《構(gòu)造全等三角形的七種常用方法》專題課件VIP

專題第十三章全等三角形構(gòu)造全等三角形的七種常用方法典例剖析例如圖，已知AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點E在AD上．求證：BC＝AB＋CD.證明：如圖，在BC上取一點F，使BF＝BA，連結(jié)EF.∵CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.在△ABE和△FBE中，BA＝BF，∠1＝∠2，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE(S.A.S.)．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.在△EFC和△EDC中，∠6＝∠D，∠3＝∠4，EC＝EC，∴△EFC≌△EDC(A.A.S.)．∴FC＝DC.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.解題秘方：證明線段的和差問題，常采用截長補短法，把兩條較短線段中的一條補到另一條線段上，或把較長的線段截成兩條線段，構(gòu)造全等三角形來解決．如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD⊥BE，垂足為D.求證：∠2＝∠1＋∠C.分類訓練1．解：如圖，延長AD交BC于點F.(相當于將AB邊向下翻折，A點落在F點處，折痕為BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠ADB＝∠FDB，∴△ABD≌△FBD(A.S.A.)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC的中點，CF⊥AD于點E，交AB于點F，連結(jié)DF.求證：∠ADC＝∠BDF.2．證明：如圖，過點B作BG⊥BC交CF的延長線于點G，則∠CBG＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∠1＝∠2，AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(A.S.A.)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵D為BC的中點，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠DBF＝45°.又∵∠DBG＝90°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，BD＝BG，∠DBF＝∠GBF，BF＝BF，∴△BDF≌△BGF(S.A.S.)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.【點方法】本題運用了補形法，通過作輔助線將△CBF補成△CBG是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為CD邊上一點，BE＋DF＝EF.求∠EAF的度數(shù)．解：如圖，延長CB到點H，使得BH＝DF，連結(jié)AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠ABH＝90°＝∠D.在△ABH和△ADF中，AB＝AD，∠ABH＝∠D，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF(S.A.S.)．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，BH＝DF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，AH＝AF，AE＝AE，EH＝EF，∴△AEH≌△AEF(S.S.S.)．∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝12∠HAF＝45°.【點方法】圖中所作輔助線，相當于將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，使AD邊與AB邊重合，得到△ABH.4．如圖，在△ABC中，D為BC的中點．(1)求證：AB＋AC>2AD；證明：如圖，延長AD至點E，使DE＝AD，連結(jié)BE.∵D為BC的中點，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(S.A.S.)．∴AC＝EB.∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.(2)若AB＝6，AC＝2，求AD的取值范圍．解：∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC.∵AB＝6，AC＝2，∴4<2AD<8，即2<AD<4.【點方法】本題運用倍長中線法構(gòu)造全等三角形，將證明不等關(guān)系和求線段取值范圍的問題通過證全等，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，利用三角形的三邊關(guān)系來解決．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．解：EF＝BE＋FD.理由如下：如圖，延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG.∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG(S.A.S.)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°.∴∠DAG＋∠FAD＝60°，即∠GAF＝60°.∴∠EAF＝∠GAF.在△EAF和△GAF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF，∴△EAF≌△GAF(S.A.S.)．∴EF＝GF＝FD＋DG.∴EF＝FD＋BE.如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA，OB相交于點C，D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．6．解：PC＝PD.理由如下：如圖，過點P分別作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為點E，F(xiàn).∵OM平分∠AOB，∴PE＝PF.又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF＝90°，即∠EPC＋∠CPF＝90°.又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF＋∠FPD＝90°.∴∠EPC＝∠FPD.在△PCE和△PDF中，∠PEC＝∠PFD＝90°，PE＝PF，∠EPC＝∠FPD，∴△PCE≌△PDF(A.S.A.)．∴PC＝PD.如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于點P，BQ平分∠ABC交AC于點Q.求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.7．證明：∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠CBQ＝12∠ABC＝12×80°＝40°.

∴∠CBQ＝∠C.∴BQ＝CQ.∴BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC.①如圖，過點P作PD∥BQ交CQ于點D.則∠CPD＝∠CBQ＝40°，∴∠CPD＝∠C＝40°.∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋∠C＝40°＋40°＝80°.又∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠A