2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第1講隨機(jī)抽樣講義理含解析

PAGEPAGE8第1講隨機(jī)抽樣[考綱解讀]1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，會(huì)用簡潔隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本．2.了解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的意義，能利用分層抽樣與系統(tǒng)抽樣解決實(shí)際問題．(重點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講內(nèi)容為高考中的冷考點(diǎn)．預(yù)料2024年高考對(duì)本考點(diǎn)將會(huì)考查以實(shí)際應(yīng)用為背景命題考查分層抽樣或系統(tǒng)抽樣，同時(shí)也可能與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合命題．試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不大，以中、低檔題目為主.1．簡潔隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)eq\o(□,\s\up1(01))不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都eq\o(□,\s\up1(02))相等，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡潔隨機(jī)抽樣的方法：eq\o(□,\s\up1(03))抽簽法和eq\o(□,\s\up1(04))隨機(jī)數(shù)表法．2．系統(tǒng)抽樣(1)定義：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)目較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后依據(jù)事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體得到所須要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣．(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；②確定eq\o(□,\s\up1(01))分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段，當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝eq\f(N,n)；當(dāng)eq\f(N,n)不是整數(shù)時(shí)，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)x，取k＝eq\f(N－x,n)；③在第1段用eq\o(□,\s\up1(02))簡潔隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；④依據(jù)肯定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)eq\o(□,\s\up1(03))l＋k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)eq\o(□,\s\up1(04))l＋2k，依次進(jìn)行下去，直到獲得整個(gè)樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成eq\o(□,\s\up1(01))互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由eq\o(□,\s\up1(02))差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．注：三種抽樣方法的比較1．概念辨析(1)簡潔隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)．()(2)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時(shí)采納簡潔隨機(jī)抽樣．()(3)分層抽樣是將每層各抽取相同的個(gè)體數(shù)構(gòu)成樣本，分層抽樣為保證各個(gè)個(gè)體等可能入樣，必需進(jìn)行每層等可能抽樣．()(4)要從1002個(gè)學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個(gè)容量為20的樣本，須要剔除2個(gè)學(xué)生，這樣對(duì)被剔除者不公允．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小題熱身(1)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問題中，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是()A．總體B．個(gè)體C．樣本容量D．從總體中抽取的一個(gè)樣本答案A解析從5000名居民某天的閱讀時(shí)間中抽取200名居民的閱讀時(shí)間，樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時(shí)間是一個(gè)樣本，每名居民的閱讀時(shí)間就是一個(gè)個(gè)體，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體．(2)為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，采納系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()A．50B．40C．25D．20答案C解析由已知得，分段的間隔為eq\f(1000,40)＝25.(3)對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3答案D解析因?yàn)閷?shí)行簡潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相等．故選D.(4)(2024·全國卷Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異．為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司打算進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡潔隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．答案分層抽樣解析由于從不同年齡段客戶中抽取，故采納分層抽樣．題型eq\a\vs4\al(一)簡潔隨機(jī)抽樣1．下列抽樣檢驗(yàn)中，適合用抽簽法的是()A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)答案B解析A，D中總體的個(gè)體數(shù)較多，不相宜用抽簽法，C中，一般甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量有區(qū)分，也不相宜用抽簽法．故選B.2．(2024·河北模擬)總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字起先由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()A．08B．07C．02D．01答案D解析選出的5個(gè)個(gè)體的編號(hào)依次是08,02,14,07,01.故選D.3．利用簡潔隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．若其次次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個(gè)抽樣過程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,14) D.eq\f(10,27)答案C解析依據(jù)題意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).1．簡潔隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)(1)抽取的個(gè)體數(shù)較少．(2)是逐個(gè)抽取．(3)是不放回抽?。?4)是等可能抽?。挥兴膫€(gè)特點(diǎn)都滿意的抽樣才是簡潔隨機(jī)抽樣．2．抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用狀況(1)抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的狀況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的狀況．(2)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否便利；二是號(hào)簽是否易攪勻．1．下面的抽樣方法是簡潔隨機(jī)抽樣的為()A．