山東省濟(jì)南市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)南市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.將化為弧度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選：C.2.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榧希瑒t，所以A錯(cuò)誤，B正確；空集是集合A的真子集，C錯(cuò)誤；集合A不是整數(shù)集的子集，D錯(cuò)誤.故選：B.3.“是第一象限角”是“是銳角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】B【解析】是銳角，則是第一象限角，但是第一象限角，不一定是銳角，如，故“是第一象限角”是“是銳角”的必要不充分條件.故選：B.4.下列函數(shù)在定義域上既是增函數(shù)又是奇函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋@然為增函數(shù)，且因可得函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，定義域?yàn)椋蚣床皇瞧婧瘮?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋以诿恳粋€(gè)區(qū)間上為增函數(shù)，但不能說(shuō)函數(shù)在定義域上遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因的定義域?yàn)?，函?shù)在上先增后減，在上先減后增，故不是定義域上的增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，則.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?故選：C.7.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為，即，顯然在有解，符合題意；，命題“”為真命題，當(dāng)時(shí)，對(duì)于拋物線，開(kāi)口向下，顯然在有解，符合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)于拋物線，開(kāi)口向上，只需，解得或，又，所以或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，即.故選：D.8.若函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由可得：，函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得：.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，且，若在上的最大值為，最小值為，且，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.2【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的值可以是或.故選：AC.10.若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，又，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，又，所以，C正確；對(duì)于D，由，得，則，則，D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)則（）A.B.不存在單調(diào)區(qū)間C.D.在定義域內(nèi)的任意區(qū)間上都不存在最大值【答案】ABD【解析】對(duì)于A，已知當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時(shí)，.對(duì)于，此時(shí)，，且和互質(zhì)，根據(jù)函數(shù)定義可得，所以選項(xiàng)A正確.對(duì)于B，若存在，是單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時(shí)，，是無(wú)理數(shù)，使得，故不是單調(diào)增區(qū)間；若是存在，是單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時(shí)，，是無(wú)理數(shù)，使得，故不是單調(diào)減區(qū)間；即不存在單調(diào)區(qū)間，所以選項(xiàng)B正確.對(duì)于C，分情況討論的值：當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)?shù)臒o(wú)理數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時(shí)，，若，情況不存在.若，，若時(shí)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，若為整數(shù)可寫成，則，不存在，使得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于D，在任意區(qū)間，存在最大值，則存在有理數(shù)（是互質(zhì)的正整數(shù)），在區(qū)間內(nèi)，總能找到形如（是互質(zhì)的正整數(shù)）的有理數(shù)，，所以不存在最大值.所以在定義域內(nèi)的任意區(qū)間上都不存在最大值，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則.13.已知冪函數(shù)．給定條件：①且；②．寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②條件的函數(shù)解析式______．【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇數(shù)，是偶數(shù)）【解析】?jī)绾瘮?shù)，對(duì)于條件①是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，而條件②說(shuō)明函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減。又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，對(duì)于冪函數(shù)，若（互質(zhì)），當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，若寫出具體函數(shù)解析式，可以令（滿足，是奇數(shù)，是偶數(shù)），此時(shí)冪函數(shù)，對(duì)于，滿足②.對(duì)求導(dǎo)，，在時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以滿足①，所以答案為：.14.函數(shù)所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____．【答案】2【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)的圖象關(guān)于直線，當(dāng)時(shí)，，令，任取，，由，得，則，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，由對(duì)稱性知，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)所有零點(diǎn)之和為2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合．（1）求，；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)榛颍?，所?（2）因，由，可得，則，所以，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.已知函數(shù)的最小正周期為．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填大了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：（1）請(qǐng)?jiān)谏媳硌a(bǔ)充完整數(shù)據(jù)，并直接寫出實(shí)數(shù)的值．（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．若，求的值域．解：（1）由題意，則，完善表格如下：（2）由題意可知，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以的值域?yàn)椋?7.已知某企業(yè)生產(chǎn)某種設(shè)備的最大產(chǎn)能為70臺(tái)，每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為80萬(wàn)元．記該企業(yè)生產(chǎn)臺(tái)設(shè)備需要投入的總成本為（單位：萬(wàn)元），且假設(shè)生產(chǎn)的設(shè)備全部都能售完．（1）求利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的函數(shù)解析式，并求該企業(yè)生產(chǎn)20臺(tái)設(shè)備時(shí)的利潤(rùn)（利潤(rùn)銷售額-成本）；（2）當(dāng)生產(chǎn)多少臺(tái)該設(shè)備時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，當(dāng)臺(tái)時(shí)，萬(wàn)元，所以該企業(yè)生產(chǎn)20臺(tái)該設(shè)備時(shí)，所獲利潤(rùn)為400萬(wàn)元．（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)臺(tái)時(shí)，取得最大值，最大值為500萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)臺(tái)時(shí)，取得最大值，最大值為820萬(wàn)元；因?yàn)椋援?dāng)生產(chǎn)60臺(tái)該設(shè)備時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為820萬(wàn)元．18.已知函數(shù)．（1）解關(guān)于的方程：；（2）記函數(shù)．（ⅰ）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（ⅱ）若，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因，由，可得，又，則有，解得（不合題意，舍去）或，故原方程的解為．（2）（?。┰趩握{(diào)遞減.證明如下：，且，所以，因，則有，故有，可得，即，故在單調(diào)遞減．（ⅱ）若，都有，則有，由（?。┛傻茫趩握{(diào)遞減，則，所以，即，故可得．即使得成立，所以，即求在的最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，，故得，即的取值范圍為．19.是定義在上的函數(shù)．若滿足，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”．已知函數(shù)．（1）求的“不動(dòng)點(diǎn)”；（2）記．若，則稱為的一個(gè)周期，為的一個(gè)“周期點(diǎn)”．若是的“周期點(diǎn)”，那么的所有周期中的最小值稱為的最小周期．如果的最小周期是，則稱是的一個(gè)“-周期點(diǎn)”．特殊的，的“1-周期點(diǎn)”即為的“不動(dòng)點(diǎn)”．（?。┡袛嗟摹爸芷邳c(diǎn)”個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（ⅱ）若．證明：當(dāng)時(shí)，不存在“周期點(diǎn)”．解：（1）由題意，解得．故的不動(dòng)點(diǎn)為.（2）（ⅰ）的“2-周期點(diǎn)”共有0個(gè)．理由如下：，故，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)