遼寧省沈陽市2025屆高三三模數(shù)學(xué)試卷（解析版）VIP

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市2025屆高三三模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，則.

故選：C2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?故選：B.3.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，，故漸近線方程為．故選：B.4.已知向量，滿足，，則等于（）A.12 B.10 C. D.【答案】C【解析】由有，所以，所以，故選：C.5.等比數(shù)列中，，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得，因?yàn)?，則，解得，由可得，因?yàn)?，則，解得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹虼?，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務(wù)新模式成為一種趨勢．某社區(qū)為了優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務(wù)的滿意度，滿意度采用計(jì)分制（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為（）A87.5 B.85 C.70 D.62.5【答案】C【解析】由題意可得，解得，且第一個(gè)小矩形面積為，第二個(gè)小矩形面積為，則第一四分位數(shù)即第百分位數(shù)為.故選：C7.如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋．可放小球的最大半徑為．若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)儲(chǔ)物盒所在球的半徑為，如圖，小球最大半徑滿足，所以，正方體的最大棱長滿足，解得，所以.故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的圖象的一條對稱軸方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，且，，由可得，所以，，解得，，若無解，則或，解得或，由于且存在，故或，即或，則有或，故的最大值為，此時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一條對稱軸方程為，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.塹堵、陽馬、鱉臑這些名詞出自中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》．如圖1，把一塊長方體分成相同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）．如圖2，再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐稱為陽馬，三棱錐稱為鱉臑．則（）A.陽馬的四個(gè)側(cè)面中僅有兩個(gè)是直角三角形B.鱉臑的四個(gè)面均為直角三角形C.陽馬的體積是鱉臑的體積的兩倍D.塹堵、陽馬與鱉臑的外接球的半徑都相等【答案】BCD【解析】對于A，如圖，由題意可知平面，平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以陽馬的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以A錯(cuò)誤，對于B，如圖由題意可知平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以鱉臑的四個(gè)面均為直角三角形，所以B正確，對于C，設(shè)長方體的長，寬，高分別為，則，所以陽馬的體積，鱉臑的體積，所以陽馬的體積是鱉臑的體積的兩倍，所以C正確，對于D，由題意可知塹堵、陽馬與鱉臑都是由同一個(gè)長方體分割而成，且塹堵、陽馬與鱉臑的頂點(diǎn)都是原長方體的頂點(diǎn)，所以塹堵、陽馬與鱉臑均可以補(bǔ)成原長方體，所以它們的外接球的半徑都等于原長方體外接球的半徑，所以D正確.故選：BCD10.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，點(diǎn)M為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則（）A. B.C.a的最大值為2 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，由可得，則，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，由余弦定理可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，且，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，故D正確；故選：ABD.11.已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P是橢圓上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與直線交于點(diǎn)，，則下列說法正確的有（）A. B.C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AB【解析】設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，直線的傾斜角為，斜率為，對于A，由題意可得，且，所以，則橢圓方程為，又由為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，又由，所以，故A正確；對于B，由，得，令得，，所以，則，所以，故B正確；對于C，同理，得，令，得，所以，又由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C錯(cuò)誤；對于D，不妨設(shè)且，則，設(shè)分別為直線的傾斜角，則，即，即為鈍角，又由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)取最大值，即最大，因此的最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則的值等于_____．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t.

故答案為：13.函數(shù)的最小值為_____．【答案】【解析】，令，，且該二次函數(shù)的對稱軸為直線，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即函數(shù)的最小值為.故答案為：.14.已知過點(diǎn)的直線在軸和軸上的截距均為正整數(shù)，則滿足條件的直線的條數(shù)為_____．【答案】【解析】設(shè)直線在軸和軸上的截距分別為、，則、，則直線的截距式方程為，由于直線過點(diǎn)，則，故，所以為的正約數(shù)，故.即滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.因此，滿足題設(shè)條件的直線的條數(shù)為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．（1）解：因?yàn)閿?shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以，故.（2）證明：因，所以，故原不等式成立.16.甲、乙兩個(gè)箱子中，各裝有個(gè)球，其中甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球，其余都是白球．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為或，則從甲箱中隨機(jī)摸出個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為、、、，則從乙箱中隨機(jī)摸出個(gè)球．已知擲次骰子后，摸出的球都是紅球的概率是．（1）求的值；（2）記摸到紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為或”，則事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為、、、”，則，，設(shè)事件為“摸出的球都是紅球”，則，，由全概率公式可得，整理可得，解得或（舍去），故.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、，則，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：則.17.已知圓，拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，過拋物線焦點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)軸時(shí)，求直線的斜率；（3）求證：為定值，并求出該定值．（1）解：由題意可得，圓的圓心為，半徑為，且拋物線的準(zhǔn)線為，與圓詳相切，則，因?yàn)?，解得，故拋物線的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)、、，顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，則，，即點(diǎn)，因?yàn)檩S，則，解得，因此，直線的斜率為.（3）證明：由拋物線焦點(diǎn)弦長公式可得，由（2）可得，所以.18.已知函數(shù)，．（1）已知在處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋瑒t，由題意可得，解得.（2）當(dāng)時(shí)，，，則，由可得，列表如下：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又因?yàn)?，，因?yàn)殛P(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由題意，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，令，則，因?yàn)椋?，所以對任意的恒成立，故函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪?，所以，解?因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.如圖所示，在直角梯形中，，A，D分別是，上的點(diǎn)，且，，，，將四邊形沿向上折起，連接，，，在折起的過程中，記二面角的大小為，記幾何體的體積為V．（1）求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，請將V表達(dá)為關(guān)于的函數(shù)，并求該函數(shù)的最大值；（3）若平面和平面垂直，當(dāng)取得最大值時(shí)，求V的值．（1）證明：在梯形中，因?yàn)?，所以翻折后有，且，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，同理可得平面，因?yàn)椋矫?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：由題意，在梯形中，，，即，且，所以翻折后有，，且，所以平面，同理，平面，由二面角的大小為，得，過點(diǎn)作垂線，交直線于，由平面，平面，所以，且，所以平面，即是四棱錐的高，由，所以，由，平面，平面，