青海省西寧市2025屆高考二模數學試卷（解析版）VIP

高級中學名校試卷PAGEPAGE1青海省西寧市2025屆高考二模數學試卷一、單選題1．已知a∈R，若z=a2-1-(a-1)i（A．0 B．1 C．-1 D．±1【答案】C【解析】若z=a2-1則a2-1=0a-1≠0故選：C.2．已知數集A,B滿足：A∩B=1,2，A∪B=1,2,3,4，若3?A，則一定有（A．4∈A B．4?A C．3∈B D．3?B【答案】C【解析】因為A∩B=1,2，A∪B=所以4∈A且4?B或4∈B且4?A，二者皆有可能，所以A，B錯誤；由3?A，所以3∈B，所以C正確，D錯誤．故選：C．3．若命題p:?x∈0,π2，sinx>x，則命題A．?x?0,π2，sinx>x BC．?x0?0,π2，【答案】D【解析】?x的否定為?x0，>的否定為≤，所以命題?p為?x故選：D.4．已知向量a=-1,2，b=1,1，則a在A．2,-1 B．-1,2 C．22,2【答案】D【解析】a在b上的投影向量為acos故選：D.5．將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數為（

）A．6 B．30 C．36 D．120【答案】B【解析】第一步選2個空給兩個1有C5第二步選剩下的3個空給兩個3有C3最后剩一個空排5即可，根據分步乘法計數原理有C5故選：B.6．等比數列an的前n項和為Sn，且a1+a4=4A．24 B．28 C．36 D．48【答案】B【解析】設公比為q，則q=a所以a3所以S6故選：B7．已知A,B分別為曲線y=ex+x+1和直線y=2x-3上的點，則|AB|A．5 B．455 C．25【答案】A【解析】令fx因ex≥x+1，則故曲線y=ex+x+1y=ex+x+1，則y'=則曲線y=ex+x+1上的點0,2到直線y=2x-3則|AB|的最小值為5.故選：A8．定義在R上的函數fx滿足：①對任意x∈R都有fx-2+fx=0；②f3=3；③函數y=fx+2的圖象關于點-2,0對稱；④A．fB．fxC．fD．fx的圖象關于直線x=2【答案】C【解析】由③函數y=fx+2的圖象關于點-2,0對稱得fx的圖象關于原點又fx的定義域為R所以fx是奇函數，f0=0①中用x+2代替x，則有fx+fx+2再用x+2代替x，則有fx=fx+4，所以f所以f2025故A錯誤；由④得：x1所以函數fx在0,1上單調遞增，因為f所以：f-83因為23<45，所以又因為函數fx為奇函數，所以f又根據①fx-2+f所以fx-2=f-x，所以函數f因為函數fx在0,1上單調遞增，且函數f所以函數fx在-1,1上單調遞增，因為函數fx所以函數fx在-3,-1上單調遞減，因為函數fx是以所以函數fx在1,3因為2∈1,3，所以x=2不是函數fx的對稱軸，故D故選：C．二、多選題9．某市為了解全市12000名高一學生的體能素質情況，在全市高一學生中隨機抽取了1000名學生進行體能測試，并將這1000名學生的體能測試成績整理成如下頻率分布直方圖．根據此頻率分布直方圖，下列結論中正確的是（

）A．圖中a的值為0.015；B．估計樣本數據的75%分位數為88；C．同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值做代表，則這1000名學生的平均成績約為80.5；D．由樣本數據可估計全市高一學生體測成績優(yōu)異（80分及以上）的人數約為5000人．【答案】AC【解析】對于A，由頻率分布直方圖可知，10×0.005+a+0.02+0.04+0.02得：a=0.015，故A正確；對于B，設75%百分位數為x，易得x∈則10×0.005+10×0.015+10×0.02+x-80解得：x=88.75，故B錯誤；對于C，55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02×10=80.5，故C對于D，則體測成績在80,100的頻率為10×0.04+10×0.02=0.6，估計全市高一學生體測成績優(yōu)異（80分及以上）的人數約為12000×0.6=7200人，故D錯誤.故選：AC.10．已知數列3n-1an的前n項和為n?A．aB．數列an的前n項和為C．數列an-10的前nD．數列1anan+1【答案】ACD【解析】因為3n-1an的前n所以有30a1顯然當n≥2,n∈N*時,有兩個式子相減，得3n-1化簡，得an=2n+1，顯然a1因為an+1-a于是數列an的前n項和為3+2n+1n2令bn=a因此數列an-10的前n項和的最小值為b11a所以數列1anan+1的前因此選項D正確，故選：ACD11．已知橢圓C:y23+x2b2=1(0<b<3)的兩個焦點分別為F10,-c，F20A．橢圓的焦距為1B．圓E過點F2的切線斜率為C．若A，B為橢圓C上關于原點對稱且異于頂點和點P的兩點，則直線PA與PB的斜率之積為-D．PQ-P【答案】BD【解析】對于A，圓E:x2+y-42=1圓心E(0,4)，半徑r=1，圓E與橢圓點Q在圓E上，則PQ+當且僅當P,Q分別是線段EF2與橢圓C、圓E的交點時取等號，因此解得c=1，則橢圓C的焦距為2，且橢圓C的方程為y23+對于B，過F2(0,1)的圓E切線的斜率存在，設此切線方程為y=kx+1，于是31+k2對于C，設P(x0,y0),A(x直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB，因此對于D，|PQ|-|P=4-(-c)-1-23=4-23，當且僅當P,Q分別是線段EF1與橢圓C、圓故選：BD三、填空題12．x-2y5的展開式中x2y【答案】-80【解析】x-2y5的展開式的通項公式為T令r=3可得-2所以x-2y5的展開式中x2故答案為：-8013．函數fx=2x【答案】4【解析】令fx=0，得x=0或設y1=2cosx，保留x軸上方的部分圖象并把x軸下方的圖象向上翻折即得y1再作出y2=x的圖象，如圖所示，由圖可知兩者共有綜上所述，函數fx共有4故答案為：4.

