專題08導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線問題）（教師版）

專題8導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線問題）1、切線的定義：在曲線的某點A附近取點B，并使B沿曲線不斷接近A.這樣直線AB的極限位置就是曲線在點A的切線.（1）此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為一個動態(tài)的過程，讓切點A附近的點向不斷接近，當與距離非常小時，觀察直線是否穩(wěn)定在一個位置上.（2）判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點的個數(shù)來判定。例如函數(shù)在處的切線，與曲線有兩個公共點.（3）在定義中，點不斷接近包含兩個方向，點右邊的點向左接近，左邊的點向右接近，只有無論從哪個方向接近，直線的極限位置唯一時，這個極限位置才能夠成為在點處的切線。對于一個函數(shù)，并不能保證在每一個點處均有切線。例如在處，通過觀察圖像可知，當左邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為，而當右邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為，兩個不同的方向極限位置不相同，故在處不含切線.（4）由于點沿函數(shù)曲線不斷向接近，所以若在處有切線，那么必須在點及其附近有定義（包括左邊與右邊）2、函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3、從導(dǎo)數(shù)的幾何意義中可通過數(shù)形結(jié)合解釋幾類不含導(dǎo)數(shù)的點：（1）函數(shù)的邊界點：此類點左側(cè)（或右側(cè)）的點不在定義域中，從而某一側(cè)不含割線，也就無從談起極限位置.故切線不存在，導(dǎo)數(shù)不存在；與此類似還有分段函數(shù)如果不連續(xù)，則斷開處的邊界值也不存在導(dǎo)數(shù).（2）已知點與左右附近點的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導(dǎo)數(shù).例如前面例子在處不存在導(dǎo)數(shù).此類情況多出現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間變化的分界處，判斷時只需選點向已知點左右靠近，觀察極限位置是否相同即可.（3）若在已知點處存在切線，但切線垂直軸，則其斜率不存在，在該點處導(dǎo)數(shù)也不存在.例如：在處不可導(dǎo).綜上所述：（1）（3）所談的點均不存在導(dǎo)數(shù)，而（1）（2）所談的點不存在切線，（3）中的點存在切線，但沒有導(dǎo)數(shù).由此可見：某點有導(dǎo)數(shù)則必有切線，有切線則未必有導(dǎo)數(shù).重難點題型突破1在某點的切線方程例1．（1）、（2014·全國·高考真題（理））曲線在點（1,1）處切線的斜率等于（

）.A． B． C．2 D．1【答案】C【詳解】試題分析：由，得，故，故切線的斜率為，故選C.考點：導(dǎo)數(shù)的集合意義.（2）、（2021·全國高三月考（文））函數(shù)的圖象在處的切線方程為___________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求在處的切線方程即可.【詳解】，，可得，又，在處的切線方程為，即.故答案為：【變式訓練11】．（2020·河南省實驗中學高三二測）已知函數(shù)，若函數(shù)在處的切線方程為，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵，∴，解得，∴，∴.故選：B。【變式訓練12】．（2020屆四川省成都市高三第二次診斷）曲線在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知，，故切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選D?！咀兪接柧?3】．（2020屆安徽省“江南十校”高三綜合素質(zhì)檢測）已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為___________.【答案】【解析】因為，所以，又故切線方程為，整理為。重難點題型突破2過某點的切線方程例2．（1）、（2022·河南省淮陽中學模擬預(yù)測（理））已知，過原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點坐標為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線方程，代入坐標原點可構(gòu)造方程求得.【詳解】由得：；設(shè)切點坐標為，，則切線方程為：，切線過原點，，解得：，即切點橫坐標為.故選：C.（2）、（2022·全國高三專題練習）已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則（）A． B． C．e2 D．【答案】C【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線為，設(shè)的切點為，從而得到，代入切線得到切點為，再代入即可得到答案.【詳解】，，所以切點.，，切線，即.設(shè)的切點為，，，所以.將代入切線得：，的切點為，將代入得：，解得.故選：C【變式訓練21】．（2020·銅梁中學校高三期中）已知過點可作兩條不同的直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點坐標為，求出切線的方程，將點的坐標代入切線方程得出關(guān)于的二次方程由兩個不等的實根，可得出，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點坐標為，對函數(shù)求導(dǎo)得，切線斜率為，切線在點處的切線方程為，將點的坐標代入切線方程可得，化簡可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程由兩個不等的實根，則，解得或.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用過點引切線的條數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于將切線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為切點的個數(shù)問題，進而等價轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題求解.【變式訓練22】．（2016·四川·高考真題（文））設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)=圖象上點P1，P-2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即．分別令得又與的交點為，故選A．考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.兩直線垂直關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.三角形面積取值范圍.重難點題型突破3綜合問題例3．