搶分秘籍08 銳角三角函數(shù)及實際問題-中考《數(shù)學(xué)》沖刺搶分押題秘籍（全國卷）

PAGE1搶分秘籍08銳角三角函數(shù)及實際問題目錄【解密中考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】求某一角的三角函數(shù)值【題型二】由每一角的三角函數(shù)值求線段的長【題型三】三角函數(shù)中的仰角俯角問題【題型四】三角函數(shù)中的方位角問題【題型五】三角函數(shù)中的坡度坡比問題【題型六】三角函數(shù)中的實際問題和其他學(xué)科綜合【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點一：網(wǎng)格中求三角函數(shù)的值，構(gòu)造直角三角形易錯易錯點二：與三角函數(shù)中圖形未定產(chǎn)生多解易錯點三：實物情景未抽象出幾何圖形：銳角三角函數(shù)及實際問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，特殊角（30°、45°、60°）三角函數(shù)值計算、解直角三角形（含仰角俯角、坡度坡角等實際應(yīng)用）為高頻，常與幾何圖形結(jié)合求邊長、高度。2．從題型角度看，選擇填空直接考定義及特殊值，解答題以實際測量、幾何綜合（如與圓、相似結(jié)合）為主，側(cè)重建模與邊角轉(zhuǎn)化，分值8分左右，著實不少?。菏煊浱厥饨呛瘮?shù)值及定義，掌握“構(gòu)造直角三角形”“雙直角三角形”等模型，多練實際應(yīng)用題（如測高、測距），注意單位換算與圖形分析，強化方程思想（設(shè)未知數(shù)解邊角關(guān)系）?！绢}型一】求某一角的三角函數(shù)值【例1】（2025·江蘇常州·一模）寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則的值為．【答案】/【知識點】矩形與折疊問題、求角的正切值、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，利用黃金比例表示各線段的長是解題的關(guān)鍵．設(shè)寬，根據(jù)比例表示長，證明，在中，利用勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)寬為，∵寬與長的比是，∴長為：，由折疊的性和矩形的性質(zhì)可知，，，在和中，，∴，∴，∴，設(shè)，在中，，變形得：，∴，故答案為：．本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點【例2】（2025·江蘇宿遷·一模）如圖，已知菱形的對角線，，則．【答案】【知識點】利用菱形的性質(zhì)求面積、求角的正弦值、用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題菱形的性質(zhì)，正弦的定義，過D作于E，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可求出，根據(jù)等面積法可求出，最后根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過D作于E，∵菱形的對角線，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式1】（2025·上?！ざ＃┤鐖D，在正方形中，點分別在邊上．連接，若，則的正切值為．【答案】【知識點】根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、求角的正切值、全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，運用勾股定理得到，如圖所示，連接，過點作于點，可證明得到，則是的中線，得到，，在中由正切值的計算方法即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，如圖所示，連接，過點作于點，∵，∴，∴，∴是的中線，∴，∴，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正弦、正切值的計算，掌握正切值的計算方法是關(guān)鍵．【變式2】（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，將繞斜邊的中點O旋轉(zhuǎn)一定角度得到，已知，，則．【答案】【知識點】圓周角定理、解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】連接，作，再說明點A，E，C，B，F(xiàn)共圓，進而得出，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，接下來根據(jù)勾股定理求出，即可得，再根據(jù)面積相等求出，結(jié)合題意說明四邊形是矩形求出，最后根據(jù)得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接，作，分別交于點M，H，∵，∴點A，E，C，B，F(xiàn)共圓，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．由題意，，∴，∴．∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)各點共圓得出圓周角相等是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·江蘇揚州·一模）如圖，在中，，于點，作，AE交線段于點，恰有，則．【答案】【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、等腰三角形的性質(zhì)和判定、求角的正切值【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，求角的正切值，根據(jù)“”證明，得，即，證明出，設(shè)，，則，代入得，求出，即可求出．【詳解】解：∵∴,∵∴∴∴，∴，即，∵∴∴設(shè)，，則∴，∴，∴，解得，（負值舍去）∴，∴．【題型二】由每一角的三角函數(shù)值求線段的長【例1】（2025·山西長治·模擬預(yù)測）如圖，在中，點D是的中點，連接，過點D作交的延長線于點E．若，，，則線段的長為．【答案】【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理，解直角三角形的相關(guān)計算，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．過點A、E作于點，交延長線于點，則，則，由勾股定理得，而，那么，可得，則，而，則設(shè)，由得，，求解，再由勾股定理求．【詳解】解：過點A、E作于點，交延長線于點，則，∴，∴，∵點D是的中點，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，設(shè)，∴由得，，解得：，在中，，故答案為：．