拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)VIP

2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（4課時(shí)）主備教師：周雷鳳輔備教師：馬能禮一、內(nèi)容及其解析本次課學(xué)的內(nèi)容是拋物線的一些基本性質(zhì)，其核心內(nèi)容是拋物線的離心率及準(zhǔn)線，理解它關(guān)本節(jié)課要鍵是先讓學(xué)生理解直觀的圖形，從中抽象出拋物線的性質(zhì)。學(xué)生已經(jīng)學(xué)過拋物線線概念和標(biāo)準(zhǔn)形式，本節(jié)課的內(nèi)容拋物線的基本性質(zhì)就是在其基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于它還與橢圓、雙曲線等圓錐曲線有密切的聯(lián)系，并有參照對(duì)比的作用。是拋物線的核心內(nèi)容。教學(xué)重點(diǎn)是拋物線的性質(zhì)及范圍，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，從圖形的直觀得到拋物線性質(zhì)的準(zhǔn)確刻畫。二、目標(biāo)及其解析1、目標(biāo)定位（1）了解拋物線的幾何性質(zhì)；（2）會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問題．2、目標(biāo)解析（1）是指：拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì)．（2）是指：能夠根據(jù)拋物線中準(zhǔn)線與焦點(diǎn)之間的關(guān)系能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及軌跡方程等.三、問題診斷分析在本節(jié)拋物線性質(zhì)的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題是拋物線的一些基本概念會(huì)與其它圓錐曲線的概念產(chǎn)生混淆，產(chǎn)生這一問題的原因是學(xué)生對(duì)各種曲線的概念把握不清。要解決這一問題，就要類比著其它圓錐曲線的概念及性質(zhì)學(xué)習(xí)，其中關(guān)鍵是借助圖形直觀類比。四、教學(xué)支持條件分析在本節(jié)課雙曲線的性質(zhì)教學(xué)中，準(zhǔn)備使用多媒體輔助教學(xué)。因?yàn)槭褂枚嗝襟w輔助教學(xué)有利于學(xué)生對(duì)拋物線性質(zhì)從直觀到具體的把握。五、教學(xué)設(shè)計(jì)過程第一、二課時(shí)復(fù)習(xí)：?jiǎn)栴}1：拋物線的概念？拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有哪幾種？他們的形式是怎么樣的？（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生先回顧拋物線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程，為探究拋物線性質(zhì)做好準(zhǔn)備）自學(xué)閱讀教材第頁，完成下列問題：拋物線的幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形性質(zhì)范圍對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1焦點(diǎn)(eq\f(p,2),0)(－eq\f(p,2),0)(0,eq\f(p,2))(0,－eq\f(p,2))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)互學(xué)、導(dǎo)學(xué)問題一拋物線的幾何性質(zhì)有哪些？（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)拋物線）（師生活動(dòng)：結(jié)合圖像，各組研討，最好教師歸納小結(jié)）問題1：類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖象，說出拋物線y2＝2px(p>0)的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率．怎樣用方程驗(yàn)證？問題2：類比拋物線y2＝2px(p>0)，拋物線y2＝－2px(p>0)、x2＝2py(p>0)、x2＝－2py(p>0)的性質(zhì)如何呢？問題3：通過拋物線的幾何性質(zhì)，怎樣探求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？答：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要利用待定系數(shù)法，要根據(jù)已知的幾何性質(zhì)先確定方程的形式，再求參數(shù)p.例1（教材例3）已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.【方法歸納】(1)注意拋物線各元素間的關(guān)系：拋物線的焦點(diǎn)始終在對(duì)稱軸上，拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對(duì)稱．(2)解決拋物線問題要始終把定義的應(yīng)用貫徹其中，通過定義的運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)距離之間的轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過程．變式訓(xùn)練1：若y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則P的坐標(biāo)為(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))解：由知，P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(1,8)，代入拋物線方程得y＝±eq\f(\r(2),4)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))，問題二拋物線的焦點(diǎn)弦問題（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解焦點(diǎn)弦的重要性，體現(xiàn)團(tuán)結(jié)合作的智慧）（師生活動(dòng)：小組討論分析、總結(jié)答案，教師歸納結(jié)論）問題1：什么是拋物線的焦點(diǎn)弦？過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)如何求？解：拋物線y2＝±2px(p>0)的過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分別是點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值；拋物線x2＝±2py(p>0)的過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p，其中y1，y2分別是點(diǎn)A，B縱坐標(biāo)的絕對(duì)值.問題2：拋物線的通徑是什么？