在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為2709的為三等獎(jiǎng)B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、老師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的看法D．用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)答案D解析A，B是系統(tǒng)抽樣，C是分層抽樣，D是簡潔隨機(jī)抽樣．2．某班對(duì)期中考試成果進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)法從全班64名同學(xué)中抽取7人進(jìn)行分析，先將64名同學(xué)按01,02,03，…，64進(jìn)行編號(hào)，然后從所給隨機(jī)數(shù)表第1行第8列的數(shù)起先向右讀，則選出的7名同學(xué)的編號(hào)為________．6301637859'1695556719'98105071751286735807'44395238793321123429'7864560782'52420744381551001342'9966027954答案55,56,05,07,17,51,28解析從隨機(jī)數(shù)表第1行第8列的數(shù)字8起先向右讀，選出的7名同學(xué)的編號(hào)為55,56,05,07,17,51,28.題型eq\a\vs4\al(二)系統(tǒng)抽樣(2024·徐州模擬)從編號(hào)為0,1,2，…，79的80件產(chǎn)品中，采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量為5的一個(gè)樣本，若編號(hào)為42的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最小編號(hào)為()A．8B．10C．12D．16答案B解析從80件產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取5件，則可將這80件產(chǎn)品分成5組，每組16件，每組抽取1件，而編號(hào)為42的產(chǎn)品在第3組，所以第1組所抽取產(chǎn)品的編號(hào)為42－16×2＝10.故選B.條件探究1把舉例說明中條件“若編號(hào)為42的產(chǎn)品在樣本中”改為“已知編號(hào)為10，a,42，b,74號(hào)在樣本中”，求a＋b.解由舉例說明中解析易知編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為16的等差數(shù)列，易求得a＝26，b＝58，故a＋b＝84.條件探究2把舉例說明中條件“若編號(hào)為42的產(chǎn)品在樣本中”改為“抽到產(chǎn)品的編號(hào)之和為185”，則抽到的最小編號(hào)是多少？解利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S5＝5a1＋eq\f(5×5－1,2)×16＝185，得a1＝5.系統(tǒng)抽樣的留意點(diǎn)(1)系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大．(2)若不變更抽樣規(guī)則，則所抽取的號(hào)碼構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為第一組所抽取的號(hào)碼，公差為樣本間隔．故問題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題解決．(3)抽樣規(guī)則變更，應(yīng)留意每組抽取一個(gè)個(gè)體這一特性不變．(4)假如總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，其中起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡潔隨機(jī)抽樣的方法．1．(2024·湖北黃岡中學(xué)模擬)某校為了解1000名高一新生的身體生長狀況，用系統(tǒng)抽樣法(按等距的規(guī)則)抽取40名同學(xué)進(jìn)行檢查，將學(xué)生從1～1000進(jìn)行編號(hào)，現(xiàn)已知第18組抽取的號(hào)碼為443，則第一組用簡潔隨機(jī)抽樣抽取的號(hào)碼為()A．16B．17C．18D．19答案C解析∵從1000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本，∴系統(tǒng)抽樣的分段間隔為eq\f(1000,40)＝25.設(shè)第一組隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為x，則第18組的抽取編號(hào)為x＋17×25＝443，∴x＝18.2．某校高三年級(jí)共有30個(gè)班，學(xué)校心理詢問室為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個(gè)班編號(hào)，依次為1到30，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取5個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，若抽到的編號(hào)之和為75，則抽到的最小的編號(hào)為________．答案3解析系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為eq\f(30,5)＝6.設(shè)抽到的最小編號(hào)為x，則x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.題型eq\a\vs4\al(三)分層抽樣角度1求總體容量1．2016年1月1日我國全面二孩政策實(shí)施后，某中學(xué)的一個(gè)學(xué)生社團(tuán)組織了一項(xiàng)關(guān)于生育二孩意愿的調(diào)查活動(dòng)．已知該中學(xué)所在的城鎮(zhèn)符合二孩政策的已婚女性中，30歲以下的約2400人，30歲至40歲的約3600人，40歲以上的約6000人．為了解不同年齡層的女性對(duì)生育二孩的意愿是否存在顯著差異，該社團(tuán)用分層抽樣的方法從中抽取了一個(gè)容量為N的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知從30歲至40歲的女性中抽取的人數(shù)為60，則N＝________.答案200解析由題意可得eq\f(3600,2400＋3600＋6000)＝eq\f(60,N)，故N＝200.角度2求每層中的樣本數(shù)量2．(2024·吉林通化模擬)分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢，欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要依據(jù)各人帶錢多少的比例進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅？則下列說法錯(cuò)誤的是()A．甲應(yīng)付51eq\f(41,109)錢B．乙應(yīng)付32eq\f(24,109)錢C．丙應(yīng)付16eq\f(56,109)錢D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案B解析依題意由分層抽樣可知，100÷(560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，則甲應(yīng)付：eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(錢)；乙應(yīng)付：eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(錢)；丙應(yīng)付：eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(錢)．分層抽樣問題類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之：依據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．(3)分層抽樣的計(jì)算應(yīng)依據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”．提示：分層抽樣時(shí)，每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必需滿意抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個(gè)個(gè)體(其中i是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，N是總體容量)．1．(2024·南昌模擬)某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的狀況，采納分層抽樣的方法從高一1000人，高二1200人，高三n人中，抽取81人進(jìn)行問卷調(diào)查，已知高二被抽取的人數(shù)為30，那么n＝()A．860B．720C．1020D．1040答案D解析由已知條件得，抽樣比為