本題考查了勾股定理，解直角三角形的相關(guān)計算，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵【例2】（2025·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，在菱形中，的長為4，點E，F(xiàn)分別是，的中點，連接，．若，則的長為．【答案】【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理等．延長，交于點M，根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點性質(zhì)證明，，過F點作于N點，根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理列式計算即可得出答案．【詳解】解：延長，交于點M，在菱形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，，，，，，在和中，，，在和中，，，，過F點作于N點，，∴設(shè)，則，∴，，，，在中，由勾股定理得，即，解得，，故答案為：．【變式1】（2025·江蘇·二模）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點，D是上的一動點．當(dāng)點D到弦的距離最大時，的值是．【答案】【知識點】求角的正弦值、利用垂徑定理求值、圓周角定理、求特殊三角形外接圓的半徑【分析】連接，過點P作于E，延長交于點D，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理求出，進而求出，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【詳解】解：如圖，連接，過點P作于E，延長交于點D，此時點D到弦的距離最大，∵，∴，∵，∴為的直徑，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、垂徑定理、正弦的定義、勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2025·山東濟南·一模）在矩形中，，分別在邊上，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，連接，若折痕，，則的長為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、已知正切值求邊長、矩形與折疊問題【分析】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，正切值的計算，勾股定理的運用，掌握矩形與折疊的性質(zhì)，正切值的計算方法是關(guān)鍵．如圖所示，與交于點，過點作與點，，所以，設(shè)，，，均為正數(shù)，所以在中，，由勾股定理得到（負值舍去），則，，，如圖所示，過點作于點，則，，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，如圖所示，與交于點，過點作與點，∴四邊形是矩形，，，∵折疊，∴，∵，，∴，∵，∴，∴設(shè)，，，均為正數(shù)，∴在中，，在中，，在中，，∴，，，∴，∴，在中，，∴，即，解得，（負值舍去），∴，∵，∴，∴，則，，∴，則，，∴，，如圖所示，過點作于點，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式3】（2025·重慶·二模）如圖，在平行四邊形中，為銳角，，點E、F分別是、上的點，連接、交于點M，以為直徑的圓O交于點G，且，，則；若，．【答案】【知識點】半圓（直徑）所對的圓周角是直角、解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】先證出，根據(jù)等腰三角形的判定可得，再連接，根據(jù)圓周角定理可得，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得的長；設(shè)與的交點為點，連接，其中交于點，過點作于點，先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長，從而可得的長，最后在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，如圖，連接，由圓周角定理得：，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，．如圖，設(shè)與的交點為點，連接，其中交于點，過點作于點，由圓周角定理得：，即，∴（等腰三角形的三線合一），∴，在和，，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，解得，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，∴，，又∵，，∴，∴，∴，即，解得，，∴，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，難度大，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．【題型三】三角函數(shù)中的仰角俯角問題【例1】（2025·遼寧大連·一模）如圖，一枚運載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達點時，從位于地面處的雷達站測得的距離是，仰角是；后火箭到達點，此時測得仰角為，這枚火箭從到的平均速度是多少（結(jié)果取小數(shù)點后一位）？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】這枚火箭從到的平均速度是【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形先求得，再求出，即可求得，即可得到速度，熟練利用三角函數(shù)表示直角三角形中邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：中，，，，，，在中，，，，平均速度，答：這枚火箭從到的平均速度是．仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【例2】（2025·天津河?xùn)|·一模）坐落在薊縣穿芳峪鎮(zhèn)毛家峪村的毛家峪隧道是天津市普通公路建設(shè)史上第一座隧道，填補了天津市普通公路無隧道的空白．已知，隧道全長與在一條直線上，在隧道正上方的山頂有一信號塔，從與點相距的處分別測得、的仰角為、，從與點相距的處測得的仰角為，設(shè)山高的高度為（單位：）．(1)用含的式子表示線段的長度（結(jié)果保留三角函數(shù)形式）；(2)求信號塔的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)的長為；(2)信號塔的高約為35米．【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形的運用，掌握三角函數(shù)值的計算方法是關(guān)鍵．