學(xué)高中數(shù)學(xué)數(shù)列放縮專題用放縮法處理數(shù)列和不等問題

數(shù)列和不等問題(老師版)

一.先求和后放縮(主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理)

例1.正數(shù)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和s“，滿意2底=凡+1,試求：

(1)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a數(shù)列氏｝的前〃項(xiàng)的和為求證：Bn<\

a/z2

解：(1)由已知得4s“已刈十1尸，幾之2時(shí),4s+1八作差得:

4a/t=a-+2afl-a\_x-2a,所以(a〃+4-)(4〃---2)=0,又因?yàn)椋ā埃秊檎龜?shù)數(shù)列，所以

%-j=2,即｛/｝是公差為2的等差數(shù)列，由返=q+l,得卬=1,所以凡=2〃-1

(2)",=」=:所以

citlan+i(2〃-1)(2〃+1)22n-12n+1

111111、111

Dn=-(1+-----,-----------)=----------<-

“23352n-\2〃+122(2/?+1)2

真題演練1：(。6全國1卷理科22題)設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)的和,1=3「92向+|,

n=1,2,3,

na

(I)求首項(xiàng)力與通項(xiàng)％；(D)設(shè)7；=?，〃=1,2,3,一，證明：工工4.

S〃r=l2

412412

解：⑴由Sn=wan-￡X2"i+q,n=l,2,3,…，①得a[=Si=[ai-qx4+司所以ai=2.

412

n

再由①有Sn_1=-an_i--x2+-n=2,3,4,…

41

n+1n

將①和②相減得：an=Sn-Sn_1=-(an-an_1)--X(2-2),n=2,3,…

nn1

整理得:an+2=4(an_1+2-),n=2,3,-,因而數(shù)列｛2廣2號(hào)是首項(xiàng)為al+2=4,公比為4的等

比數(shù)列，即：a0+2n=4x4-1=比n=l,2,3,…，因而2產(chǎn)”-2>n=l,2,3,…，

4121

(D)將a『4n—2n代入①得S=-X(4n-2n)--X2n+1+-=-X(2n+1-l)(2n+1-2)

n00O0

2

=-X(2n+1-l)(2n-l)

o

_22_32n________3]]

Tn==2X(2n+1-l)(2n-l)=2X(2n-l―2n+1-?

3“1131-J—)v]

=X1

所以，2(二5E(不二72i+1—1)2^2-1/,+l

1=1/,=1/12-12

二.先放縮再求和

1.放縮后成等比數(shù)列，再求和

例2.等比數(shù)列｛4｝中，“=-；,前A項(xiàng)的和為S“，且S,aa成等差數(shù)列.

2]

設(shè)a=A，數(shù)列h｝前八項(xiàng)的和為證明：

1一〃”3

解：?「兒一4=《+%,人一人=一/,4+卬=一/,?二公比夕&=」

42

1

a=/(—1”)?b人=------4-"------=---------1--------<」-----1---

〃2“1-(」)“4“-(-2)〃-3.2"

2

(利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的模擬公式S.=Aq：A猜想)

11?」.如Ml%

?二紇=A+b2+…b”<----+------+…+)<

3-23"323.I3Fr

1------

2

真題演練2:(06福建卷理科22題)已知數(shù)列｛a,,｝滿意％=1,凡討=2%+1(〃eN*).

(D求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛2｝滿足4小中，43=(4+1盧(〃￡川)，證明：數(shù)列也,｝是等差數(shù)列;

(H)證明：巴一?。肩?".

23%%%2

⑴解：?.%=2a〃+l(〃eN"),

.《川+1=2(凡+1),.?.{%+1}是以4+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

+1=2”.即凡=22—1(〃cN)

(II)證法一：?.,4343二43|=(%+1盧.

4g+e+…+仆"_’的

23+“+…+bfl)-n]=nb“.①

2@+。+...+bn+"+])-(〃+1)]=(〃+1)包+「②

②一①,得2也+]-1)=(〃+1地向-也,

即(〃_1)a+1—〃a+2=0,nbn+2-(n+l)/?n+1+2=0.

③一④,得叫+2-2電?+nbn=0,

即%-2%+a=0,.?吃+2-%="+「"(〃GN，),:.也”｝是等差數(shù)列。

(III)證明：&二:*…

磯2-12(2*--)2

...-%---十--%---十.■■十,---%-----<J—.

%%%2

2^_1__^11___!1>1_11,

2k+[-1=22(2*+|-1)=23.2*+2"-2-232'=12

a.a,%、〃1,111n11n1

二.—+---F...+-----N-------(—F-r-----)x=-------Z(1

2

a26—23222”232”23

n1a.a、an.八外

-------<—+^+...+—n12-<—(neN).

23a2a3an+l2

2,放縮后為“差比”數(shù)列，再求和

例3.已知數(shù)列｛〃”｝滿意：?|=1,。向=(1+/■)〃〃(〃=1,2,3…).求證：an+i>an>3

證明：因?yàn)??！?1=(1+9)%,所以%+i與%同號(hào)，又因?yàn)?=1>0,所以?！?gt;0,

乙

即為…=白”>0,即。用>4.所以數(shù)列｛〃“｝為遞增數(shù)列，所以%N一=1,

4

即。〃+1-?！?弓■〃〃,累加得：an~a\-^+^+，，，+n-\

17T

A?12,7—1rjilni1o]2

令S“=]+聲+.一+k，=—+—+,兩式相減得:

2"

"+1+'?+-1n-\，所以S“=2-$匕Jt、l、C〃+1

所以。，々3-尹

2n222232n-l2〃

故得-〉%之3-貴

3.放縮后成等差數(shù)列，再求和

例4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列a｝的前〃項(xiàng)和為且d+%=2S〃.

