數(shù)學(xué)考研經(jīng)典題目及答案VIP

數(shù)學(xué)考研經(jīng)典題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert\)為（）A.-2B.2C.10D.-104.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散的B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.無(wú)法判斷5.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec=(2,4,6)\)（）A.垂直B.平行C.既不平行也不垂直D.夾角為\(45^{\circ}\)6.函數(shù)\(z=xy\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分\(dz\)為（）A.\(2dx+dy\)B.\(dx+2dy\)C.\(dx+dy\)D.\(2dx+2dy\)7.方程\(x^2+y^2-4x+6y+13=0\)表示的圖形是（）A.點(diǎn)B.圓C.橢圓D.雙曲線8.設(shè)\(f(x)\)是可導(dǎo)函數(shù)，且\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}\)等于（）A.2B.4C.0D.19.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(e^{-x}\)，則\(\intf^\prime(x)dx\)等于（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{-x}+C\)D.\(-e^{-x}+C\)10.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，則\(P(X\leq0)\)等于（）A.0.5B.0C.1D.0.25二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sqrt{x}\)2.以下哪些是線性代數(shù)中矩陣的運(yùn)算（）A.加法B.乘法C.轉(zhuǎn)置D.求行列式3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)4.多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.\(f_x(x_0,y_0)\)與\(f_y(x_0,y_0)\)都存在B.\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)C.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)）D.\(f_x(x,y)\)與\(f_y(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)的某鄰域內(nèi)連續(xù)5.下列曲線中，是二次曲線的有（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線6.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，正確的有（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}(v\neq0)\)D.\((c)^\prime=0\)（\(c\)為常數(shù)）7.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)B.\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)D.\(\int_{0}^{2}e^xdx\)8.已知向量\(\vec{a}=(1,1,0)\)，\(\vec=(0,1,1)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=1\)B.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2}\)C.\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角的余弦值為\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec\)不平行9.對(duì)于隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，以下說(shuō)法正確的有（）A.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)B.若\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)D.\(P(X\leqa)=\int_{-\infty}^{a}f(x)dx\)（\(f(x)\)為\(X\)的概率密度函數(shù)）10.下列哪些屬于數(shù)學(xué)分析中的基本定理（）A.極限存在準(zhǔn)則B.羅爾定理C.拉格朗日中值定理D.格林公式三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處連續(xù)。（）2.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)。（）3.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）4.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得極小值。（）5.若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的數(shù)量積為\(0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量\(x\)的選取無(wú)關(guān)。（）7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)\(f_{xy}(x,y)\)與\(f_{yx}(x,y)\)一定相等。（）8.方程\(x^2+y^2=-1\)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解。（）9.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）10.正態(tài)分布是一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值點(diǎn)與極值。答案：對(duì)\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x\)，令\(y^\prime=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt2\)，\(y^\prime\gt0\)。所以極大值點(diǎn)為\(x=0\)，極大值\(y(0)=1\)；極小值點(diǎn)為\(x=2\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計(jì)算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案：先求\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^{}=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^{}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.求\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C\)。4.簡(jiǎn)述二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的定義。答案：如果函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的全增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)\)可表示為\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)不依賴(lài)于\(\Deltax\)、\(\Deltay\)，\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)，則稱(chēng)函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的極限與連續(xù)性。答案：化簡(jiǎn)\(f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1(x\neq1)\)。\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)，但\(f(1)\)無(wú)定義，所以函數(shù)在\(x=1\)處極限存在為\(2\)，但不連續(xù)。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)（\(p\gt0\)）的斂散性。答案：當(dāng)\(p\gt1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)\(0\ltp\leq1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，但\(\frac{1}{n^p}\)單調(diào)遞減且\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=0\)，由萊布尼茨判別法知原級(jí)數(shù)條件收斂。3.討論多元函數(shù)極值與最值的關(guān)系及求法差異。答案：極值是局部概念，最值是整體概念。求極值先求駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再用判別式判斷。求最值需在區(qū)域內(nèi)找極值點(diǎn)，還要考慮邊界上的值，通過(guò)比較這些值確定最值。4.討論概率論中期望與方差的意義及應(yīng)用場(chǎng)景。答案：期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平，方差衡量隨機(jī)變量取值的離散程度。期望用于預(yù)估平均結(jié)果，如預(yù)估收益；