（1）在中，，，由，即可求解；（2）在中，，，在中，，，又，所以，由即可求解．【詳解】（1）解：，，在中，，，，又，∴，即的長為；（2）解：由題意得，在中，，，，在中，，，，又，，即；，答：信號塔的高約為35米．【變式1】（2025·四川資陽·一模）風(fēng)箏起源于中國，已有2000多年的歷史，它象征著希望和祝福，而放風(fēng)箏則可強身健體、愉悅身心．陽春三月，小明和好友到郊外去放風(fēng)箏，由于天公作美，風(fēng)箏快速飛至點P處（如圖）．愛動腦的小明準備測量此時風(fēng)箏的高度，他立即從坡底處沿坡度的山坡走了到達坡頂處，測得處的仰角為；他又沿坡面BC走到達坡底處，測得處的仰角為．（點，，，在同一平面內(nèi)）(1)求坡頂處的高度；(2)求風(fēng)箏的飛行高度（即的長）．【答案】(1)(2)風(fēng)箏的飛行高度為．【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，30度所對的直角邊等于斜邊的一半，等腰直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識解直角三角形．（1）過點作于，作于，利用坡度得到，不妨設(shè)，，利用勾股定理，，求得，最后得到；（2）先通過勾股定理求得，不妨設(shè)，那么，，是等腰直角三角形，那么，最后利用算得，最后得到的長度．【詳解】（1）解：過點作于，作于，如圖所示：從坡底處沿坡度的山坡走了到達坡頂處，，，不妨設(shè)，，，，（舍去負值），，答：坡頂處的高度為．（2）解：他又沿坡面BC走到達坡底處，不妨設(shè)，，四邊形是矩形，，，為等腰直角三角形，，，，，，答：風(fēng)箏的飛行高度為．【變式2】（2025·山東濟南·一模）2025年1月23日晚，濟陽區(qū)文體中心上空起飛500架無人機上演“鳳凰涅槃”，一名攝影愛好者記錄下全過程．如圖，攝影愛好者在水平地面上的點處測得無人機位置點的仰角為；當(dāng)攝影愛好者沿著傾斜角（即）的斜坡從點走到點時，無人機的位置恰好從點水平飛到點，此時，攝影愛好者在點處測得點的仰角為．已知米，米，且四點在同一豎直平面內(nèi)．(1)求點到地面的距離；(2)求無人機在點處時到地面的距離．（結(jié)果精確到0.01米，測角儀的高度忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)1.645米(2)14.26米【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．過作與F，得米，米，過作地面于，交于，過作地面，交于，交于，設(shè)米，則米，四邊形為矩形，是等腰直角三角形，然后由銳角三角函數(shù)定義求出，即可解決問題．【詳解】（1）過作于，如圖所示：∵，（米）；（2）過作地面于，交于，過作地面，交于，交于，，∴，設(shè)米，則米，∵，且，∴四邊形為矩形，是等腰直角三角形，米，則米，又∵米，∵，（米）；即解得：，，（米）答：無人機距水平地面的高度約為14.26米．【變式3】（2025·遼寧·一模）圖1是商場的自動扶梯，圖2中的是從一樓到二樓扶梯的側(cè)面示意圖．小王站在扶梯起點A處時，測得二樓天花板上照明燈C的仰角為，此時他的眼睛D與地面的距離，之后他沿扶梯到達頂端B后又向正前方走了2m到達點E處（），發(fā)現(xiàn)照明燈C剛好在他的正上方．已知自動扶梯與地面的夾角，的長度為10m．(1)求點B到一樓地面的距離；(2)求照明燈C到一樓地面的距離（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)(2)【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、含30度角的直角三角形【分析】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點B作于點，根據(jù)角直角三角形性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長交于點，過點D作于點U，交于點，先解中，求出，則，再解在中，由求得，最后由即可求解．【詳解】（1）解：過點B作于點，∵，∴在中，，答：點B到一樓地面的距離為；（2）解：連接并延長交于點，過點D作于點U，交于點，由題意得，，在中，，∴，∴在中，，∴；答：照明燈C到一樓地面的距離為．【題型四】三角函數(shù)中的方位角問題【例1】（2025·重慶·模擬預(yù)測）春天是踏青的好季節(jié)，小紅決定去公園出游踏青．如圖，某公園里的四條人行步道圍成四邊形，經(jīng)測量，點在點的正北方向，點在點的北偏西，點在點的正西方向，點在點的北偏東，米，米．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求點到的距離；(2)點處有直飲水，小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點到達點，也可以經(jīng)過點到達點，請計算說明她走哪一條路較近？【答案】(1)300米(2)小紅從點出發(fā)沿人行步道去取水，經(jīng)過點到達點這條路較近．【知識點】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點D作，交的延長線于點E，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答；（2）過點D作，垂足為H，根據(jù)題意可得：米，可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進行計算，比較即可解答．【詳解】（1）解：過點D作，交的延長線于點E，如圖．∵在中，（米）∴（米）答：點D到的距離為300米；（2）解：過點D作于點H，如圖．∵，，∴四邊形是矩形．∴（米），∴（米），∵，∴，∵（米），∴（米），∵在中，，（米），∴（米），（米），∵．答：小紅經(jīng)過點D到達點C的這條路較近．方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)，考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭，在距碼頭西端M的正西方向千米處有一觀測站O，現(xiàn)測得位于觀測站O的北偏西方向，且與觀測站O相距60千米的小島A處有一艘輪船開始航行駛向港口，經(jīng)過一段時間后又測得該輪船位于觀測站O的正北方向，且與觀測站O相距30千米的B處．(1)求兩地的距離；結(jié)果保留根號(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭靠岸？請說明理由參考數(shù)據(jù)：，，【答案】(1)千米(2)能行至碼頭靠岸，見解析【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點A作于點，可知為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．