⑴求證：;

4

⑵求證：-^=-<+\[^2+…+寶?

解：⑴在條件中，令〃=1,得4：+4=2S1=24，?.?《>0.?.4=1,又由條件

另+6=25“有。3+%+產(chǎn)23向,上述兩式相減，留意到。2=5；川-臬得

(%+1+%)(/+】一%一1)二°二％>。?.?“|+4>°

所以，=1+1X(?-1)=/?,sr=坐斗

〃(〃+1)<L〃2+5+1)2二%2

所以S”

F22―V

(2)因?yàn)椤╲+<〃+1,所以七,所以

23〃+1

+4^2+…V^n'=飛+WF

n~4-37?_S^-112nn(n+1)S

n店+向+…向>

2^/2-V27T7T…+7TFr=7T

練習(xí)：

1a

1.(。8南京一模22題)設(shè)函數(shù)/(幻=；/+云—J,已知不論心?為何實(shí)數(shù)，恒有

44

/(cosa)WO且/(2-sin0AO.對(duì)于正數(shù)列｛%｝,其前n項(xiàng)和S,=/(*,QZEN').

(I)求實(shí)數(shù)b的值；(II)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(DI)若后=￡,〃￡乂，且數(shù)列｛c“｝的前n項(xiàng)和為7；,試比較7；和:的大小并證明之.

解：(1)/，=；(利用函數(shù)值域夾逼性)；(II)%=2〃+1;

(IH)C=---!——-<-f----------],T=C.4-C9+C,+3.+c<——---!—<—

"(2〃+2)22(2〃+12n+3)n123"2(32n+3j6

2.(04全國)已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S”滿意：S〃=2%+(-l)〃，n>l

(1)寫出數(shù)列｛明｝的前三項(xiàng)J,%，%；(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

7

++<

(3)證明：對(duì)隨意的整數(shù)〃空4,8-

分析：⑴由遞推公式易求：團(tuán)=1,念=0,/=2;

⑵由已知得：4=S“—S"T=2〃“+（—1）〃—24L「（-1嚴(yán)（n>l）

化簡得:4=2%2(-1嚴(yán)

^-=-2J-2,帚+*1反+6

（一D"（-D

故數(shù)列｛三；是以-弓+3為首項(xiàng)，公比為-2的等比數(shù)列.

(一1)33

故為+9(-：)(-2尸.?.〃”=沿-2_(_］力

JJJ

7

??.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：=-[2M-2-(-lf].

⑶視察要證的不等式，左邊很困難，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能

夠求和。而左邊='+'+??+,=，4+4+…+1/八3,假如我們把上式中的分

%生q”22--12+1T-(-1)

母中的士1去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交織出現(xiàn)，簡單想到將

式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知：一[+-[>]+!，

22-123\12“23

4+因此，可將工保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。

2+124-12-242--1

這里須要對(duì)加進(jìn)行分類探討，(1)當(dāng)〃，為偶數(shù)⑺>4)時(shí)，

*&C1,?aA&GAa,?_ta,.,

224

137

<—+-

288

(2)當(dāng)〃2是奇數(shù)?！?gt;4)時(shí)，加+1為偶數(shù),

所以對(duì)隨意整數(shù),”4,有出+"4

本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

3.(07武漢市模擬)定義數(shù)列如下：q=2，磯=/2_/+I”N*

求證：(1)對(duì)于〃￡N?恒有J〉/成立；(2)當(dāng)〃>2且〃wN*,有4+1+1

成立；

乙c??

分析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法易證。

2

(2)由6f?+I=an-an+1得：an+}-\=an(an-1)/.an-\=an_}(a?_}-1)

.....a2—a](a1—1)

以上各式兩邊分別相乘得:an+i-1=anan_x???a2a1(a,-1),又％=2

(3)要證不等式1-』<，+'+???+—匚<1,

2~皿4k喂6

可先設(shè)法求和：-+—+再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

a1〃)加公

7=i--2—<i又。?！?gt;Y006=2^

1———>1-冊(cè)???原不等式得證。

lu2"2006

本題的關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。

數(shù)列和不等問題（學(xué)生版）

一.先求和后放縮（主要是先裂項(xiàng)求和，再放縮處理）

例1.正數(shù)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的和s“，滿意2底=%+1,試求:

（1）數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)勿=,，數(shù)列阮｝的前〃項(xiàng)的和為乩，求證：乩

凡應(yīng)力2

真題演練1：（06全國1卷理科22題）設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)的和,5.=//白2向+：,

JJJ

n=123,i

（I）求首項(xiàng)可與通項(xiàng)4；（n）設(shè)〃=1,2,3L,證明：

3“I=I2

二.先放縮再求和

1.放縮后成等比數(shù)列，再求和

例2.等比數(shù)列｛4｝中，4=彳，前方項(xiàng)的和為s“，且S7S)㈤成等差數(shù)列.

設(shè)“三，數(shù)列也｝前八項(xiàng)的和為小證明：/；4

真題演練2:(06福建卷理科22題)已知數(shù)列｛〃〃｝滿意叼=1,《川=2q+1(〃wN").

(D求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列h｝滿足心一=(%+1盧證明：數(shù)列也,｝是等差數(shù)列;

(H)證明：巴一,<幺+"+...+4<X(〃GN").