例2已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；（類似教材習(xí)題2.4第5題）(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．解：(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).【歸納方法】(1)解決拋物線的焦點(diǎn)弦問題時(shí)，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．(2)設(shè)直線方程時(shí)要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論．變式訓(xùn)練2：（教材例4）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).問題三探究和拋物線有關(guān)的軌跡方程（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單軌跡方程的求法）問題1：怎樣判斷一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線？（師生互動(dòng)：小組討論得出結(jié)論，教師補(bǔ)充）答：(1)如果動(dòng)點(diǎn)滿足拋物線的定義，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線；(2)如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是拋物線的方程形式，則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線．例3已知點(diǎn)A在平行于y軸的直線l上，且l與x軸的交點(diǎn)為(4,0)．動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(AP,\s\up14(→))平行于x軸，且eq\o(OA,\s\up14(→))⊥eq\o(OP,\s\up14(→))，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，y)，所以eq\o(OA,\s\up14(→))＝(4，y)，eq\o(OP,\s\up14(→))＝(x，y)．因?yàn)閑q\o(OA,\s\up14(→))⊥eq\o(OP,\s\up14(→))，所以eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OP,\s\up14(→))＝0，因此4x＋y2＝0，即P的軌跡方程為4x＋y2＝0.軌跡的形狀為拋物線．【方法歸納】求解圓錐曲線的軌跡方程的方法：一是代數(shù)法：建立坐標(biāo)系——設(shè)點(diǎn)——找限制條件——代入等量關(guān)系——化簡(jiǎn)整理，簡(jiǎn)稱“建設(shè)限代化”；二是幾何法：利用曲線的定義、待定系數(shù)．但要特別注意不要忽視題目中的隱含條件，防止重、漏解．變式訓(xùn)練3：（教材習(xí)題2.4B組第1題）從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是什么曲線？（）六、小結(jié)1．討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程．2．解決拋物線的軌跡問題，可以利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的定義．七、目標(biāo)檢測(cè)（檢學(xué)）教材練習(xí)第1、2、3題八、配餐作業(yè)A組1．拋物線y＝mx2(m<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(m,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4m)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(m,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4m)))2.(2014·鶴崗高二檢測(cè))拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A.4 B.6 C.8 D.12【解析】選B.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線是x=-2,由條件知P到y(tǒng)軸距離為4,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP=4.根據(jù)焦半徑公式可得|PF|=4+2=6.3.已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,y0).若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則|OM|=(B)A.22 B.2 C.4 D.25【解析】選B.由拋物線定義知,p2+2=3,所以p=2,拋物線方程為y2=4x.因?yàn)辄c(diǎn)M(2,y0)在此拋物線上,所以y02=8,于是|OM|=4+yB組4．已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝________.解析由y2＝4x，知p＝2，F(xiàn)(1,0)，由拋物線定義，xA＋eq\f(p,2)＝|AF|，∴xA＝2－1＝1，因此AB⊥x軸，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，從而|BF|＝|AF|＝2.5.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.32【解析】由拋物線y2=2px(p>0),得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為p2,0,則FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為p4,1,代入拋物線方程得,2p×p4=1,所以p=2,所以B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4+pC組6.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí),其面積為.43【解析】據(jù)題意知,△PMF為等邊三角形時(shí),PF=PM,所以PM垂直拋物線的準(zhǔn)線,設(shè)Pm24,m,則M(-1,m),等邊三角形邊長(zhǎng)為1+所以由PM=FM,得1+m24=(-所以等邊三角形邊長(zhǎng)為4,其面積為43.7.（選作）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A為拋物線上一點(diǎn),若OA→·【解析】由y2=4x,知F(1,0),因?yàn)辄c(diǎn)A在y2=4x上,所以不妨設(shè)A(y24,y),則OA→=(y24,y),A代入OA→·AF→=-4中,得y24(1-所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2).九、教后反思第三、四課時(shí)（習(xí)題課）一、復(fù)習(xí)提問：其中為拋物線上任一點(diǎn).二、評(píng)講配餐作業(yè)4—7題三、典例分析題型一拋物線的幾何性質(zhì)例題1（《學(xué)樂時(shí)空》第41頁）變式訓(xùn)練1