二項(xiàng)分布與超幾何分布VIP

第七章隨機(jī)變量及其分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.1二項(xiàng)分布教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)與n重伯努利試驗(yàn)；2.掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.二、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ?、二?xiàng)分布模型，用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2、教學(xué)難點(diǎn)利用二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問(wèn)題.三、教學(xué)過(guò)程（一）新課導(dǎo)入問(wèn)題：觀察以下隨機(jī)試驗(yàn)，它們有什么相同的特征？（1）擲硬幣時(shí)正面朝上或反面朝上；（2）檢驗(yàn)一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格；（3）飛碟射擊時(shí)中靶或脫靶；（4）醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性或陰性.（二）探索新知探究一伯努利試驗(yàn)將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).顯然，n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：（1）同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.在伯努利試驗(yàn)中，我們關(guān)注某個(gè)事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗(yàn)中，我們關(guān)注事件A發(fā)生的次數(shù)X.因?yàn)閄是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，所以我們實(shí)際關(guān)心的是它的概率分布列.探究二：二項(xiàng)分布問(wèn)題：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？用表示“第i次射擊中靶”，用如圖的樹(shù)狀圖表示試驗(yàn)的可能結(jié)果.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)共有種可能結(jié)果，它們兩兩互斥，每個(gè)結(jié)果都是3個(gè)相互獨(dú)立事件的積.由概率的加法公式和乘法公式得，，，.為了簡(jiǎn)化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011，110，101，這三個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率都相等，均為，并且與哪兩次中靶無(wú)關(guān).因此，3次射擊恰好2次中靶的概率為.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次數(shù)X的分布列為.總結(jié)：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p（），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作.由二項(xiàng)式定理，容易得到.例1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)的概率.解：設(shè)“正面朝上”，則.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則.（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價(jià)于，于是；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在內(nèi)等價(jià)于，于是.例2甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？解析：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分或，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，甲最終獲勝的概率為.類(lèi)似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分或.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，所以甲最終獲勝的概率為.歸納：一般地，確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；（2）確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；（3）設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則.探究三：二項(xiàng)分布的均值與方差問(wèn)題：假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，那么X的均值和方差各是什么？我們知道，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有次正面朝上.根據(jù)均值的含義，對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X，我們猜想.先考察n較小的情況.（1）當(dāng)時(shí)，X服從兩點(diǎn)分布，分布列為.均值和方差分別為.（2）當(dāng)時(shí)，X的分布列為.均值和方差分別為..一般地，可以證明：如果，那么.下面對(duì)均值進(jìn)行證明.令，由，可得.令，則.二項(xiàng)分布的應(yīng)用非常廣泛.例如，生產(chǎn)過(guò)程中的質(zhì)量控制和抽樣方案，都是以二項(xiàng)分布為基礎(chǔ)的；參加某保險(xiǎn)人群中發(fā)生保險(xiǎn)事故的人數(shù)，試制藥品治愈某種疾病的人數(shù)，感染某種病毒的家禽數(shù)等，都可以用二項(xiàng)分布來(lái)描述.（三）課堂練習(xí)1.現(xiàn)有10張分別標(biāo)有-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4的卡片，它們的大小和顏色完全相同，從中隨機(jī)抽取1張，記下數(shù)后放回，連續(xù)抽取3次，則記下的數(shù)中有正有負(fù)且沒(méi)有0的概率為()

A. B. C. D.答案：B解析：由題意,知每次抽到標(biāo)有正數(shù)的卡片的概率為，抽到標(biāo)有負(fù)數(shù)的卡片的概率為,抽到標(biāo)有0的卡片的概率為，而記下的數(shù)中有正有負(fù)且沒(méi)有0的情況有兩種:2正1負(fù)，1正2負(fù),則所求的概率為.故選B.2.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則()A． B． C． D．答案：D解析：因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，X為取得次品的次數(shù)，則,,故選D.3.若隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布,且,,則此二項(xiàng)分布是()

A. B. C. D.答案：B解析：隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，

且，，

②除以①得，即，

代入①解得,此二項(xiàng)分布是，故選B.4.將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂陕湎?小球在下落的過(guò)程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中,已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率分別為,則小球落入袋中的概率為()A. B. C. D.答案：D解析：記事件為小球落入袋.因?yàn)樾∏蛴龅秸系K物有一次向左和兩次向右或兩次向