（2）延長交l于D，證明，求出，比較與的大小即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：過點A作于點，由題意，得千米，千米，（千米）在中，（千米）（千米）在中，（千米）；（2）解：如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭靠岸，理由：延長交l于點，，，，，，（千米），該輪船不改變航向繼續(xù)航行，能行至碼頭靠岸．【變式1】（2025·重慶·一模）為了滿足市民需求，我市在一公園開辟了兩條跑步路線：①，②，如圖，點C位于點A正東方向6000米，點D在點A的東北方向，點B在點A的南偏東方向，點C在點B北偏西方向，點C在點D的東南方向．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求B與C兩點之間的距離；(2)若甲沿路線①跑步鍛煉身體平均速度為80米/分，乙沿路線②跑步鍛煉身體平均速度為95米/分，（經(jīng)過A，C兩點不停留），誰先到達B點？請通過計算說明．（結(jié)果精確到1分鐘）【答案】(1)(2)甲先到點，見解析【知識點】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點作于點，解即可求解；（2）由題意得，，則，，由題意得，，即可求出甲跑步的時間，分別解，求出，解，求出，則，即可求出乙跑步時間，對比即可．【詳解】（1）解：過點作于點，由題意得，，∴，，∴在中，，在中，，答：B與C兩點之間的距離為；（2）解：如圖：由題意得，，∴甲跑步的時間為：（分鐘），由題意得，，，則，，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴乙跑步的時間為：（分鐘），∵，∴甲先到點．【變式2】（2025·重慶·一模）2025年3月2日重慶馬拉松順利舉行，據(jù)悉有35000名選手以矯健的步伐丈量“山水之城”，享受馬拉松運動的樂趣．小陶和小樂受到鼓舞，計劃周末去體育館進行體能訓(xùn)練．兩人約定同時從超市出發(fā)，臨行前小陶決定先到在超市北偏東方向上的圖書館還書后，再到體育館；小樂則按原計劃沿正東方向的街道行走400米至報亭后，再沿北偏東方向走到體育館，已知體育館分別在超市的北偏東方向上和圖書館的南偏東方向上．(1)求報亭與體育館之間的距離；（結(jié)果保留根號）(2)若小陶步行的平均速度為70米/分，小樂步行的平均速度為60米/分，請通過計算說明小陶和小樂誰先到達體育館．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)報亭與體育館之間的距離米(2)小陶先到達體育館【知識點】含30度角的直角三角形、方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，30度所對的直角邊是斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）認真分析題干的條件，得出，，故在中，（米），，然后證明是等腰直角三角形，在中，，即可作答．（2）先分別算出小陶和小樂經(jīng)過的路程，再分別除以他們各自的速度，然后比較，即可作答．【詳解】（1）解：過點作，如圖所示：∵體育館分別在超市的北偏東方向上和圖書館的南偏東方向上．∴，依題意，米，∴，在中，（米），，則，∵，∴是等腰直角三角形，∴米，在中，，∴（米），∴報亭與體育館之間的距離米；（2）解：由（1）得，米，在中，，故（米），則（米），∵∴，在中，（米），在中，，∴（米），則（米），∵米，米，∴（米），∵小陶步行的平均速度為70米/分，小樂步行的平均速度為60米/分，∴（分鐘），（分鐘），∵∴小陶先到達體育館．【變式3】（2025·重慶·模擬預(yù)測）小育小才兩人相約一起去看電影．如圖，東西走向直線上有小育家點，電影院點，在之間有一家奶茶店點，小才家點在點的北偏東方向，在點的北偏西方向，奶茶店點在小才家點的南偏西，已知的距離為米．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求的長度（結(jié)果保留根號）；(2)小育從家先出發(fā)，步行至點購買奶茶店后（購買奶茶時間忽略不計）立即聯(lián)系在家的小才，兩人同時出發(fā)，小育和小才分別由和的路線跑步到電影院，已知小育跑步的速度為200米/分，小才跑步的速度為250米/分，兩人誰先到達電影院？請計算并說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】(1)米(2)小才先到達電影院．理由見解析【知識點】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握方位角以及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）過點C作，中，，米，可得米，再由中，，米，再求即可；（2）過點D作，中，，米，可得米，米，中，，米，米，米，可得米，再求解即可．【詳解】（1）解：過點C作，由題意可得，，

，中，，米，（米），中，，米，（米），（米）；（2）解：過點D作，由題意得，，中，，米，（米），（米），中，，米，（米），（米），（米），小才從到的距離為米，時間為：（分鐘），小育從到的距離為米，時間為：（分鐘），小才用時更短，故小才先到達電影院．【題型五】三角函數(shù)中的坡度坡比問題【例1】（2025·廣東潮州·模擬預(yù)測）如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，河堤的高米，則坡面的長度是米．（坡比也叫坡度．坡比是指點B向水平面作垂線，垂足為C，．）

【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形問題，勾股定理，根據(jù)迎水坡的坡比為得出，再根據(jù)米，得出的值，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意得，∴（米），∴（米）．故答案為：．本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題【例2】（2025·河南焦作·二模）如圖，在坡度為的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹，當(dāng)太陽光線與水平線成角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影長為20米，則大樹的高為米．【答案】/【知識點】坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，過點作，交的延長線于點，根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，進而求出，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，則，坡度為的斜坡，，設(shè)，在中，米，則可得，解得（負數(shù)舍去）,則米，太陽光線與水平線成角沿斜坡照下，在中，，則米，米，故答案為：．【變式1】（2025·湖南長沙·一模）某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在景區(qū)內(nèi)沿山體向上修建步行道和觀光索道，經(jīng)過測量知：米，米，步行道的坡度，觀光索道與水平線的夾角為求山頂點C到地面的距離的長.(圖中所有點都在同一平面內(nèi)，，參考數(shù)據(jù)：，最后結(jié)果精確到1米)

