淺析范德蒙德行列式的應(yīng)用4100字VIP

1淺析范德蒙德行列式的應(yīng)用目錄 11.1范德蒙德行列式在行列式計(jì)算方面的應(yīng)用 11.2范德蒙德行列式在多項(xiàng)式中的一些應(yīng)用 1.3范德蒙德行列式在線性變換中的應(yīng)用 1.4范德蒙德行列式在向量線性相關(guān)性中的應(yīng)用 1.5范德蒙德行列式在向量空間理論中的應(yīng)用 1.6范德蒙德行列式在微積分中的應(yīng)用 1.1范德蒙德行列式在行列式計(jì)算方面的應(yīng)用行列式是高等代數(shù)中一個(gè)基本概念，作為數(shù)學(xué)系的學(xué)生，必需掌握行列式的性質(zhì)、證明和計(jì)算。其中行列式的計(jì)算使許多學(xué)生學(xué)習(xí)感到十分困難，特別是對(duì)于一些比較復(fù)雜的行列式。范德蒙德行列式是一類特殊的行列式，它的結(jié)論非常特殊，恰當(dāng)靈活地應(yīng)用范德蒙德行列式會(huì)大大簡(jiǎn)化某些復(fù)雜行列式的計(jì)算步驟。利用范德蒙德行列式獨(dú)特的形式和簡(jiǎn)介的計(jì)算首先將第一行的負(fù)一倍加到第二行，第二行就變成x?,x?,x?,x?;按照同樣的方法，將新得到的第二行的負(fù)一倍加到第三行上，第三行變成;再依照相同的方法，該行列式的第四行變成x3,x3,x3,x3。從而我們可得到的新的行列式即為4階范德蒙德行列2例2計(jì)算n+1階行列式分析：該行列式具有每一行元素方冪遞減的特點(diǎn).如果把第n+1行依次與前面各行交換到第一行，再將新的行列式第n+1與第n交換，再與此行列式的n-1行交換，按照這樣的方法進(jìn)行交換，經(jīng)過n(n+1)/2次行交換后，得到n+1階范德蒙德行列式.解：有上述分析可得例3計(jì)算n階行列式分析：不是范德蒙德行列式，但具有該行列式的特點(diǎn)，可考慮構(gòu)造n+1階范德蒙德行列式，再利用范德蒙德行列式的結(jié)果，簡(jiǎn)接地求出D。的值。解：構(gòu)造n+1階范德蒙德行列式3A,+=(-1)"+(n+1)D?=-D再根據(jù)范德蒙德行列式的結(jié)果可知g(x)=由上式可求得的系數(shù)為例4計(jì)算行列式分析：此類行列式直接求解比較困難，不是一眼就能看出結(jié)果的行列式，此行列式各行 (各列)都是某個(gè)元素的不同次方冪，此行列式與范德蒙德行列式形式相似，但又有所區(qū)別，因此需要將此行列式化先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化成范德蒙德行列式。解：此行列式中各行元素都是一個(gè)元素從左到右按遞升順序排列，且都是從1遞升至nF,若利用行列式的性質(zhì)提起公因式，則各行的元素的方冪便從0變到n-1②②式右側(cè)的行列式為范德蒙德行列式，該結(jié)果為D?=n!(n-1)!(n-2)!…1例5計(jì)算行列式4分析：該行列式中含有一個(gè)三角函數(shù)中的余弦函數(shù)，我們首先應(yīng)當(dāng)想到化簡(jiǎn)余弦函數(shù)，然后再進(jìn)行利用行列式的性質(zhì)(比如將某一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列),提取公因式，調(diào)換各行(各列)的次序)進(jìn)一步優(yōu)化化簡(jiǎn)，最終化成范德蒙德行列式的形式。解：步驟一、根據(jù)倍角公式cos2θ=2cos2θ-1cos3θ=4cos3θ-3cosθ步驟二、帶入行列式步驟三、將第一列的一倍加到第三列，將第二列的三倍加到第四列，得到行列式=例6計(jì)算4階行列：分析：這種類型的行列式很難直接計(jì)算。