過C上另一點反射后，沿直線射出，則（）A.C的準線方程為B.C.若點，則D.設直線AO與C的準線的交點為N，則點N在直線上【答案】AD【解析】由題意，拋物線，可得焦點，準線方程為，所以A正確；由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點F，且斜率不為0，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以B錯誤；若點，則，所以，所以，，所以，所以C錯誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點N在直線上，所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.拋物線上一點到焦點的距離為__________．【答案】3【解析】因為，所以點在該拋物線上，又拋物線準線方程為：，所以點到焦點的距離為：，故答案為：314.已知滿足對一切正整數(shù)n均有且恒成立，則實數(shù)的范圍是_______【答案】【解析】因為對一切正整數(shù)n均有且恒成立，所以，化簡得到，的最小值為3.所以，故答案為：.15.已知圓C的方程為，過直線l：（）上任意一點作圓C的切線，若切線長的最小值為，則直線l的斜率為__________．【答案】【解析】設切線長最小時直線上對應的點為，則又，因為切線長的最小值為故，解得，故直線的斜率為.故答案為：.16.已知正方體中，O為正方形的中心．M為平面上的一個動點，則下列命題正確的_______①若，則M的軌跡是圓；②若M到直線距離相等，則M的軌跡是雙曲線；③若M到直線距離相等，則M的軌跡是拋物線【答案】②③【解析】對于①，建立如圖空間直角坐標系，設正方體棱長為，對于A，，，，則，則，即此時僅有，所以軌跡是一個點，故①錯誤；對于②，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足為，由于，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以，若到直線，距離相等，即，因為，所以，則，即，則的軌跡是雙曲線，故②正確，對于③，若到直線，距離相等，面，面，所以，所以到直線的距離為到點的距離，則到直線，點距離相等，由拋物線定義可得，的軌跡是拋物線，故③正確；故答案為：②③.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線；（1）證明：直線l過定點；（2）已知點，當點到直線l的距離最大時，求實數(shù)m的值．解：（1）由直線方程可得，，，直線l過恒過定點.（2）由題意可知，點到直線l的距離的最大值為點到定點的距離，此時直線l與過點與定點的直線垂直，則過與定點的直線的斜率為，所以，所以．18.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，動點P滿足（1）求動點P的軌跡C的方程（2）若直線l過點且與軌跡C相切，求直線l的方程.解：（1）設，由，得，化簡得，所以P點的軌跡的方程為.（2）由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當直線l的斜率不存在時，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當直線l的斜率存在時，設，即，于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.19.已知過點的直線與拋物線（）交于，兩點，且當?shù)男甭蕿闀r，恰為中點．（1）求的值；（2）當經(jīng)過拋物線的焦點時，求的面積．解：（1）當斜率為時，由得，恰好經(jīng)過坐標原點，不妨設，則為拋物線上的點．代入拋物線的方程得，解得．（2）由（1）可知拋物線的焦點．當經(jīng)過時，其方程為．將其與拋物線的方程聯(lián)立得．設，，則，．因此的面積．20.眉山市位于四川西南，有“千載詩書城，人文第一州”的美譽，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方.在今年的國慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化”知識競賽.已知甲、乙兩隊參賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分.假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.（1）分別求甲隊總得分為0分；2分的概率；（2）求甲隊得2分乙隊得1分的概率.解：（1）記“甲隊總得分為0分”為事件，“甲隊總得分為2分”為事件，甲隊總得分為0分，即甲隊三人都回答錯誤，其概率；甲隊總得分為2分，即甲隊三人中有1人答錯，其余兩人答對，其概率；（2）記“乙隊得1分”為事件，“甲隊得2分乙隊得1分”為事件；事件即乙隊三人中有2人答錯，其余1人答對，則，甲隊得2分乙隊得1分即事件、同時發(fā)生，則．21.如圖,在四棱錐中，平面平面，，，，，，，點O是的中點．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在點M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由．解：（1）因為，點O是的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以；（2）設為的中點，連接，因為，，所以，由（1）可知：平面，而平面，所以，因此建立如圖所示的空間直角坐標系，，因為平面平面，平面平面，，所以平面，因此平面的法向量為，設平面的法向量為，，于是有，二面角的余弦值為：；（3）假設在棱上存在點M，使得平面，且，可得：，因此，由（2）可知平面的法向量為，因為平面，所以，因此假設成立，.22.已知橢圓的一個頂點為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．解：（1）依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；（2）依題意過點的直線為，設、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得.四川省眉山市東坡區(qū)2023-2024學年高二下學期6月期末聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4．全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程表示焦點在軸上的橢圓，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A2.圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為2，第二代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為3，第三代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為4，…第n代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為，故選：D3.如圖，圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長，過的中點B作的垂線交圓O于點C，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知B在直角梯形中，因為B為的中點，，所以，連接，易證四邊形為矩形，所以，所以為異面直線與所成的角，在中，，所以,連接，在中，由，，得；在中，，所以，故選：B.4.