【答案】米．【知識點】坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．過點作于點，過點作于點，證明四邊形是矩形，則，求出米，得到米，求出，即可得到答案．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵步行道的坡度，觀光索道與水平線的夾角為∴，∴，∵，∴，解得米，∴米，∵∴（米）∴（米）．答：山頂點C到地面的距離的長為米．【變式2】（2025·遼寧阜新·一模）如圖，在居民樓前方有一斜坡，斜坡長為，斜坡的坡度，在C，D處測得樓頂端A的仰角分別為和．(1)求點D到地平面的距離；(2)求居民樓的高度（保留根號）．【答案】(1)(2)居民樓的高度為【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）過點作，交的延長線于點，根據(jù)斜坡的坡度，得出，設(shè)，則，求出，根據(jù)，求出，即可得出答案；（2）過點作于，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點作，交的延長線于點，∵斜坡的坡度，∴，在中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，解得：，∴，，∴點D到地平面的距離為；（2）解：如圖，過點作于，根據(jù)解析（1）可知：，，由題意可得，，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，．答：居民樓的高度為．【變式3】（2025·遼寧丹東·模擬預(yù)測）圖（1）為某大型商場的自動扶梯、圖（2）中的為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面示意圖．小東站在扶梯起點處時，測得天花板上日光燈的仰角為，此時他的眼睛與地面的距離，之后他沿一樓扶梯到達頂端后又沿向正前方走了，發(fā)現(xiàn)日光燈剛好在他的正上方．已知自動扶梯的坡度為，的長度是．(1)求圖中B到一樓地面的高度．（結(jié)果保留根號）(2)求日光燈到一樓地面的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)一樓扶梯頂端B到一樓地面的高度為；(2)日光燈C到一樓地面的高度約為．【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理．（1）過點B作于點E，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程并求解，即可得到答案；（2）過點C作于點F，交于點G，過點D作于點J，交于點H，根據(jù)矩形性質(zhì)得四邊形，是矩形，結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得，從而完成求解．【詳解】（1）解：如圖，過點B作于點E．設(shè)，∵的坡度為，∴，在中，由勾股定理，得，解得：（舍去）或，∴一樓扶梯頂端B到一樓地面的高度為；（2）解：如圖，過點C作于點F，交于點G，過點D作于點J，交于點H，∴四邊形，是矩形，根據(jù)題意，得：，，∴，，，由（1）可知，，∴．在中，，∴，∴，∴日光燈C到一樓地面的高度約為．【題型六】三角函數(shù)中的實際問題和其他學(xué)科綜合【例1】（2025·安徽滁州·一模）如圖1所示的是水平放置的水槽截面，，，一束光線從水槽邊的處投射到空氣和液體的分界上的中點處，入射光線與水槽內(nèi)壁的夾角，與法線的夾角為，折射光線與法線的夾角．已知在光源沿向下移動的過程中，比值不隨，的變化而變化．當(dāng)入射點位置不變，光源沿向下移動到點時，折射光線通過點，如圖2所示，求的長．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．由圖1可知，，得出，再由圖2可知，，，得出，得到，在中利用正弦的定義求出的長，再利用勾股定理求出的長，即可求出的長．【詳解】解：由圖1可知，，，由圖2可知，，，，由題意得，，，，，，由題意得，，在中，，，，，，，即，，．的長為．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵【例2】（2025·陜西西安·二模）如圖，這是小雅同學(xué)為準備實驗考試組裝的制取氧氣的實驗裝置．已知試管，，試管傾斜角為．實驗時，導(dǎo)氣管緊貼水槽，延長，交的延長線于點，且，（點在同一條直線上）．經(jīng)測量，得，，．請求出鐵架桿與水槽之間的水平距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)的計算是解題的關(guān)鍵．如圖，過點分別作于點，于點，在中，有正余弦可得∴，，，，由題意得到，，，由即可求解．【詳解】解：如圖，過點分別作于點，于點，，，．，四邊形是矩形，，，在中，，，∴，∴，，，，，，，．【變式1】（2025·貴州銅仁·模擬預(yù)測）龍世昌雕塑位于貴州省松桃苗族自治縣世昌廣場中央，是為紀念抗美援朝特等功臣、二級戰(zhàn)斗英雄龍世昌烈士而建的標志性紀念設(shè)施（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組把它抽象成平面圖形如圖2所示，通過查閱資料得知雕塑總高度（點D到平臺水平線的距離）為，延長與平臺水平線相交于點B，測得，．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求點C與平臺水平線的距離的長（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)求的長（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】(1)(2)【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）把，分別代入，進行計算，即可作答．（2）先分別算出，，再根據(jù)線段的和差列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：∵，且，∴在中，則解得；（2）解：過點D作，如圖所示：∵點D到平臺水平線的距離為，∴，在中，，解得，則在中，則，解得，∴．【變式2】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）如圖1，空調(diào)擋風(fēng)板是一塊安裝在空調(diào)出風(fēng)口處的屏障，主要功能是改變空調(diào)風(fēng)的流向，使其不會直接吹向人體．如圖2，在側(cè)面示意圖中，擋風(fēng)板底部和空調(diào)底部在一條水平線上，出風(fēng)口頂部距擋風(fēng)板頂部長為與水平面的夾角為，出風(fēng)區(qū)域總高為，空調(diào)擋風(fēng)板與水平面夾角為．