概率論與數(shù)理統(tǒng)計 課件 4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）4.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第4章數(shù)字特征與極限定理2前面我們介紹了一維隨機變量的數(shù)學期望和方差,對于二維隨機變量,除每個分量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系,我們現(xiàn)在要討論的就是反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第3講

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)04隨機變量的矩本講內(nèi)容稱為X,Y的協(xié)方差.記為若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的記為協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念4??定義01

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系,但它還受X與Y本身度量單位的影響.5??解釋為了克服這一缺點,對協(xié)方差進行標準化,從而引入了相關(guān)系數(shù)的概念.01

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)04隨機變量的矩本講內(nèi)容cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì),可得cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)即=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)計算協(xié)方差的簡單公式702

協(xié)方差的計算的聯(lián)合分布律為設(shè)保險公司對投保人的汽車保險和財產(chǎn)保險分別設(shè)定了免賠額(單位：元),現(xiàn)任選一位同時投保汽車保險和財產(chǎn)保險的客戶,X表示其汽車保單的免賠額,Y表示其財產(chǎn)保單的免賠額,隨機變量

YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y),8??例102

協(xié)方差的計算

YX

01002001000.20.10.20.52500.050.150.30.50.250.250.5902

協(xié)方差的計算1002

協(xié)方差的計算11解設(shè)隨機變量（X,Y）在區(qū)域上服從均勻分布，求??例2因為區(qū)域D的面積為所以(X,Y)的概率密度為則02

協(xié)方差的計算12同理故02

協(xié)方差的計算設(shè)(X,Y)~N(

1,

2;

12,

22;

)利用二維正態(tài)分布及協(xié)方差相關(guān)系數(shù)的計算公式可得二維正態(tài)分布的數(shù)字特征1302

協(xié)方差的計算01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)04隨機變量的矩本講內(nèi)容存在常數(shù)a,b(a≠0),使P(Y=aX+b)=1,即X和Y以概率1線性相關(guān)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1503

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)若稱X,Y不相關(guān).顯然,若X與Y獨立,

cov(X,Y)=0,反之,X與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示沒有關(guān)系！顯然是不相互獨立的X,Y不相關(guān)16??例303

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)因為若X~N(0,1)且Y=X2,問X與Y是否不相關(guān)？是否相互獨立？17解??例4因為X~N(0,1),密度函數(shù)為偶函數(shù),于是由得這說明X與Y是不相關(guān)的,但Y=X2顯然,X與Y是不相互獨立的.所以03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)相關(guān)系數(shù)含義及重要結(jié)論1803

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)19解??例503

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)已知求由方差、協(xié)方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)定義利用性質(zhì)簡化計算

因為X與Y相互獨立,所以則由協(xié)方差的性質(zhì)設(shè)隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布思考：還有其他方法嗎？20解??例6已知其中a,

b為常數(shù),求U和V的相關(guān)系數(shù)03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

2103

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)04隨機變量的矩本講內(nèi)容

2304

隨機變量的矩矩——X的k

階原點矩——X的k

階中心矩——X,Y的k+l

階混合原點矩——X,Y的k+l

階混合中心矩拓展例題本講內(nèi)容設(shè)離散型隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為

YX-10100.070.180.1510.080.320.20求X與Y的相關(guān)系數(shù)25??例102

協(xié)方差的計算由于解2602

協(xié)方差的計算從而X與Y的相關(guān)系數(shù)設(shè)隨機變量（X,Y）具有概率密度27??例2其他求02

協(xié)方差的計算28其他02

協(xié)方差的計算29解設(shè)X,與Y為兩隨機變量,且已知求:??例3的數(shù)學期望;02

協(xié)方差的計算（2）（3）的方差.（1）(1)(2)3002

協(xié)方差的計算(3)31解

習題課??例4設(shè)隨機變量

服從區(qū)間

上的均勻分布，令

，求利用性質(zhì)簡化計算將一枚硬幣重復擲??次,X與Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X與Y的相關(guān)系數(shù)等于32解??例5所以所以03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)33證明設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度證明:??例603

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（2）X與Y