我們應(yīng)該注意到行列式的每一項(xiàng)都是一個(gè)二項(xiàng)式，且都能展開成4項(xiàng)之和，(c+d)3=c3+3c2d+3d2c+d3,可利用行列式的乘法，可將原行列式拆分成為兩個(gè)不同的范德蒙德行列式相乘，然后我們可利用范德蒙德行列式值得形例7設(shè)2,2?,…λ互不相同，計(jì)算n+1階行列式5解：考慮以范德蒙德轉(zhuǎn)置行列式D'的矩陣為系數(shù)矩陣，Z"+2,22+2?,…,”+λ為常數(shù)項(xiàng)的非齊次線性方程組容易看出2,2?,…,2,是以y?,y?,…,yn,-1為系數(shù)，x為未知數(shù)的n次多項(xiàng)式y(tǒng)?+y?x+y?x2+…+ynx”?1-x”的n個(gè)互不相同的根，容易根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得另一個(gè)方面，由于故由克萊姆法則知1.2范德蒙德行列式在多項(xiàng)式中的一些應(yīng)用利用Vandermonde行列式使解題的過程更加清晰、易懂。對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式，我們可以把此多項(xiàng)式中的系數(shù)看成未知量，這樣我們便得到一個(gè)新的系數(shù)行列式，再將這個(gè)新的系數(shù)行列式弄成范德蒙德行列式，之后便可直接得到結(jié)果。例1h(x)=co+c?x1+c?x2+...+Cnx",證明：h(x)至少有n+1個(gè)不同的根→f(x)=0證：設(shè)x,x?,…,x,+1為h(x)的n+1個(gè)根，且各不相同3。h(x;)=0,i=1,2,…,n+1從而得到如下齊次線性方程組：②其中c?,i=0,1,2,…,n為未知量，并且它的系數(shù)行列式是一個(gè)形如范德蒙德行列式的行列式，即由克拉默(Cramer)法則可知，方程組②有零解即co=C?=C?=.….=c,從而h(x)=0——個(gè)次數(shù)不超過n-1的多項(xiàng)式，即存在f(x)通過這n個(gè)點(diǎn)e,(1≤i≤n),即f(e)=f(1≤i≤n)證明：設(shè)f(x)=c?x”?1+c?x”?2+.…+Cn-1x+cn,使f(e)=f,則需要滿足關(guān)于③③方程組的系數(shù)行列式為范德蒙德行列式，所以可得出當(dāng)e(1≤i≤n)各不相同時(shí)，由克拉默 (Cramer)法則知該方程組有唯一解，即對(duì)平面上n個(gè)點(diǎn)(e,f;),則必存在唯一的一個(gè)字?jǐn)?shù)不超過n-1的多項(xiàng)式f(x)通過該n個(gè)點(diǎn)。為f(x)的判別式.證明f(x)有重根的充分必要條件式分析：利用行列式乘法計(jì)算公式對(duì)△進(jìn)行下一步分解，經(jīng)分解可得△等于兩個(gè)范德蒙德7f有重根可得判別式Df)=a2△=0,所以△=0。解：設(shè)多項(xiàng)式f(x)的n+1個(gè)互不相同的不動(dòng)點(diǎn)2,2,…,λ+1,令g(x)=f(x)-x=a?+(a?-1)x+a?x2+…+anx",那么有g(shù)(2)=f(λ,)-λ,=0(i=1,2,…,n+1),從而我們可得到上述方程組(3)只有零解，所以ao=a?=…=an=0,a?=1,于是便可推導(dǎo)出f(x)=x,這是一個(gè)含有無窮多(無數(shù))個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的一次行列式。線性變換可以說是高等代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，題目的變化具有多樣性和靈活性。應(yīng)用范德蒙德行列式可以提高問題解決的效率，使問題解決的過程變得通俗易懂、簡(jiǎn)介明了。例1在數(shù)域F中，σ是V中的線性變換，設(shè)(x?,x?,…,x,)是線性空間V中的一組基，且存在證明：由已知條件可知8線性變換σ在基(x?,x?,…,x)下的矩陣為A,其中且行列式A是范德行列式，由于行列式A不為零，從而我們可知行列式A是一個(gè)可逆的行列式，相應(yīng)的可得出上述變換是一個(gè)可逆線性變換。例2如果λ,2,…,.2是線性變換ψ的所有兩兩不同的特征值，a?∈Vz,i=1,2,…,s,則當(dāng)a?+a?+…+a?=0時(shí)，必有a?=a?=…=a?=0。證明：由題意可知ψa?=λ,a,(1≤i≤s),依次代入等式a?=a?=…=a?=0兩端，可得到①用矩陣的方法可表示為②矩陣是一個(gè)范德蒙德行列式，由于λ,2?,…,2.兩兩截然不相同，從而可得知這個(gè)矩陣A是可逆矩陣。在②式兩端分別右乘A?1,則可得到q=a?=…=a?=0,即證。1.4范德蒙德行列式在向量線性相關(guān)性中的應(yīng)用例1證明在空間中一個(gè)向量集中含有無限多個(gè)向量，而且這樣一個(gè)向量集中的任意三個(gè)向量都是線性無關(guān)的。證：設(shè)該向量集為{(1,y,y2)IY∈z}成如下行列式,從中選出3個(gè)線性無關(guān)的向量，這樣的3個(gè)向量可構(gòu)9式值不為0,從而可推得它們線性相關(guān)?？傻玫缴鲜鲅芯烤€性方程組的系數(shù)行列式是范德蒙德行列式，又因?yàn)樗鼈兊奶卣髦蹈鞑幌嗤?，所以這個(gè)行列式D不為0;從而可實(shí)現(xiàn)D可逆，將④式兩邊同時(shí)乘以D的逆，可得(n?,n?…,n.)=0,例3證明：對(duì)應(yīng)于矩陣A的不同特征根λ,2?,…,λ對(duì)應(yīng)的特征向量ξ,?,…,ζ,是線性無關(guān)的。解：假設(shè)ξ,?,…,ζ,線性相關(guān)，則存在不全為零的n個(gè)數(shù)a,a?,…,an,使Aξ;=λξ;(i=1,2,…,n)②用矩陣A左乘式①得再利式②得到③④繼續(xù)進(jìn)行上述過程得到齊次線性方程組⑤把其線性方程組⑤理解為以a?5,a?5?,…,an5,為未知數(shù)的線性方程組，且該系數(shù)行列式是一個(gè)類如范德蒙行列式的行列式D?≠0,并且由克拉姆法則知aξ;=0(i=1,2,…,n),因?yàn)棣巍?(i=1,2,…,n),因此只能有a=0(i=1,2,…,n),這與a?,a?,…,an不全為零相矛盾。1.5范德蒙德行列式在向量空間理論中的應(yīng)用應(yīng)用范德蒙德行列式處理向量空間理論問題的研究，能使問題變得更加通俗易懂，并且在m個(gè)向量，在V隨意取得n個(gè)向量都是線性無關(guān)的。C?=(1,22,(22)2,…(2”-1)2),…,Cm=(1,2”,(22)”,…(2”-1)"),令例2在數(shù)域F上含有一個(gè)n維線性空間W,證明W不能被W中的有限個(gè)真子空間覆蓋。當(dāng)e?,e?,…,e,為單位向量時(shí)，可容易證明σ是雙射(省略)。假設(shè)V是V的真子空間，則I中的元素在V中的個(gè)數(shù)小于n否則，若β∈V,j=1,2…,.n,β?=c?+k;c?+…+k"?1c?,系數(shù)行列式中蘊(yùn)含無窮多個(gè)不同的元素，I中的元素只有有限多個(gè)元素在中，但,所以有1.6范德蒙德行列式在微積分中的應(yīng)用例1若g(x)至少含有k階導(dǎo)數(shù)，并且對(duì)于某一個(gè)具體的實(shí)數(shù)b有和),證,(g°(x)表示g(x))證明：首先將g'(x)寫成g(x)與g*(x)線性組合。其次再依據(jù)泰勒公式：8(x+m)=g(x)+mg1(x)+…+m-1/(k-1)!g(k-1)(x)+m/k!g(cm)①,m的線性組合表達(dá)式，它的系數(shù)行列式等于D?=1/1!2!..(k-1)D。中含有一個(gè)范德蒙德行列式，且該行列式的值為,在該式中令t=x+m,i=0和令t=εm,i=k,則可h(x)=a(1-x2/2!+x?/4!-x?/6!+o(x?))+b(1-(2x)2/2!+(2x)?/4!-(2x)?/6!c(1-(3x)2/2!+(3x)?/4!-(3x)?/6!+0(x?))+d(1-(4x)2/2!+(4x)?/4!-(4a+b+c+d-1/2(a+22b+32c+42d)x2+1/4!(當(dāng)x→0時(shí)，若g(x)最高無窮小在6階以上，則有以下方程組。上述方程組的系數(shù)行列式為范德蒙德行列式。該行列式的值不是0,所以a,b,c