(1)求側(cè)面示意圖中空調(diào)擋風(fēng)板頂部到墻體的距離；(2)求擋風(fēng)板底部和空調(diào)底部的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點作，垂足為，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答；（2）過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：過點作，垂足為，在中，，∴，∴空調(diào)擋風(fēng)板頂部到墻體的距離約為；（2）解：過點作，垂足為，由題意得：，，在中，，，，，在中，，，，∴陰影的長約為．【變式3】（2025·遼寧大連·一模）如圖1是一輛曲臂云梯消防車的實物圖，圖2和圖3是其工作示意圖．曲臂云梯消防車伸縮臂和曲臂可分別繞點A，點B在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，它們的張角分別為和，且當(dāng)張角滿足，時，才能保證消防車在伸展和旋轉(zhuǎn)過程中的穩(wěn)定性．已知，且，當(dāng)伸縮臂和曲臂完全伸出時，長為，長為．(1)如圖2，若，，求的長；(2)如圖3，當(dāng)達到最大角度時，云梯的頂端C升到最高處，求此時的長．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)．）【答案】(1)的長為(2)此時的長約為【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練運用三角函數(shù)表示邊與邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）分別過點作于點，作于點，可得，則可求得，再加上，即可解答；（2）分別過點作于點于點于點，解直角三角形求得和，再加上，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，分別過點作于點，作于點，．，．，，．四邊形為矩形．．，．，在中，．．．答：的長為．（2）解：如圖，分別過點作于點于點于點，．由（1）得，四邊形為矩形．．，，在中，，．同理：．．答：此時的長約為．易錯點一：網(wǎng)格中求三角函數(shù)的值，構(gòu)造直角三角形易錯求角的正切值、勾股定理與網(wǎng)格問題、在網(wǎng)格中判斷直角三角形例1．（2025·江蘇連云港·一模）在網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在的網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，那么的值為．【答案】/【知識點】求角的正切值、勾股定理與網(wǎng)格問題、在網(wǎng)格中判斷直角三角形【分析】本題主要考查了解直角三角形．根據(jù)所給網(wǎng)格，連接，利用勾股定理及逆定理得出與垂直，再結(jié)合正切的定義即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖所示：設(shè)小正方形網(wǎng)格的邊長為，則由勾股定理得：，，，∴，∴是直角三角形，且，在中，，故答案為：．變式1：（2025·云南昆明·一模）如圖，的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為．【答案】1【知識點】求角的正切值【分析】過點A作于H，根據(jù)正切的定義解答即可．本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【詳解】解：過點A作于H，在中，，故答案為：變式2：（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，相交于點P，則的值是．【答案】2【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、求角的正切值【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵準確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．首先連接，由題意易得，∽，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，繼而求得答案．【詳解】解：如圖，連接交于點，四邊形是正方形，，，，，，根據(jù)題意得：，，，，，在中，，，，故答案為：．變式3：（2025·江蘇徐州·一模）如圖，由8個全等的菱形組成的網(wǎng)格中，已知，其中點都在格點上，則的值為．【答案】【知識點】利用菱形的性質(zhì)求角度、求角的正切值、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長交格點于點，連接，分別在格點上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進而得出，解直角三角形求得的長，根據(jù)對頂角相等，進而根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交格點于點，連接，分別在格點上，依題意，，∴∴設(shè)∴∴故答案為：．變式4：（2025·新疆喀什·一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是2，是的外接圓，點，，在網(wǎng)格線的交點上，則的值是．【答案】//【知識點】同弧或等弧所對的圓周角相等、求角的正弦值、勾股定理與網(wǎng)格問題【分析】本題主要考查了求角的正弦值，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，取格點D，連接，可根據(jù)網(wǎng)格的特點和勾股定理得到，則可解得到的正弦值，再由即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，取格點D，連接，由網(wǎng)格的特點可得，∴，∴，∵，∴，故答案為：．易錯點二：與三角函數(shù)中圖形未定產(chǎn)生多解本題考查了正切的定義：在直角三角形中，一個銳角的正切等于這個角的對邊與鄰邊的比值．也考查了矩形的性質(zhì)以及分類討論思想的運用．例1．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）已知矩形，，，點是直線上一點，若，則．【答案】或1【知識點】求角的正切值、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查了正切的定義：在直角三角形中，一個銳角的正切等于這個角的對邊與鄰邊的比值．也考查了矩形的性質(zhì)以及分類討論思想的運用．分類討論：當(dāng)點P在邊上，根據(jù)矩形的性質(zhì)有，，，，得，得到；當(dāng)點P在邊的延長線上，得，得到．【詳解】解：此題有兩種可能：（1）點P在線段上時.

