第二章 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性VIP

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性命題分析預(yù)測學(xué)科核心素養(yǎng)以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí)，題型以選擇題、填空題為主，中等偏上難度.本節(jié)通過函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于

對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于

對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)二級(jí)結(jié)論1．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．有關(guān)對稱性的結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱．若函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱．(2)若f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于x＝a對稱；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱．

必明易錯(cuò)1．判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件．2．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．判定分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性．解析：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)．又∵f(1)＝12＋1＝2，∴f(－1)＝－2.AB3．(易錯(cuò)題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2＋4x－3，則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝________________.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中

的正數(shù)，那么這個(gè)

就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)存在一個(gè)最小最小正數(shù)2．對稱性與周期的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個(gè)周期.解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.D答案：1AB1.判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以將問題轉(zhuǎn)化為f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．2．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.解析：因?yàn)閒(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝2，因?yàn)楫?dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，所以f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010.答案：1010

函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用(1)判定：判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T.(2)應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．常見的命題角度有：(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；(2)周期性與奇偶性結(jié)合；(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合.A法二：同法一得f(x)是奇函數(shù)．又f′(x)＝(x3－x－3)′＝3x2＋3x－4＞0，所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增．1.利用偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，實(shí)現(xiàn)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化．2．注意偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)的應(yīng)用．考法(二)周期性與奇偶性的綜合問題[例2]

(2021·龍巖模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－1,3)

B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)A[解析]由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為4，則f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.對于與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時(shí)需要通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.B2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(

)A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D解析：因?yàn)閒(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．3．已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.解析：法一：因?yàn)閒(1－x)＝f(1＋x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)中心對稱．?dāng)?shù)形結(jié)合可知函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．因?yàn)閒(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.因?yàn)閒(1－x)＝f(1＋x)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(2)＝f(0)＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；當(dāng)x＝3時(shí)，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.綜上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案：2

函數(shù)奇偶性、周期性應(yīng)用中的核心素養(yǎng)(一)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算——奇偶函數(shù)的二級(jí)結(jié)論及應(yīng)用結(jié)論一：若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(shù)(－x)＋g(x)＝2c.結(jié)論二：若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝f(x－a)＋h的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，h)對稱．結(jié)論三：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