第八章 立體幾何初步 單元測試（含解析）-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第八章立體幾何初步單元測試一、單選題1．如果空間兩條直線互相垂直，那么它們可能是（

）A．相交直線 B．異面直線C．平行直線 D．相交或異面直線2．已知空間中兩條不重合的直線，則“與沒有公共點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列說法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形B．以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺D．空間中，到一個定點的距離等于定長的點的集合是球4．A，B，C為空間三點，經(jīng)過這三點()A．能確定一個平面B．能確定無數(shù)個平面C．能確定一個或無數(shù)個平面D．能確定一個平面或不能確定平面5．如果直線，與平面滿足，那么必有（

）A．和 B．和C．且 D．和6．下列命題正確的是（

）A．與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直的直線與該平面垂直B．過直線外一點可以作無數(shù)條直線與該直線平行C．正四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心恰好重合D．各面都是等腰三角形的三棱錐一定是正三棱錐7．一個透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正方體，則水面在容器中的形狀可以是：①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形.其中正確的結(jié)論是（

）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④8．如果，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=A．8 B．9 C．10 D．11二、多選題9．下列關(guān)于圓柱的說法中，正確的是（

）（多選）A．分別以矩形（非正方形）的長和寬所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的兩個圓柱是兩個不同的圓柱B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面C．用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面D．以矩形的一組對邊中點的連線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的面所圍成的幾何體是圓柱10．設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．如圖為正方體，下列說法中正確的是（