∵矩形中，，，點是直線上一點，，∴，∵，∴；（2）點P在的延長線上時，，∴．綜上，或．故答案為：或1．變式1：（2025·北京·一模）已知中，，，，則．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查解直角三角形和勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．分是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，過點A作交于點D，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)計算出，再結(jié)合勾股定理計算出、的長，即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)是鈍角三角形時，過點A作交延長線于點D，∵，∴，在中，，在中，，∴，如圖，當(dāng)是銳角三角形時，過點A作交于點D，同理可得，，故答案為：或．變式2：（2025·河南周口·一模）在四邊形中，，，，為其對角線，且．若四邊形滿足有一組對邊平行，則的長為．【答案】或1【知識點】等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形的相關(guān)計算、含30度角的直角三角形【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識，分和兩種情況討論即可．【詳解】解∶當(dāng)時，如圖，∵，，，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時，如圖，∵，，∴，∵，∴，又，∴是等邊三角形，∴，綜上，的長為或1，故答案為：或1．變式3：（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）四邊形為菱形，，，點E在上，連接，，則的長為．【答案】1或3【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、解直角三角形的相關(guān)計算、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查解直角三角形、菱形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵；如圖，過點A作于點F，由題意可分當(dāng)點E在點F的左側(cè)和右側(cè)進行分類求解即可．【詳解】解：過點A作于點F，如圖，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，當(dāng)點E在點F的左側(cè)時，如圖，∵，∴，∴；當(dāng)點E在點F的右側(cè)時，此時點E與點重合，如圖，同理可得：，∴；故答案為1或3．變式4：（2025·上海·模擬預(yù)測）中，，．點D在邊上，取射線上一點P，將沿直線翻折至的位置，延長交邊于點F，射線交邊于點E．若，且點C在邊上，則線段與線段長度的比值為．【答案】或【知識點】用勾股定理解三角形、折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、已知正弦值求邊長【分析】連接，設(shè)，根據(jù)正弦的定義和勾股定理可得，，由翻折的性質(zhì)得，得到，，進而得到，得到，設(shè)，在中利用勾股定理解出的值，表示出和，根據(jù)題意對點的位置分2種情況討論：①在點左側(cè)；②在點右側(cè)，分別過點作交于點，過點作交于點，交于點，再利用相似三角形的知識分別求出對應(yīng)和的值，最后利用即可求解．【詳解】解：連接，在中，，設(shè)，則，，由翻折的性質(zhì)得，，，，點P在射線上，，又，，，點C在邊上，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，，，；①若在點左側(cè)，則，如圖，過點作交于點，過點作交于點，交于點，，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，，；②若在點右側(cè)，則，如圖，過點作交于點，過點作交于點，交于點，同理①中的方法可得：，，；綜上所述，線段與線段長度的比值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、翻折的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點，學(xué)會添加平行線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強的輔助線構(gòu)造能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生．變式5：（2025·湖南長沙·一模）如圖，在中，，，E是邊上一點，將沿直線翻折，點B的對應(yīng)點為，如果，那么的值為．【答案】或【知識點】折疊問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的計算與運用，折疊的性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，設(shè)，運用勾股定理可得，分類討論：如圖所示，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點為，，設(shè)交于點，運用勾股定理可得，由平行可證，可得解得，，再證，可得即可求解；將沿直線翻折，點的對應(yīng)點為，，延長交于點，運用勾股定理可得，由折疊與平行的性質(zhì)可得，則，再證，得到即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，設(shè)，∴，如圖所示，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點為，，設(shè)交于點，∴，，在中，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得，，同理，，∴，∴，解得，，∵折疊，∴，∵，∴，∴，且，∴，∴，即，整理得，，∵，∴；如圖所示，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點為，，延長交于點，∴，∴，，∵折疊，∴，，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴；綜上所述，的值為或，故答案為：或．