（1）、（2021·廣東實驗中學附屬天河學校）已知k為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于x的函數(shù)有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍為________.【答案】【分析】將x的函數(shù)有4個零點，轉(zhuǎn)化為與有4個不同的交點，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因為函數(shù)有4個零點，所以與有4個不同的交點，在同一坐標系中作出與的圖象，如圖所示：當時，單調(diào)遞減，與有一個交點，則；所以當時，有3個交點，求出與相切時的k值，當時，設(shè)切點為，所以，則，所以切線方程為，又因為點在切線上，所以則，解得，所以，由圖像知有4個零點，則，故答案為：【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)問題：若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2）．（2021·江西臨川一中高二月考（理））已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，若數(shù)列的前項和為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項公式，進而由數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求和即可．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行，由求導(dǎo)得：，由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得：，可得，∴，所以，∴數(shù)列的通項為，所以數(shù)列的前項的和即為，則利用裂項相消法可以得到：所以數(shù)列的前2021項的和為：.故選：A.【變式訓練31】．（2021·全國）已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與恰有兩個不同的交點的問題；分別在、和三種情況下，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可確定切線方程，由數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】恰有個零點等價于與恰有兩個不同的交點；由解析式可得圖象如下圖所示：①當時，與恰有兩個不同交點，符合題意；②當時，，設(shè)直線與相切于點，，，又，，解得：，此時，解得：；由圖象可知：當且僅當時，與恰有兩個不同交點；③當時，，設(shè)直線與相切于點，，，解得：；由圖象可知：當時，與恰有兩個不同交點，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【變式訓練32】．（2013·全國·高考真題（文））已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知直線介于與軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.

由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點的直線，當直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導(dǎo)數(shù)可得，因為，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D【點睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校模擬預(yù)測）若直線是曲線與的公切線，則（

）A． B．1 C． D．2022【答案】A【分析】設(shè)直線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，求出，，由點、點在切線上，得切線方程，聯(lián)立切線方程可得答案..【詳解】設(shè)直線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，又，，所以，，由點在切線上，得切線方程為；由點在切線上，得切線方程為，故，解得，故.故選：A.2．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】B【分析】設(shè)出切點，求出，，根據(jù)斜率列出方程，得到，，構(gòu)造，利用函數(shù)單調(diào)性和圖象特征，求出，從而求出答案.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點，直線與曲線相切于點，則，且，所以，，且，所以，令，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，，所以當時，，因為，，即，所以，所以，故故選：B【點睛】對于不知道切點的切線方程問題，要設(shè)出切點，再根據(jù)斜率列出方程，進行求解.3．（2022·廣東北江實驗學校模擬預(yù)測）曲線在橫坐標為1的點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】解：因為，所以，所以切線的斜率，又，所以切點坐標為，所以切線方程為，即，故選：D.4．（2022·江西·南昌十中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)有兩個極值點，則下列說法錯誤的是（）A．B．曲線在點處的切線可能與直線垂直C．D．【答案】B【分析】對于A,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，得到導(dǎo)數(shù)有兩個變號零點，從而可求參數(shù)的取值范圍，判斷A;對于B,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率，判斷B;對于C，由，即，利用整體代換思想得到，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到，判斷C;對于D，由，即，利用整體代換思想，結(jié)合換元法，構(gòu)造函數(shù)，即可判斷D.【詳解】對于A，由題意得，令，當時，，遞增，當時，，遞減，故，由題意知有兩個變號零點，故，即，故A正確；對于B，線在點處的切線的斜率為，該切線如果與垂直，則斜率為1，即，與矛盾，故B錯誤；對于C，由題意可知，即，則，由A項分析可知，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，故C正確；對于D，由題意知，，即，則，即，要整，只需證，即證，設(shè)，則只需證，令，，故是單調(diào)增函數(shù)，則，故成立，故D正確，故選：B【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義和零點問題以及證明不等式問題，綜合性較強，思維能力要求較高，解答的關(guān)鍵是D選項的判斷，要注意對等式的合理變式，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.5．（2014·全國·一模（文））已知，且，則實數(shù)a的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】求f(x)的導(dǎo)數(shù)，令x＝－1即可求出a．【詳解】∵，∴，，，．故選：D．6．（2022·江西·南昌市實驗中學一模（理））對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”．