）A．三棱錐為正四面體B．與互為異面直線且所成的角為C．與互為異面直線且所成的角為D．與互為異面直線且所成的角為三、填空題12．稱過圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，已知圓柱的軸截面是正方形，且面積為，則圓柱的母線長為，底面面積為.13．若一個圓柱的軸截面是面積為的正方形，則該圓柱的表面積為．14．將底面直徑為8，高為的圓錐體石塊打磨成一個圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為.四、解答題15．我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面呢？你能從生活中的哪些例子中找到啟發(fā)？16．用斜二測畫法畫一個棱長為3cm的正方體的直觀圖.17．如圖，在三棱錐中，，，M，N分別是AD，BC的中點．求異面直線AN，CM所成角的余弦值．18．如圖，在長方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，DC的中點，．求證：(1)平面；(2)平面平面．19．求證：如果兩條行直線中的一條線垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.《第八章立體幾何初步單元測試》參考答案題號12345678910答案DBADACBAABDABD題號11答案ACD1．D【分析】根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系可得答案.【詳解】如果空間兩條直線互相垂直，那么它們可能是相交直線、異面直線，不可能是平行直線.故選：D.2．B【分析】由直線與沒有公共點表示兩條直線或者與是異面直線，再根據(jù)充分必要性判斷.【詳解】“直線與沒有公共點”表示兩條直線或者與是異面直線，所以“與沒有公共點”是“”的必要不充分條件.故選：B3．A【分析】對于A，根據(jù)棱柱的定義可判斷；對于B，以直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸；對于C，用垂直于底面的平面去截圓錐；對于D，由球的定義可判斷.【詳解】解：對于A，根據(jù)棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，得棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故A正確；對于B，以直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐，故B不正確；對于C，用垂直于底面的平面去截圓錐，得到的是不是一個圓錐和一個圓臺，故C不正確；對于D，空間中，到一個定點的距離等于定長的點的集合是球面，而不是球體，故D不正確，故選：A．4．D【分析】分類討論，A，B，C三點共線和A，B，C三點不共線分別判斷.【詳解】由于題設(shè)中并沒有指明這三點之間的位置關(guān)系，所以在應(yīng)用公理2時要注意條件“不共線的三點”．當(dāng)A，B，C三點共線時，經(jīng)過這三點就不能確定平面，當(dāng)A，B，C三點不共線時，經(jīng)過這三點就可以確定唯一一個平面．故答案為：D5．A【解析】利用線面平行和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】故選：A【點睛】本題考查了空間中的平行、垂直關(guān)系，考查了學(xué)生邏輯推理和空間想象能力，屬于中檔題.6．C【分析】由線面垂直的定義可判斷A；由平行公理可判斷B；證明正四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心恰好重合可判斷C；舉反例可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：與平面任意一條直線都垂直的直線與該平面垂直，故選項A不正確；對于B：過直線外一點可以作一數(shù)條直線與該直線平行，故選項B不正確；對于C：如圖為棱長為的正四面體，設(shè)的中心為，連接，則面，設(shè)正四面體外接球的球心為，則點在上，如圖，則，因為，所以四個小三棱錐，三棱錐、三棱錐、三棱錐、三棱錐全等，所以四個小三棱錐體積相等，因為四個等邊三角形作為底面且面積相等，所以點到四個面的距離相等，所以外接球的球心為也即是內(nèi)切球的球心，故選項C正確；對于D：如圖：三棱錐中，，，兩兩垂直且相等，則，可滿足各面都是等腰三角形，但不是正三棱錐，故選項D不正確，故選：C.7．B【解析】正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心，從而將問題轉(zhuǎn)化為過正方體中心，作正方體的截面問題.【詳解】因為正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心，過正方體的一條棱和中心可作截面，截面形狀可以是矩形，所以②是正確的；過正方體的一個面相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，所以④是正確的；過正方體的中心的平面截正方體得到的截面不可能是三角形和五邊形，故選：B.【點睛】本題考查在正方體中作截面問題、考查實踐操作能力、空間想象能力和運算求解能力，屬于中檔題.8．A【分析】因為過EF做垂直于CD（AB）的平面垂直平分CD，所以該平面與過AB中點并與AB垂直的平面平行，平面和正方體的4個側(cè)面相交，由于EF和正方體的側(cè)棱不平行，所以它與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.同理與CE相交的平面有4個，共8個，故選：A.考點：該題主要考查空間點、線、面的位置關(guān)系，考查空間直線與平面的平行與相交，考查空間想象能力和邏輯思維能力.【詳解】9．ABD【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，判斷正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征，可判斷正確，錯誤.【詳解】用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面不是圓面，如用垂直于圓柱底面的平面截圓柱，截面是矩形，故C錯誤，顯然A，B，D正確.故選:ABD.【點睛】本題考查圓柱的定義以及結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.10．ABD【解析】根據(jù)空間線、面關(guān)系，結(jié)合空間關(guān)系相關(guān)圖例以及線線、線面、面面間的平行、垂直判定與性質(zhì)，即可知選項的正誤.【詳解】A：，、不一定平行，錯誤.B：，n不一定垂直于，錯誤.C：由線面垂直的性質(zhì)：，則必有，正確.D：，m、n不一定平行，錯誤.故選：ABD11．ACD【分析】根據(jù)三棱錐各條棱相等即可判斷A；連接，可知與所成角即為與所成角，求出即可判斷B；可知即為與所成角，求出可判斷C；由平面可判斷D.【詳解】對于A，因為三棱錐的各條棱都是正方體表面正方形的對角線，即各條棱相等，故三棱錐為正四面體，故A正確；對于B，連接，可知在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，故異面直線與所成角為，故B錯誤；對于C，由圖可得與互為異面直線，連接，易得四邊形是平行四邊形，則，則即為所成角，由是等邊三角形可得，故C正確；對于D，由圖可知與互為異面直線，因為在正方體中，平面，且平面，故，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查異面直線的判斷和異面直線所成角的求解，屬于基礎(chǔ)題.12．2cm【分析】根據(jù)圓柱軸截面的性質(zhì)，結(jié)合正方形的面積公式，可得線段長，根據(jù)圓的面積公式，可得答案.【詳解】由正方形的面積公式，可得其邊長為，即圓柱的母線長為，且底面圓的直徑為，則面積為.故答案為：；13．【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，分別計算出底面積和側(cè)面積，即可出表面積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，因為，所以．所以．所以．故答案為：14．【解析】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐，設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，用r表示h，從而求出圓柱側(cè)面積的最大值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐；設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則，解得；所以；當(dāng)時，取得最大值為故答案為：.【點睛】本題考查了求圓柱側(cè)面積的最值，考查空間想象能力，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，屬于中檔題.15．答案見解析【詳解】不在同一條直線上的三點；三條腿的凳子比四條腿的凳子在凹凸不平的地面上更穩(wěn)定等.16．見解析【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，在空間直角坐標(biāo)系中畫出一個正方體的直觀圖，進而得到正方體的直觀圖，得到答案.【詳解】如圖所示：在空間直角坐標(biāo)系中畫出一個正方體的直觀圖，擦除坐標(biāo)軸，即可得到直方圖的直觀圖.

【點睛】題主要考查了空間幾何體的的直觀圖的畫法，其中解答中熟記斜二測畫法的規(guī)則，同時注意“一變兩不變”的原則是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.17．【分析】連結(jié)，取的中點，連結(jié)，推導(dǎo)出異面直線，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出結(jié)果．【詳解】連結(jié)，取的中點，連結(jié)，則，是異面直線，所成的角，，，，又，，，異面直線，所成的角的余弦值為．18．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)如圖，根據(jù)題意和中位線的性質(zhì)和長方體的特征可得四邊形是平行四邊形，，進而得出，利用線面平行的判定定理即可證明；(2)根據(jù)題意和中位線的性質(zhì)和長方體的特征可得四邊形CGFH是平行四邊形，，進而得出，結(jié)合(1)與面面平行的判定定理即可證明.【詳解】（1）如圖，取的中點H，分別連接FH，，因為F、H分別是的中點，所以且，在長方體中，E是的中點，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，所以平面；（2）因