橢圓和雙曲線基礎(chǔ)題練習(xí)題及答案VIP

圓錐曲線根底測(cè)試題

一、選擇題〔60〕

V-2V2

1橢圓r+2-nl(。>5)的兩個(gè)焦點(diǎn)為々、居，且|尸尸21=8,弦AB過(guò)點(diǎn)々，那么△ABF2

a~25

。勺周長(zhǎng)為()

(A)10⑻20?2741(D)4歷

22

2橢圓工+21=1上的點(diǎn)P到它的左準(zhǔn)線的距離是10,那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是()

10036

(A)15(B)12(C)10(D)8

22

3橢圓二+”=1的焦點(diǎn)尸F(xiàn)P為橢圓上的一點(diǎn)，PF.1PF2,那么△片尸F(xiàn),的面積

259--

為()

(A)9(B)12(C)10(D)8

4以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸、漸近線互相垂直、兩準(zhǔn)線間距離為2的雙曲線方程是()

(A)X2->'2=2⑻6/二2

(C)X?_y2=4或),2—12=4⑻/2_,2=2或),2_/=2

X2V2

5雙曲線——±二1右支點(diǎn)上的一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為2,那么P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為

169

()

(A)6(B)8(C)10(D)12

6過(guò)雙曲線V一J=8的右焦點(diǎn)F2有一條弦PQ,|PQ|=7,R是左焦點(diǎn)，那么△FFQ的周長(zhǎng)為U

(A)28(B)14-872(C)14+872⑴)872

?雙曲線虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)為比兩個(gè)焦點(diǎn)為件、F2,ZF,MF2=120°,那么雙曲線的離心率

為()

(A)V3(B)—(C)—(D)—

233

8在給定雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為血，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為那么該雙

2

曲線的離心率為(C)

A、——B、2C、后D、272

2

/V7

9如果橢圓二+乙=1的弦被點(diǎn)(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程是()

369

(A)x—2y=()(B)x+2y—4=0(C)2x+3v-12=O(D)x+2y—8=O

22

10如果雙曲線3-匕=1上一點(diǎn)尸到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是2,那么點(diǎn)P到v軸的距離是

2

(A)

4%

瓜B、-2---C、2>/6D、25/3

3

11中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸的橢圓方程是Ysina+y2cosa=l,aG(0,—),

2

那么aw()

7171r乃不、

A.(叮)B.(。口D.一，一）

42

22

12雙曲線。：,一￡=1（。>02>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)產(chǎn)且斜率為G的直線交C于A、B

兩點(diǎn)，假設(shè)A尸=4/方，那么C的離心率為（A）

二、填空題〔20〕

22

13與橢圓土+上=1具有相同的離心率且過(guò)點(diǎn)（2,一百）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

43

方程是。

14離心率《二@，一條準(zhǔn)線為x=3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。

3

15以知F是雙曲線?-4=1的左焦點(diǎn)，A（1,4）,P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，那么1Ml+歸/4|

的最小值為3____________________

99

廠）廠

16雙曲線屋一層=1（〃>0力>（））的左、右焦點(diǎn)分別為6（一。,0）,乙（c,O）,假設(shè)雙曲線上存

sinPFFa/—

在一點(diǎn)P使？——」=上，那么該雙曲線的離心率的取值范圍是ec（1,0+1）.

sinPF2F{C

三、解答題〔70〕

17）橢圓C的焦點(diǎn)M（一2五，0）和F2（2JL0）,長(zhǎng)軸長(zhǎng)6,設(shè)直線），=x+2交橢圓C

于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。

x2V214

18）雙曲線與橢圓一+?一=1共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為一，求雙曲線方程.

9255

19）求兩條漸近線為工±2），=（）且截直線x—y—3=0所得弦長(zhǎng)為苧的雙曲線方程。

20.⑴橢圓C:W+旨=1（a>b>0）上的點(diǎn)A（l,f）到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,

（TD/

求橢圓的方程；

（2）設(shè)K是（1）中橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，R是左焦點(diǎn)，求線段卜油的中點(diǎn)的軌跡方程；

⑶橢圓具有性質(zhì)：假設(shè)MN是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)

直線PM、PN的斜率都存在并記為kw、ki，N時(shí)，那么攵p”.心內(nèi)是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值。

試對(duì)雙曲線0-5=1寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明。

ab

解：⑴目+1=1

⑵設(shè)中點(diǎn)為(x,y),F,(-1,0)1((-2-)在號(hào)+4=1上=>管^+]=1

(3)設(shè)M(xi,y1)，N(-xi,-yi),P(x0,y。)，x°Wxi

那么

"=/在一1)y；=/(1-i)

22戶(hù)(讓)

u"一)'of%+/_y6f_‘J_4

KpM?UN-A-o-A-j?與+2-x2_x2-x2_x2一廣為

定值.