若函數(shù)的圖像恰好有2對“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有兩個交點，即有兩個根，根據(jù)圖象得到答案.【詳解】依題意，函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個根，即：，令，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；又在出的切線方程為，如圖，由圖可知，要使方程有兩個根，則或.故選：B.7．（2022·河南新鄉(xiāng)·三模（理））若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出的值，再利用點為曲線與直線的公共點可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，則，即切線方程為，所以，，解得.故選：A.8．（2021·榆林市第十中學高三月考（文））若直線與曲線相切，則直線的斜率的最大值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知直線的斜率即為，求出表達式，再利用基本不等式求最大值即可求解.【詳解】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本不等式的應(yīng)用．由可得因為，當且僅當即，時等號成立，所以，所以直線的斜率的最大值為，故選：C.9．（2021·南昌市豫章中學高三開學考試（文））點是曲線上的點，是直線上的點，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點，則兩平行線間的距離最小，求出最小值即可.【詳解】設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點，則兩平行線間的距離即為的最小值，因為，所以，解得，所以，即，所以曲線的切線為，由平行線間的距離公式可得的最小值為．故選：A．10．（2021·廣東汕尾·高二期末）若直線與曲線相切，則的值為（）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值為1求得切線點坐標（橫坐標），再由切線得縱坐標，代入函數(shù)式可得值．【詳解】由得，，即，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以方程有唯一解，在直線中，代入得，所以切點為，所以，．故選：D．11．（2021·全國（理））已知函數(shù)，且曲線點處的切線方程為，則實數(shù)和的值分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得，進而得到,，即可得到答案；【詳解】由已知可得，，，，，故選：B．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力.12．（2020·廣西（理））設(shè)直線，分別是函數(shù)，圖象上點，處的切線，且與垂直相交于點，，分別與軸相交于點A，，則的面積的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)切點，依題意得到和切線方程，再令得到點A，，，聯(lián)立直線得到P點橫坐標，即得，根據(jù)求得面積范圍即可.【詳解】設(shè)，當時，，；當時，，.的斜率為，，的斜率為，，由與垂直知，即，直線的方程為，即，則點，直線的方程為，即，由得，則點，所以，聯(lián)立直線方程，消去y得P點橫坐標，所以的面積，，因為對勾函數(shù)在是單調(diào)遞減的，取值范圍為，故，即.故選：A.【點睛】方法點睛：求曲線切線方程的一般步驟：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.13．（2021·安徽省舒城中學（理））已知函數(shù)，若方程有4個零點，則a的可能的值為（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先畫出函數(shù)圖象，由圖可知方程有4個零點，只需a小于在區(qū)間上的過坐標原點的切線的斜率即可，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的解析式可知，函數(shù)的圖象如下：要使方程有4個零點，則的圖象與直線有4個不同的交點，所以只需a小于在區(qū)間上的過坐標原點的切線的斜率即可.由，得，設(shè)切點坐標為，則切線方程為，又切線過，所以，解得，故此時切線的斜率為，故，結(jié)合選項知，選：A.故選：A【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解14．（2020·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學）已知函數(shù)若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件得直線與函數(shù)的圖象有四個交點，作出函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】函數(shù)有四個零點等價于方程有四個解，即直線與函數(shù)的圖象有四個交點，因為直線過定點，在同一直角坐標系中作出直線與函數(shù)的圖象，如下圖所示，當直線過原點時，；當直線與函數(shù)的圖象相切時，對函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)切點為，則，解得，，數(shù)形結(jié)合可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點，即函數(shù)有四個零點.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.15．（2020·河北高三（理））已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．或 B．或C． D．或【答案】D【分析】令，問題可轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根，通過圖象觀察可求出.【詳解】令，問題可轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根，即與有兩個交點，．作出圖象：設(shè)過原點的直線與的切點為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，切線斜率為，設(shè)與相切，則，，得，由圖可得實數(shù)k的取值范圍為或．故選:D．【點睛】本題考查函數(shù)零點問題，利用圖象的交點是解決此類問題的有效辦法，屬于中檔題.16．（2021·安徽高二月考（理））已知函數(shù)，，若直線與曲線及均相切，且切點相同，求公切線的方程為______．【答案】．【分析】由條件可知，求得切點后，再求切線方程.【詳解】設(shè)切點為，由，得解得，，故切線方程為，即．故答案為：17．（2021·山東煙臺市·高二期末）與有一條斜率為2的公切線，則____________.【答案】【分析】設(shè)上切點坐標為，的切點坐標為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，由兩切線方程相同且斜率為2可結(jié)論．【詳解】設(shè)圖象上切點坐標為，圖象上切點坐標為，，則，切線方程為，即，由得，切線方程為，，則，切線方程為，即，所以，解得．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，是函數(shù)圖象上一點時，函數(shù)圖象在點處的切線方程是，若是平面上任一點，則函數(shù)圖象過點的切線方程，應(yīng)設(shè)切點為，求出切線方程，利用切線過，代入點坐標求得，得出切線方程．