安徽省合肥市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)3月檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/安徽省合肥市2024-2025學(xué)年高二下冊(cè)3月檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考試說明：1.考查范圍：選擇性必修第二冊(cè)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2.試卷分值：130分；考試時(shí)間：100分鐘；3.所均要答在答題卷上，否則無效.考試結(jié)束后只交答題卷.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則（）A.1 B.2 C.4 D.6【正確答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，由導(dǎo)數(shù)定義可知.故選：C.2.若函數(shù)，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故選：D3.若函數(shù)在內(nèi)無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】在內(nèi)無變號(hào)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定最小值和最大值的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)無極值，所以在內(nèi)無變號(hào)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性知，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以或即可，解得或，故選：C.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求出可得答案．【詳解】依題意，，令，則，令，則，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：D.5.直線分別與直線、曲線交于點(diǎn)A，B，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值.【詳解】解：由題意可知，直線與直線的交點(diǎn)，直線與曲線交點(diǎn)，滿足，則，設(shè)，，則，由，得；，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，故選：B．6.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可解出該不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，解得，因此，不等式的解集為，故選C.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式，解決這類不等式基本步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)要考查該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】與運(yùn)用作差法比大小，再把看作，可構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并借助函數(shù)的單調(diào)性，可得到；與運(yùn)用作差法比大小，再把看作，可構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并借助函數(shù)的單調(diào)性，可得到.從而得到.【詳解】令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即；令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即.所以.故選:.方法點(diǎn)睛：比較代數(shù)式大小的常見方法有：（1）利用函數(shù)單調(diào)性；（2）利用中間量；（3）構(gòu)造函數(shù).8.設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點(diǎn)且斜率為，故且，解得，故選D.本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：則正確命題的序號(hào)是（

）A.是函數(shù)的極值點(diǎn)；B.是函數(shù)的最小值點(diǎn)；C.在處切線的斜率小于零；D.在區(qū)間上單調(diào)遞增.【正確答案】AD【分析】根據(jù)可以確定函數(shù)的增區(qū)間，減區(qū)間以及切線斜率的正負(fù)，結(jié)合極值點(diǎn)的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時(shí)，，的左邊導(dǎo)數(shù)值為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)值為正，兩邊互為異號(hào)，的兩邊導(dǎo)數(shù)值都為正號(hào)，所以在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，由此可得：是函數(shù)的極值點(diǎn)；在區(qū)間上單調(diào)遞增，故AD正確；函數(shù)在上為增函數(shù)，知不是函數(shù)的最小值點(diǎn)；由知在處切線的斜率大于零，故BC錯(cuò)誤.故選：AD10.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若，且，，則下列各項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】由題意判斷函數(shù)的單調(diào)性以及其圖象的形狀，根據(jù)單調(diào)性可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及結(jié)合直線斜率的含義，可判斷.【詳解】由知，在R上單調(diào)遞增，則,故A正確；恒有，即，所以的圖象是向上凸起的，如圖所示，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，隨著x的增加，的圖象越來越平緩，即切線斜率越來越?。ㄐ甭蕿檎?，所以，故B正確，設(shè)，則，所以由圖象知，故D正確，C錯(cuò)誤，故選：11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是B.若滿足，則C.當(dāng)時(shí)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【正確答案】CD【分析】對(duì)A，由在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求解判斷；對(duì)B，根據(jù)推斷函數(shù)的對(duì)稱性，進(jìn)而可以求得的值判斷；對(duì)C，將代入，并求導(dǎo)求極值，有三個(gè)零點(diǎn)，則令極大值大于零，極小值小于零即可判斷；對(duì)D，利用導(dǎo)數(shù)分和討論函數(shù)的單調(diào)性，得到且，此時(shí)可得的表達(dá)式，結(jié)合，再化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，滿足，可知的對(duì)稱點(diǎn)為，又，所以點(diǎn)在圖象上，則，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，令，解得或，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，有三個(gè)零點(diǎn)，，解得，故C正確；對(duì)于D，因，，當(dāng)時(shí)，，即在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；存在極值點(diǎn)，，由得，①因?yàn)?，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，②把①代入②中化?jiǎn)得可得，即，故D正確.故選：CD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，則函數(shù)在上的最大值為_________.【正確答案】13【分析】由題可得在的導(dǎo)數(shù)值等于0，可求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，，解得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，在處取得極大值，且，，在上的最大值為13.故13.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）求出極值，端點(diǎn)值，即可判斷出最值.13.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，由函數(shù)在單調(diào)遞增得到不等式，利用三角恒等變換、換元法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在閉區(qū)間上的恒成立問題，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上恒成立，又∵的圖象是開口向下的拋物線，∴，解得.∴的取值范圍是.故答案為.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：1.是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的充分不必要條件.2.是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的必要不充分條件.3.若在區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒等于零，則是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的充要條件.14.已知實(shí)數(shù)，滿足，，則______.【正確答案】【分析】由已知條件考慮將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令，得到，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)系，即可求解.【詳解】實(shí)數(shù)，滿足，，，，則，，所以在單調(diào)遞增，而，.故答案為:.本題考查函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用，換元法是解題的關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)是難點(diǎn)，屬于中檔題.四?解答題：本題共4小題，共48分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【正確答案】（1），；（2）最大值為，最小值為【分析】（1）由已知得到，，進(jìn)而得到方程組，解之即可；（2）由（1）可知，然后對(duì)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值比較大小即可得解.【小問1詳解】由，知而在處取得極值，故，.故有方程組，即.所以，.【小問2詳解】由（1）知，，故，.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而直接計(jì)算知，，，故在上的最大值為，最小值為.16.已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【正確答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）先把代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，進(jìn)而可求切線方程；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，即，，三種情況進(jìn)行討論，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可求函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，則，∴，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，又點(diǎn)在切線上.且，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（2）的定義域?yàn)?.①若.即時(shí)，則，∴在上單調(diào)遞增，②若，即時(shí)，當(dāng)時(shí).；當(dāng)，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③若.即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：，.【正確答案】（1）極小值，無極大值；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式求得導(dǎo)函數(shù)，可由的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由極值點(diǎn)求得極值.（2）將函數(shù)的解析式代入不等式，并構(gòu)造函數(shù)，求得，再構(gòu)造函數(shù)，并求得，由可知在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理可知在內(nèi)有唯一解，記為，滿足.進(jìn)而由的符號(hào)判斷單調(diào)性，即可求得的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域即可判斷恒成立，即證明不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)，，則，由可知在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)有極小值，無極大值；（2）證明：依題意對(duì)，，即；設(shè)，則，設(shè).因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增.又因?yàn)?，，所以在?nèi)有唯一解，記為，即.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，.設(shè)，，則，所以，所以，即，.本題考查了由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值，導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.18.已知函數(shù).（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）分離變量得到，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得結(jié)