21.雙曲線方程為2/—y2=2與點(diǎn)P(l,2),

(1)求過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線/的斜率左的取值范圍，使直線與雙曲線

有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。

(2)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)，

求直線AB的方程；

(3)是否存在直線/,使Q(1,1)為/被雙曲線用截弦的中點(diǎn)？假設(shè)存在，

求出直線/的方程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,

解：(1)當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，1的方程為x=l,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)1的斜率

存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為y—2=k(x—l),代入C的方程，并整理得

(2—kJ)X2+2(kJ—2k)x—k'+4k—6=0(*)

(i)當(dāng)2—1?=0,即k二土收時(shí)，方程(')有一個(gè)根，1與C有一個(gè)交點(diǎn)

(ii)當(dāng)2一妙工0,即kW±&時(shí)

△二[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)

①當(dāng)△=(),即3—2k=0,k=—時(shí)，方程(")有一個(gè)實(shí)根，1與C有一個(gè)交點(diǎn).

2

②當(dāng)△>(),即kvj又kW土板，故當(dāng)kV一上或一&VkV后或eVkV。時(shí)，方

22

程C)有兩不等實(shí)根，1與c有兩個(gè)交點(diǎn).

③當(dāng)△<(),即k>3時(shí)，方程(*)無(wú)解，1與C無(wú)交點(diǎn).

2

綜上知：當(dāng)k二土血，或k=3,或k不存在時(shí)，1與C只有一個(gè)交點(diǎn)；

2

當(dāng)五<卜〈3,或一五<1<<五，或1<<一五時(shí)，1與c有兩個(gè)交點(diǎn)；

2

當(dāng)k>±3時(shí)，1與C沒(méi)有交點(diǎn).

2

(2)假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦為AB,且A(xi,yJ,B(x"2),那么2x「一y：2,Zxz'—y/Y兩式

相減得：2(xi-x2)(xi+x2)=(yi—y2)(yi+y2)

又,「Xi+X2=2,yi+yd.*.2(xi—x2)=yj—yi即1<4產(chǎn))_—=1

-x2

但漸近線斜率為土丘，結(jié)合圖形知直線AB與有交點(diǎn)，所以以P為中點(diǎn)的弦為：y=X+l.

(3)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB,且AE,w),B(X2,y2),那么2x/—y、2,2xz2—y22=2

兩式相減得：2(xi-x2)(xi+xj)=(yi—y2)(yi+y2)

又?.?XI+X2=2,yi+y2=2/.2(xi—x2)=yi—yiB|JkA1F——上二2

由一

但漸近線斜率為+五，結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確.即以Q為中點(diǎn)

的弦不存在.

2222

13)與橢圓工+上=1具有相同的離心率且過(guò)點(diǎn)(2,-6)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是三+乙=1

4386

31I4工2

或衛(wèi)-+經(jīng)二1。

2525

14)離心率。=旦,一條準(zhǔn)線為1=3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是三十22=1。

3520

17)橢圓C的焦點(diǎn)件(-2V2,0)和F2(272,0),長(zhǎng)釉長(zhǎng)6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C

于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。(8分)

解：由條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其中c=2后，a=3,從而b=l,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：

2f2[

5+丁=1.聯(lián)立方程組，§+)，消去y得，10爐+36工+27=0.

y=x+2

IQyIy°

L

設(shè)A(%,y線段的中點(diǎn)為《(匹)，打)那么：西+x?=----,xn=—~=-

525

191

所以凡:九o+2二一.也就是說(shuō)線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(一一，一).

5

2

18)雙曲線與橢圓%一+v2?—=1共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為1L4,求雙曲線方程.(10分)解:

9255

4

由于橢圓焦點(diǎn)為F(0,±4),離心率為e=二，所以雙曲線的焦點(diǎn)為F(0,±4),離心率為2,

從而c=4,a=2,b=2百.

所以求雙曲線方程為