易錯點三：實物情景未抽象出幾何圖形本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是抽象出幾何圖形。例1．（2025·遼寧沈陽·一模）拉桿箱是外出旅行常用工具．某種拉桿箱如圖所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形，的長度為，兩節(jié)可調(diào)節(jié)的拉桿長度相等，且與在同一條直線上．如圖1，當(dāng)拉桿伸出一節(jié)（）時，與地面夾角；如圖2，當(dāng)拉桿伸出兩節(jié)（）時，與地面夾角，已知兩種情況下拉桿把手點距離地面高度相同．求每節(jié)拉桿的長度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】每節(jié)拉桿長【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用．設(shè)每節(jié)拉桿長為，則圖1中，，圖2中，，在圖1中，過點作于點，利用三角函數(shù)可得；在圖2中，過點作于點，利用三角函數(shù)可得，結(jié)合兩種情況下拉桿把手點距離地面高度相同，可得關(guān)于的方程并求解，即可獲得答案．【詳解】解：設(shè)每節(jié)拉桿長為，則圖1中，，圖2中，，在圖1中，過點作于點，在中，，，，在圖2中，過點作于點，在中，，，，，，解得：．答：每節(jié)拉桿長．變式1：（2025·河南駐馬店·一模）某實踐活動小組閱讀了古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》后，他們欲測量球罐外斜梯的長度，實施了如下方案：先測得球罐最低處離地面高度米．接著一人站在球罐最高點處，看到斜梯末端處恰好被斜梯頂端E遮擋（此時與相切），已知過切點恰有一水平橫梁交于斜梯末端F處．(1)連接，求證：；(2)若眼睛與點的距離為1.5米，，求斜梯的長．【答案】(1)見解析(2)18米【知識點】切線的性質(zhì)定理、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、應(yīng)用切線長定理求解【分析】本題主要涉及圓的切線性質(zhì)、切線長定理以及解直角三角形的相關(guān)知識，熟知相關(guān)性質(zhì)是正確解答此題的關(guān)鍵．（1）通過圓的切線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)來證明角相等；（2）先根據(jù)已知的正弦值和線段長度求出相關(guān)直角三角形的邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出斜梯的長．【詳解】（1）解：由題意得：，均與相切，，又四邊形內(nèi)角和為，，又，；（2）解：設(shè)半徑為，在中，，即，解得，在Rt中，（米），，米根據(jù)切線長定理可知米．變式2：（2025·江西·一模）圖1是一種柜廂可收納的貨車，圖2，圖3是其柜廂橫截面簡化示意圖，忽略柜廂板的厚度，由上、下廂板，可對折側(cè)廂板組成，已知．當(dāng)廂板收起時，恰好與重合，點C，D重合均落在中點處，當(dāng)廂板升起過程中，有．(1)如圖2，當(dāng)上廂板從重合到完全升起到時，求點C，D在此過程中運動的路程總長；(2)如圖3，當(dāng)上廂板EF升起到時，求此時點C，D之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)(2)【知識點】求弧長、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了弧長公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)弧長公式求解即可；（2）如圖（2），分別過點C，D作，垂足分別為點M，N．由(1)知，易證可得，再解直角三角形可得，最后根據(jù)點C，D之間的距離為求解即可．【詳解】（1）解：如圖（1）：當(dāng)廂板收起時恰好與重合，點C，D重合均落在中點處，，∴，∴點C，D在此過程中運動的路徑的總長度為．（2）解：如圖（2），分別過點C，D作，垂足分別為點M，N．由(1)知，又∵∴，∴，在中，，∴，∴點C，D之間的距離為．變式3：（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保護環(huán)境，從我做起”，圖1是一種搖蓋垃圾桶的實物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其蓋子可整體繞點所在的軸旋轉(zhuǎn)．現(xiàn)測得，，，，．(1)如圖3，將整體繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)時，求的度數(shù)．(2)求點到的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意，可以求解和的度數(shù)，根據(jù)，求得，即可求解；（2）過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據(jù)平分，求得，求得的度數(shù)，進而求得的長度，從而求解；【詳解】（1）解：，，，，，，故；（2）解：如圖：過點作，垂足為，過點作，垂足為，，，平分，而∴在中，，又，，∴在中，，，，，，，到的距離為；變式4：（2025·廣東珠?！ひ荒＃﹫D1是我國古代提水的器具枯槔（），創(chuàng)造于春秋時期．它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點架在作為杠桿的竹梯上．大竹竿末端懸掛一個重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水桶．其原理是