福建省泉州市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/福建省泉州市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷一?單選題1.函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則a=（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出，即可得解.【詳解】，，故選：B.2.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】由求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為.故選：A3.已知方程有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求定義域，令得有兩個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到最值，結(jié)合函數(shù)圖象特征得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?，令得，即有兩個(gè)根，令，則，令，顯然單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的最大值為，當(dāng)時(shí)，恒陳立，當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于，故要想有兩個(gè)根，需滿足故選：A4.已知函數(shù)，下面表述不正確的為（）A.是的極小值點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】B【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，解得：或；令，解得：，所以函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，如下圖：對(duì)于選項(xiàng)A：觀察圖像可知，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，由，得，故，故選項(xiàng)D正確；故選：B5.若，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意可通過構(gòu)造函數(shù)且，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，即可比較得出各數(shù)的大小.【詳解】因?yàn)?，所以?gòu)造函數(shù)且，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；綜上可知，在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.又因?yàn)?，所以，可?故選：C.6.已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，其中.若在區(qū)間中存在唯一整數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出過點(diǎn)作曲線的兩條切線，把，代入兩條切線方程，得到①，②，所以可以把看成的兩個(gè)根，因?yàn)?，所以有，解出的取值范圍③，可以證明出，在區(qū)間中存在唯一整數(shù)，必須要滿足，解出的取值范圍，結(jié)合③，最后求出的取值范圍.【詳解】，切點(diǎn)為的切線的斜率為，所以切點(diǎn)為的切線方程為：，同理可求得切點(diǎn)為的切線方程為：，兩條切線過點(diǎn)，把，代入兩條切線方程得：①，②，所以可以把看成的兩個(gè)根，因?yàn)?，所以有③，即，因?yàn)?，所以，在區(qū)間中存在唯一整數(shù)必須滿足：，結(jié)合③，的取值范圍是.故選：C.7.已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍是A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】,且，所以函數(shù)為單調(diào)遞減的奇函數(shù)，因此即，選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)8.設(shè)數(shù)列滿足，且，若表示不超過的最大整數(shù)，則A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【正確答案】B【分析】數(shù)列滿足，且，即，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用累加求和方法可得，利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【詳解】數(shù)列滿足，且，即，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，，，，，故選B.本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，“累加法”的應(yīng)用，以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于難題.裂項(xiàng)相消法是最難把握求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.二?多選題9.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在的值域?yàn)镃.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D.關(guān)于的方程有2個(gè)不同的根當(dāng)且僅當(dāng)【正確答案】BC【分析】A通過判斷在上是否恒大于等于0可得選項(xiàng)正誤；B利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性，據(jù)此可得值域；C由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得在點(diǎn)處的切線；D將問題轉(zhuǎn)化為圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】對(duì)于A，，，則在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A分析，，則在上單調(diào)遞增，則，故函數(shù)在上的值域?yàn)?；?duì)于C，由題，，則點(diǎn)處的切線方程為，故C正確；對(duì)于D，即圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由上述分析可得大致圖象如下，則要使圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.若，則公差 B.若，則最小C. D.【正確答案】AD【分析】對(duì)于等差數(shù)列，最重要的是基本量，根據(jù)每一個(gè)選項(xiàng)的條件再結(jié)合基本量來分析，就可以作出判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故A正確；當(dāng)，時(shí)，滿足，無最小值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，，且滿足時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，，且滿足時(shí)，的符號(hào)無法確定，故C無法確定；，故D正確．故選：AD.11.已知的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的恒成立，則（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】構(gòu)造函數(shù)，由，可得單調(diào)遞增，進(jìn)而利用單調(diào)性求解即可.【詳解】，所以，，則設(shè)，，得，單調(diào)遞增，所以，必有，，則，，所以，A和B正確；故選：AB三?填空題12.名學(xué)生報(bào)名參加項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則報(bào)名方法的種數(shù)為______.【正確答案】【分析】每人都有種報(bào)名方法，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出報(bào)名方法種數(shù).【詳解】由題意可知，每名學(xué)生都有種報(bào)名方法，因此，名學(xué)生的報(bào)名方法的種數(shù)為.故答案為.本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為______.【正確答案】【分析】分別利用、在上恒成立求得取值范圍.【詳解】由題意得：若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立綜上所述：本題正確結(jié)果：本題考查已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍問題，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，可將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題的求解.14.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個(gè)解，則的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】令，根據(jù)圖象可知，等于常數(shù)的解最多只有3個(gè)，根據(jù)圖象性質(zhì)可知，等于常數(shù)的解最多只有2個(gè)，若有6個(gè)解，需要有3個(gè)解，有2個(gè)解，根據(jù)圖象先求出，再得出和中最小解之間的等式關(guān)系，而后結(jié)合的值域即可建立關(guān)于的不等式，最后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性即可解不等式，進(jìn)而得出結(jié)果。【詳解】解：由題可得，令，則方程的解有3個(gè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，當(dāng)時(shí)，，所以，畫的圖象如下：由圖象可得，且方程的三個(gè)解分別為，不妨設(shè)，則有，即，又所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又因?yàn)?，所以，所以有，即，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，綜上，的取值范圍為。故方法點(diǎn)睛：本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，此類題目一般做法為：（1）先根據(jù)解析式畫出兩個(gè)函數(shù)圖象；（2）令復(fù)合函數(shù)內(nèi)函數(shù)為；（3）結(jié)合函數(shù)圖象及零點(diǎn)個(gè)數(shù)，分析外函數(shù)根的個(gè)數(shù)以及自變量對(duì)應(yīng)的取值范圍；（4）再確定內(nèi)函數(shù)根個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)參數(shù)取值范圍；（5）解出參數(shù)范圍即可。四?解答題15.已知函數(shù).（1）證明：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；（2）求在處的切線與坐標(biāo)軸圍成區(qū)域的面積.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而求解.【小問1詳解】證明：（），當(dāng)時(shí)，，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.【小問2詳解】，，所以曲線在點(diǎn)處的切線為，即，令得；令得，所以切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.16.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，.（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，等價(jià)于有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，等價(jià)于有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，再利用根的分布研究二次函數(shù)，即可得的取值范圍；（2），是的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理可得，的關(guān)系，將用一個(gè)變量表示，再研究關(guān)于的函數(shù)的單調(diào)性，即可得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，令，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，所以，解得，所以的取值范圍為.（2）由（1）知，是兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，且，所以，，故，其中.令，，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，研究函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且與的等差中項(xiàng)為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差中項(xiàng)，構(gòu)造數(shù)列，等比數(shù)列的知識(shí)得出；（2）采用裂項(xiàng)相消法，注意分為奇數(shù)偶數(shù).【小問1詳解】因?yàn)榕c的等差中項(xiàng)為，所以，即.當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，所以，所以，可變形為，所以，且也符合，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】方法一當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.方法二..18.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）無論取何值，函數(shù)的圖象都在函數(shù)圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（2）．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的取值范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為：恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可求解.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．【小問2詳解】無論取何值，函數(shù)的圖象都在函數(shù)圖象的上方，即為恒成立，即，則，恒成立，令，，，令，得；令，得，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，則．19.已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，證明：（?。?；（ⅱ）且時(shí)，．【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為