18．（2021·河南許昌·（文））曲線在點處的切線方程為________________________．【答案】．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再求出（1）的值，利用直線方程的點斜式得答案．【詳解】由，得，（1），又（1），曲線在點，（1）處的切線方程為，即．故答案為：．【點睛】方法點睛：在函數(shù)上的點處的切線方程為，在解題時注意靈活運用.19．（2020·全國（理））已知曲線在點處與曲線在點處的切線相同，則______．【答案】【分析】求出兩切線的切線方程，由兩切線方程相同得斜率相等，縱截距相等可得的關(guān)系．【詳解】，則，切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即，由得，切線斜率為，所以曲線在點處的切線方程為，即，于是得，，則，所以，所以，得．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．求解本題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)已知得到（2）知道將中的等式進行相互代換，得到．20．（2020·全國（理））已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到的圖象和直線有4個交點，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【詳解】若關(guān)于的方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則的圖象和直線有4個交點．作出函數(shù)的圖象，如圖，故點在直線的下方．所以，解得.當直線和相切時，設(shè)切點橫坐標為，則，所以，此時，，的圖象和直線有3個交點，不滿足條件，故所求的的取值范圍是．故答案為：【點睛】本題主要考查由方程根的個數(shù)求參數(shù)的問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.21．（2020·河南洛陽·高二期末（理））已知函數(shù)，下面四個結(jié)論：①函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)；②對于任意的，都有；③有且僅有兩個零點；④若在點處的切線也是的切線，則必是的零點，其中所有正確的結(jié)論序號是________.【答案】②③④【分析】利用特殊值法可判斷①的正誤;推導(dǎo)出當時從而可判斷②的正誤；對函數(shù)，化簡得，定義域為，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷③的正誤;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，進而可判斷④的正誤.【詳解】，，所以，函數(shù)在其定義域上不是增函數(shù)，①錯；當時，，，則，②正確；函數(shù)，化簡得，定義域為，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，知函數(shù)在，單調(diào)遞增；即函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點所以，函數(shù)區(qū)間上有且僅有1個零點.因此，函數(shù)有且僅有兩個零點，③正確；在點處的切線的方程，即，又也是的切線,設(shè)切點為，則，即，則且，化簡得，則,則，故必是函數(shù)的零點，④正確；故答案為：②③④.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性、零點個數(shù)以及不等式的判斷，同時也考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力，屬于中等題.22．（2022·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)在處的切線與坐標軸圍成的面積為________.【答案】2【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在處的切線方程，求出切線與坐標軸的交點，即可求得答案.【詳解】由題意得，故，故在處的切線方程是，即，令，解得，令，解得，故三角形的面積為，故答案為:2．23．（2019·陜西·安康市教學研究室二模（理））奇函數(shù)的圖象在點處的切線方程為____________．【答案】【分析】利用奇函數(shù)的的性質(zhì)可求出，再由函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為切線的斜率求出切線的斜率，根據(jù)解析式再求出切點坐標，從而根據(jù)點斜式可求出切線方程.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴即，∴，又，故所求切線方程為，即．故答案為：．24．（2022·山東省北鎮(zhèn)中學模擬預(yù)測）曲線在點處的切線方程為________．（用一般式表示）【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以所求的切線方程為，即.故答案為：.25．（2022·江蘇·蘇州外國語學校模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，分析與的交點個數(shù)為3時實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意，函數(shù)有三個零點即有三個解，即與的交點個數(shù)為3.作出與的圖象，易得當時不成立，故.當時與必有一個交點，則當有2個交點.當時，因為恒過定點，此時與或有2個交點.①當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，.設(shè)切點，則，解得，此時切點，；又最高點為，故此時.故.②當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，，即，此時，即，解得，由圖可得，故.此時綜上故答案為：.26．（2022·廣東廣州·一模）若點P是曲線上一動點，則點P到直線的最小距離為________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出與直線平行且與曲線相切的直線，切點到直線的距離即為最小距離.【詳解】設(shè)，，設(shè)直線與曲線相切，切點為，且直線與直線平行，則有，得，，即如圖所示：此時到直線的距離最小，.故答案為：27．（2022·云南大理·模擬預(yù)測）過點作曲線的切線，則切線方程是__________．【答案】【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點坐標，求解，從而設(shè)出切線方程，代入點計算，即可求出答案.【詳解】函數(shù)定義域為，，設(shè)切點為，，所以切線方程為，代入，得，解得：，所以切線方程為，整理得：．故答案為：28．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學模擬預(yù)測（文））過平面內(nèi)一點作曲線兩條互相垂直的切線，，切點為，（，不重合），設(shè)直線，分別與y軸交于點A，B，則下列結(jié)論中正確的序號為______．①兩點的橫坐標之積為定值；②直線的斜率為定值；③線段AB的長度為定值；④三角形AB