2024-2025學(xué)年上海進(jìn)才中學(xué)高三下學(xué)期數(shù)學(xué)最后一考試卷（2025.05）（含答案）VIP

進(jìn)才中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)最后一考2025.5一、填空題（本大題共有12題，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1.函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】2．已知扇形的弧長為，面積為，則扇形所在圓的半徑為．【答案】33．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部是.【答案】24．樣本數(shù)據(jù)24，8，35，23，7，10，11，30的60%分位數(shù)為.【答案】5．向量滿足，且與夾角的余弦值為，則．【答案】6．有3名男生與2名女生排成一隊(duì)照相，2名女生互不相鄰的概率為__________.【答案】7．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是，的前項(xiàng)和為，則取得最小值時(shí).【答案】8．如圖所示為函數(shù)的圖象，則不等式的解集為．【答案】9.隨機(jī)變量，，若，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】95.510．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，與在軸右側(cè)交于點(diǎn)，且，則的離心率為．【答案】11.（教材）如圖，要在和兩地之間修一條筆直的隧道，現(xiàn)從地和地測(cè)量得到：，，，，為確定隧道的方向，可求得（精確到）【答案】52.5°【解析】設(shè)，由題意，在△ADC中，；在△BDC中，；在△BDA中，；將上述三式相乘，得，從而有，得，所以12.已知向量與單位向量所成的角為60°，且滿足對(duì)任意的，恒有，則（）的最小值為.【答案】二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13～14每題4分，15～16每題5分）13.下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D14．下列各組向量中，能作為基底的是（）A．， B．C． D．【答案】C15.已知函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.在a到b之間的平均變化率大于在a到b之間的平均變化率B.在a到b之間的平均變化率小于在a到b之間的平均變化率C.對(duì)于任意x0∈(a,b)，在x=x0處的瞬時(shí)變化率總大于在x=D.存在x0∈(a,b)，使得在x=x0處的瞬時(shí)變化率小于在【答案】D16.已知曲線，為曲線上任一點(diǎn)，命題P:曲線與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn)；命題Q:曲線與直線相切；下列說法正確的是（

）.A.命題P和命題Q都為真 B.命題P為真，命題Q為假 C.命題P為假，命題Q為真 D.命題P和命題Q都為真【答案】C三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中點(diǎn)，Q是BD中點(diǎn)，E是DD1中點(diǎn)．（1）求證：PQ∥平面D1DCC1；（2）求異面直線CE和DP所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：連接.∵底面正方形，是中點(diǎn)，∴是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，平面平面平面取中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為.∴又是中點(diǎn)，故四邊形是平行四邊形，∴∴或其補(bǔ)角中的銳角或直角為異面直線和所成角.在∴異面直線和所成角的余弦值為．18．（本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）已知，.（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若，，，求.【答案】（1）最小值為；最大值為.（2）【解析】（1）由題.，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值為；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值為.（2）由題，即.，.由正弦定理，，由余弦定理，.，.19.（本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分）某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)調(diào)查問卷，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分為100分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：組別頻數(shù)2515020025022510050（1）已知此次問卷調(diào)查的得分，的近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），求.參考數(shù)據(jù)：若，則，，（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：=1\*GB3①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；=2\*GB3②每次贈(zèng)送的機(jī)制為“贈(zèng)送20元話費(fèi)的概率為，贈(zèng)送40元話費(fèi)的概率為”.現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)為元，求的分布與期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】（1）易知，所以（2）由題，且，.所以.所以數(shù)學(xué)期望.20．（本題共有3個(gè)小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點(diǎn)，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率；(3)設(shè)為軸上一點(diǎn)，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯(lián)立消去，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設(shè)，因?yàn)?因?yàn)椋?所以，當(dāng)時(shí)，為定值.所以.21.（本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，①?dāng)時(shí)，易得，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，得時(shí)，即在上單調(diào)遞增；由，得時(shí)，即在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，則其等價(jià)于，即．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因恒成立，故．（3）．令，得，令，則與有相同的零點(diǎn)，且．令，則，因?yàn)?/p>