14．如圖，某香包掛件是正三棱錐形狀，其底面邊長和側棱長均為4cm，若將此棱錐放在一球形容器內可任意轉動，則該球形容器表面積的最小值為．【答案】24【解析】如圖，設該香包掛件的直觀圖為正三棱錐P-ABC，其底面的中心為H，則PH為正三棱錐P-ABC的高，由題可知在正三角形ABC中，AB=AC=BC=4，所以CD=42-因為PC=4，所以PH=P由題可知正三棱錐P-ABC的外接球即為所求，易知正三棱錐P-ABC外接球的球心Q在直線PH上，設其外接球的半徑為r，則PQ=CQ=r，QH=4在直角△QCH中，由勾股定理，得QH即463-r故外接球的表面積為S=4π該球形容器表面積的最小值為24π故答案為：24π四、解答題15．已知函數f(x)=xln（1）求f(x)的最小值；（2）若對所有x≥1都有f(x)≥ax-1，求實數a的取值范圍；解：（1）f(x)的定義域是0,+∞，f令f'(x)>0，解得x>1e，令故f(x)在(0,1e)故f(x)min＝f1e＝（2）∵f(x)=xlnx，當x≥1時，等價于xlnx≥ax-1在等價于a≤lnx+1令g(x)=lnx+1x，x≥1∵g'(x)=1x-1x∴g(x)在1,+∞上單調遞增，∴g∴a≤1，即實數a的取值范圍為-∞16．如圖1在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE折起到圖2中（1）證明：CD⊥平面A1（2）當平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC（1）證明：∵AE=1所以ABCE為正方形，所以AC⊥BE,又A1O∩CO=O，A1O,CO?平面又BC//ED，且BC=ED，故四邊形∴CD//BE,∴CD⊥平面（2）解：

因為平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面A1O⊥BE,A1O?平面A又OC?平面BCDE，所以A1O⊥OC，又由（1）知：以O為原點，OB,OC,由題意知，A1則A1設平面A1CD的法向量為n1→=則n1?A1C=則n2?A1B=2設平面A1CD與平面A1cosθ=|17．某公路自行車比賽賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE．根據自行車比賽的需要，需預留出AC，AD兩條服務車道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，∠ABC=∠AED=2π3，∠BAC=π4，BC=2

（1）若cos∠CAD=35（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最長值（即AE+ED最大）．（結果保留根號）解：（1）在△ABC中，由正弦定理得ACsin已知∠ABC=2π3，貝解得ACsin2π在△ACD中，由余弦定理得CD已知cos∠CAD=35則64=AD整理得5AD2-36AD-140=0所以服務通道AD的長為10千米．（2）在△ADE中，由余弦定理得AD由（1）知AD=10km，又已知則100=AE2+E因為AE?AD≤AE+ED24則AE+ED2≤4003，所以AE+ED≤所以折線賽道AED的最長值為20318．已知拋物線E的頂點為坐標原點O，焦點為1,0，過點M2,0的直線與E交于A，B兩點，且點A在第一象限，過點B作y軸的垂線與直線OA相交于點P（1）求E的方程；（2）證明：點P在定直線l上；（3）延長BO交（2）中的直線l于點Q，若四邊形ABPQ的面積S為162，求點A（1）解：由題意，設拋物線E的標準方程為y2則p2=1，可得故拋物線E的標準方程為y2（2）證明：若直線AB與x軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設直線AB的方程為x=my+2，設點Ax1,聯立x=my+2y2=4x可得y由韋達定理可得y1+y由題意可知，直線BP的方程為y=y直線OA的方程為y=y聯立直線BP，OA的方程得y=y2y=所以x=y因此，點P在定直線l:x=-2上．（3）由（2）知P-2直線OB的方程為y=y聯立直線OB與直線l的方程x=-2y=4y由（2）y1y2故點Q-2,y且AQ=x1所以S======1因為點A在第一象限，四邊形ABPQ的面積S為162所以18y1解得y1=22，代入y所以點A坐標為2,19．某無人機公司新研發(fā)了一款無人機，在大型活動中使用時需要提前進行演練.該公司從生產的一批無人機中抽取了kk≥5,k∈N*個，分別編號為1、2、3、?、k，不同的編號可以組成不同的演練模型.現從中選取nn=2,3,???,k個無人機組合為一種演練模型，則一共可以組合成m（1）當k為何值時，模型最佳？并求出此時fk（2）若k=7，求n≥4時的概率；（3）現任意抽取一個無人機試飛，每次成功的概率是p0<p<1.若試驗成功，則試驗結束；若不成功，則繼續(xù)試驗，直至第n次（無論成功與否都結束試驗）.設X為試驗結