《雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)》教學(xué)教案1VIP

4/4雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．能用對(duì)比的方法分析雙曲線(xiàn)的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)等幾何性質(zhì)2．掌握雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的概念和證明；3．明確雙曲線(xiàn)方程中的幾何意義；重、難點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)和漸近線(xiàn)。（一）復(fù)習(xí)：1．雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；2．橢圓的性質(zhì)；（二）新課講解：以雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為例進(jìn)行說(shuō)明。1．范圍：觀察雙曲線(xiàn)的草圖，可以直觀看出曲線(xiàn)在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線(xiàn)在兩條直線(xiàn)的外側(cè)。注意：從雙曲線(xiàn)的方程如何驗(yàn)證？從標(biāo)準(zhǔn)方程可知，由此雙曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式，即，即雙曲線(xiàn)在兩條直線(xiàn)的外側(cè)。2．對(duì)稱(chēng)性：雙曲線(xiàn)關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心叫做雙曲線(xiàn)的中心。3．頂點(diǎn)：雙曲線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)。在雙曲線(xiàn)的方程里，對(duì)稱(chēng)軸是軸，所以令得，因此雙曲線(xiàn)和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)。令，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線(xiàn)和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)。在作圖時(shí)，我們常常把虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)畫(huà)上（為要確定漸進(jìn)線(xiàn)），但要注意他們并非是雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)。4．漸近線(xiàn)：注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)即稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。從圖上看，雙曲線(xiàn)的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線(xiàn)逐漸接近。5．等軸雙曲線(xiàn)：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn)。定義式：2）等軸雙曲線(xiàn)的性質(zhì)：（1）漸近線(xiàn)方程為：；（2）漸近線(xiàn)互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線(xiàn)的特征，則等軸雙曲線(xiàn)可以設(shè)為：，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。（三）．例題分析：例1．求雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線(xiàn)方程。解：把方程化標(biāo)準(zhǔn)方程：，由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)；，焦點(diǎn)的坐標(biāo)是漸近線(xiàn)方程為，即。例2．雙曲線(xiàn)型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如下左圖），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線(xiàn)的方程（精確到）。解：如圖（上右圖），建立坐標(biāo)系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點(diǎn)重合；這時(shí)，上、下口的直徑平行于軸，且，；設(shè)曲線(xiàn)的方程為：令點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以化簡(jiǎn)，得解得∴所求雙曲線(xiàn)的方程為：。例3．求與雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程。解：∵與雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)故設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為又∵過(guò)點(diǎn)∴∴所求雙曲線(xiàn)的方程為即。補(bǔ)充：求與雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程。（四）．課堂小結(jié)：方程（）（）圖象關(guān)系范