數(shù)學(xué)分析下試題及答案VIP

數(shù)學(xué)分析下試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)點可導(dǎo)是\(f(x)\)在\(x_0\)點連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)，則\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\)（）A.\(0\)B.\(a\)C.\(\infty\)D.不確定3.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的極大值點是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=0\)D.無極大值點4.廣義積分\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\)收斂的條件是（）A.\(p\gt1\)B.\(p\geq1\)C.\(p\lt1\)D.\(p\leq1\)5.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上（）A.連續(xù)B.有界C.單調(diào)D.無間斷點6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)滿足\(\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert=\rho\)（\(\rho\neq0\)），則\(R=\)（）A.\(\rho\)B.\(\frac{1}{\rho}\)C.\(0\)D.\(+\infty\)7.函數(shù)\(f(x,y)=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點8.交換積分次序\(\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy=\)（）A.\(\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)B.\(\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)C.\(\int_{1}^{0}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)D.\(\int_{1}^{0}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)9.設(shè)\(L\)為單位圓\(x^2+y^2=1\)，則\(\oint_{L}xdy-ydx=\)（）A.\(0\)B.\(2\pi\)C.\(\pi\)D.\(-2\pi\)10.若\(u=f(x,y)\)，\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，則\(\frac{\partialu}{\partialr}=\)（）A.\(\frac{\partialf}{\partialx}\cos\theta+\frac{\partialf}{\partialy}\sin\theta\)B.\(-\frac{\partialf}{\partialx}\sin\theta+\frac{\partialf}{\partialy}\cos\theta\)C.\(\frac{\partialf}{\partialx}\sin\theta+\frac{\partialf}{\partialy}\cos\theta\)D.\(-\frac{\partialf}{\partialx}\cos\theta+\frac{\partialf}{\partialy}\sin\theta\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(f(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0\\x+1,&x\lt0\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)2.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)3.關(guān)于函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分，下列說法正確的有（）A.定積分是一個常數(shù)B.與積分變量的符號無關(guān)C.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上非負(fù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq0\)4.下列哪些是多元函數(shù)的極值點判定方法（）A.一階偏導(dǎo)數(shù)為零B.二階偏導(dǎo)數(shù)判定法C.利用函數(shù)的單調(diào)性D.利用函數(shù)的凹凸性5.下列關(guān)于冪級數(shù)的說法正確的有（）A.冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂B.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)C.冪級數(shù)可以逐項求導(dǎo)和逐項積分D.冪級數(shù)的收斂區(qū)間一定是關(guān)于原點對稱的開區(qū)間6.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則（）A.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在C.\(\Deltaz=f_x(x_0,y_0)\Deltax+f_y(x_0,y_0)\Deltay+o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)D.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在7.計算二重積分\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma\)時，常用的積分方法有（）A.直角坐標(biāo)法B.極坐標(biāo)法C.柱坐標(biāo)法D.球坐標(biāo)法8.曲線積分與路徑無關(guān)的條件有（）A.區(qū)域\(D\)是單連通區(qū)域B.\(P(x,y)\)，\(Q(x,y)\)在\(D\)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)C.\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)在\(D\)內(nèi)恒成立D.曲線\(L\)是封閉曲線9.下列哪些是格林公式的應(yīng)用（）A.計算平面區(qū)域的面積B.簡化曲線積分的計算C.證明曲線積分與路徑無關(guān)D.計算三重積分10.對于含參變量積分\(\int_{a}^f(x,t)dx\)，下列說法正確的有（）A.若\(f(x,t)\)在\([a,b]\times[c,d]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x,t)dx\)在\([c,d]\)上連續(xù)B.若\(f(x,t)\)及\(f_t(x,t)\)在\([a,b]\times[c,d]\)上連續(xù)，則\((\int_{a}^f(x,t)dx)^\prime=\int_{a}^f_t(x,t)dx\)C.含參變量積分可以用來計算一些特殊的定積分D.含參變量積分與普通定積分沒有區(qū)別三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)點的左右導(dǎo)數(shù)都存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)點可導(dǎo)。（）2.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂，則\(\{a_n\}\)一定有界。（）3.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的最大值一定是極大值。（）4.若\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)與\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)都發(fā)散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)\)也發(fā)散。（）5.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)和積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)。（）6.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)就是函數(shù)\(z=f(x,y_0)\)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)。（）7.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑\(R\)是唯一確定的。（）8.若\(f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)滿足\(\frac{\partial^2f}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2f}{\partialy\partialx}\)，則\(f(x,y)\)在\(D\)內(nèi)一定具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。（）9.二重積分\(\iint_{D}f(x,y)d\sigma\)的幾何意義是\(z=f(x,y)\)與\(xOy\)面及\(D\)邊界所圍立體的體積。（）10.曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)的值與曲線\(L\)的起點和終點有關(guān)，與路徑無關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)點可導(dǎo)的定義。答案：函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)點的導(dǎo)數(shù)定義為\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)，若此極限存在，則稱\(f(x)\)在\(x_0\)點可導(dǎo)。2.簡述判斷正項級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂的比較判別法。答案：設(shè)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)與\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)為兩個正項級數(shù)，且\(a_n\leqb_n(n=1,2,\cdots)\)。若\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發(fā)散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)發(fā)散。3.簡述多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的定義。答案：如果函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的全增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)\)可表示為\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)，其中\(zhòng)(A\)，\(B\)與\(\Deltax\)，\(\Deltay\)無關(guān)，則稱函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微。4.簡述格林公式的內(nèi)容。答案：設(shè)閉區(qū)域\(D\)由分段光滑的曲線\(L\)圍成，函數(shù)\(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在\(D\)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有\(zhòng)(\oint_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})d\sigma\)，其中\(zhòng)(L\)是\(D\)的取正向的邊界曲線。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((0,1)\)上的可積性。答案：\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上無界。根據(jù)可積的必要條件，函數(shù)在閉區(qū)間上可積則必有界，所以\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上不可積，但在\((\epsilon,1)\)（\(0\lt\epsilon\lt1\)）上可積，因為在\([\epsilon,1]\)上有界且連續(xù)，滿足可積條件。2.討論冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。答案：由\(\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert=\lim\l