2025年天津市南開區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試題（解析版）

2025年天津市南開區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共100分，考試時(shí)間90分鐘．參考公式：球的體積公式，其中R表示球的半徑．第Ⅰ卷一、選擇題：（本大題共15個(gè)小題，每小題3分，共計(jì)45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)全集，集合，，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】全集，又，則，故選A.2.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】B【解析】【詳解】解：因?yàn)樵撏瑢W(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在［160，175］cm的概率為0.5，和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1，利用對(duì)立事件可知1-0.2-0.5=0.3，選B3.的值為（）．A. B.0 C.1 D.不存在【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得；詳解】解：故選：B4.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題意；對(duì)于B中，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足題意；對(duì)于C中，函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足題意；對(duì)于D中，函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足題意，故選：A.5.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?故選：B6.設(shè)C為復(fù)數(shù)集，若，且（i為虛數(shù)單位），則（）．A.1 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以；故選：A7.在下列區(qū)間中，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，利用零點(diǎn)的存在定理，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B.8.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由分層抽樣知識(shí)可得：在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為：，故選B．考點(diǎn)：分層抽樣．9.函數(shù)是A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的偶函數(shù)【答案】A【解析】【詳解】函數(shù)函數(shù)的周期是，，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，故選A.10.如圖，，，分別是的邊，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和向量的加法法則進(jìn)行判斷即可【詳解】A.項(xiàng)且利用中位線性質(zhì)有平行故B.項(xiàng)，且平行故C.項(xiàng)由向量加法運(yùn)算有D.項(xiàng)，不成立故選：D11.某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為20人，則a的估計(jì)值是（）．A.130 B.140 C.133 D.137【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分別直方圖性質(zhì)求解即可.【詳解】?jī)?yōu)秀的頻率為，的頻率為，的頻率為，所以的值在之間.即，解得故選：C.12.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.13.在中，則A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【詳解】由正弦定理可知，，故選B.14.設(shè)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，則（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及作差法判斷即可；【詳解】解：，又即，，所以，，又，所以，，所以，所以；故選：B15.如圖，在正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則異面直線DE與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，則可得為異面直線DE與所成角的平面角或其補(bǔ)角，然后由題意可得DE，從而在中求解即可【詳解】解：連接，則，故為異面直線DE與所成角的平面角或其補(bǔ)角，連接，則，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，故DE，在中，因?yàn)?，而，所以在中，，故，故選：C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分．請(qǐng)將答案填在題中橫線上．16.某班有60名學(xué)生，其中女生24人，現(xiàn)任選一人，則選中男生的概率為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意選中男生的概率；故答案為：17.在中，若，則的長(zhǎng)為__________．【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由余弦定理，即，所以故答案為：18.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，即，所以，解得；所以故答案為?9.表面積為的正四面體外接球的體積為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為，的外接圓圓心為，正四面體外接球的球心為，半徑為，根據(jù)已知條件得到，從而得到外接球半徑，再求外接球體積即可.【詳解】設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為，的外接圓圓心為，正四面體外接球的球心為，半徑為，如圖所示：

因?yàn)?，解?因?yàn)?，所以?在中，解得.正四面體外接球的體積.故答案為：20.若，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】變形，利用基本不等式可得最值.【詳解】，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.即的最大值是.故答案為：.三、解答題：（本大題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）21.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接用二倍角余弦公式即可得結(jié)果；（2）由三角恒等式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所?【小問2詳解】因，所以，所以.22.已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求出，由題得，即可解出；（2）求出，解不等式即得解.【詳解】（1）∵，∴，又是實(shí)數(shù)，∴，得.∴復(fù)數(shù).（2）由（1）得，，∴，∵復(fù)數(shù)所表示點(diǎn)在第一象限，∴，得.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.23.如圖，四棱錐的底面是菱形，，平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（）求證：平面平面．（）求證：平面．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【詳解】試題分析:（1）根據(jù)平幾知識(shí)計(jì)算得，再根據(jù)條件由線面垂直得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得平面，由面面垂直判定定理得結(jié)論（2）取的中點(diǎn)，由平幾知識(shí)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論試題解析：（）∵底面是菱形，，∴為正三角形，是的中點(diǎn)，，平面，平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，是中點(diǎn)，∴且，∴與平行且相等，∴，∵平面，平面，∴平面．24.已知函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求a的值；（2）若在上有最小值9，求a的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）的函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，分三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用最小值列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：由題