“”是“直線和直線平行”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，直線和直線平行且或；當時，直線和直線不平行；當時，直線和直線不平行．所以“”是“直線和直線平行”的充分不必要條件.故選：C．5.小王同學制作了一枚質(zhì)地均勻的正十二面體骰子，并在十二個面上分別畫了十二生肖的圖案，且每個面上的生肖各不相同，如圖所示．小王拋擲這枚骰子2次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小王拋擲這枚骰子1次，出現(xiàn)龍的圖案朝上的概率為，所以小王拋擲這枚骰子2次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為.故選：C.6.已知圓：與圓：的公共弦所在直線與直線：垂直，則的值為（）A.2 B. C.8 D.【答案】A【解析】把圓與圓的方程相減得：，即為圓與圓的公共弦所在直線方程，由直線與直線垂直，得，解得，當時，圓：，即的圓心，半徑，而圓：的圓心，半徑，于是，則圓與圓相交，符合題意，所以的值為2.故選：A7.已知點，，，，則直線，的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.異面【答案】D【解析】因為點，，，，所以，，，因為不存在實數(shù)，使得，所以、不共線，所以直線，不平行，不重合，故選項A、D不正確；假設、、三個向量共面，設，則，此方程組無解，可得、、三個向量不共面，所以直線，不相交，所以直線，異面，故選：D.8.已知，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，且.則此雙曲線離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，，，由，則，顯然，則整理可得，由，則，解得，由雙曲線的定義可知：，則，整理可得，化簡可得，由，且，則，可得或，解得或，所以，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.對于一個古典概型的樣本空間和事件A,B,C,其中,,，，，則（）A.事件A與B互斥 B.事件A與B相互獨立C.事件A與C互斥 D.事件A與C相互獨立【答案】AD【解析】因，由已知得：，，即事件A與B互斥，A正確；因，，，，事件A與B不獨立，B不正確；因，由已知得：，，即事件A與C不互斥，C不正確；因，，，有，事件A與C相互獨立，D正確.故選：AD10.如圖，在棱長為1的正方體中，點P在線段上運動，則下列判斷中正確的是（）A.三棱錐的體積是B.平面C.平面與平面所成的二面角為D.異面直線與所成角的范圍是【答案】ABD【解析】A：，因為到面的距離不變，且△的面積不變，所以三棱錐的體積不變，當與重合時得，故A正確；B：連接，，，，易證面面，又面，所以面，故B正確；C：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，有面，又面，則面面，故C錯誤；D：由知：當與線段的兩端點重合時，與所成角取最小值，當與線段的中點重合時，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，故D正確.故選：ABD．11.數(shù)列滿是，則（）A.數(shù)列的最大項為 B.數(shù)列的最大項為C.數(shù)列的最小項為 D.數(shù)列的最小項為【答案】BD【解析】因為，所以，由，得到，且易知，時，，當時，，所以所以數(shù)列的最大項為，最小項為，故選：BD.12.用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合.若拋物線C：的焦點為F，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點M射入，經(jīng)過C上的點反射，再經(jīng)過C上另一點反射后，沿直線射出，則（）A.C的準線方程為B.C.若點，則D.設直線AO與C的準線的交點為N，則點N在直線上【答案】AD【解析】由題意，拋物線，可得焦點，準線方程為，所以A正確；由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點F，且斜率不為0，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以B錯誤；若點，則，所以，所以，，所以，所以C錯誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點N在直線上，所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.拋物線上一點到焦點的距離為__________．【答案】3【解析】因為，所以點在該拋物線上，又拋物線準線方程為：，所以點到焦點的距離為：，故答案為：314.已知滿足對一切正整數(shù)n均有且恒成立，則實數(shù)的范圍是_______【答案】【解析】因為對一切正整數(shù)n均有且恒成立，所以，化簡得到，的最小值為3.所以，故答案為：.15.已知圓C的方程為，過直線l：（）上任意一點作圓C的切線，若切線長的最小值為，則直線l的斜率為__________．【答案】【解析】設切線長最小時直線上對應的點為，則又，因為切線長的最小值為故，解得，故直線的斜率為.故答案為：.16.已知正方體中，O為正方形的中心．M為平面上的一個動點，則下列命題正確的_______①若，則M的軌跡是圓；②若M到直線距離相等，則M的軌跡是雙曲線；③若M到直線距離相等，則M的軌跡是拋物線【答案】②③【解析】對于①，建立如圖空間直角坐標系，設正方體棱長為，對于A，，，，則，則，即此時僅有，所以軌跡是一個點，故①錯誤；對于②，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足為，過向作垂線，垂足為，由于，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以，若到直線，距離相等，即，因為，所以，則，即，則的軌跡是雙曲線，故②正確，對于③，若到直線，距離相等，面，面，所以，所以到直線的距離為到點的距離，則到直線，點距離相等，由拋物線定義可得，的軌跡是拋物線，故③正確；故答案為：②③.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線；（1）證明：直線l過定點；（2）已知點，當點到直線l的距離最大時，求實數(shù)m的值．解：（1）由直線方程可得，，，直線l過恒過定點.（2）由題意可知，點到直線l的距離的最大值為點到定點的距離，此時直線l與過點與定點的直線垂直，則過與定點的直線的斜率為，所以，所以．18.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，動點P滿足（1）求動點P的軌跡C的方程（2）若直線l過點且與軌跡C相切，求直線l的方程.解：（1）設，由，得，化簡得，所以P點的軌跡的方程為.（2）由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當直線l的斜率不存在時，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當直線l的斜率存在時，設，即，于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.19.已知過點的直線與拋物線（）交于，兩點，且當?shù)男甭蕿闀r，恰為中點．（1）求的值；（2）當經(jīng)過拋物線的焦點時，求的面積．解：（1）當斜率為時，由得，恰好經(jīng)過坐標原點，不妨設，則為拋物線上的點．代入拋物線的方程得，解得．（2）由（1）