2025屆高考數(shù)學模擬試題（卷）（2）（教師版）VIP

2025屆高考數(shù)學模擬試題（卷）（二）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知向量，.若，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由，得，解得.故選：D.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，所以.故選：B.3．若拋物線的準線為直線，則截圓所得的弦長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的準線方程為，圓的圓心為原點，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，截圓所得的弦長為，故選：A.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，所以，又因為，所以，所以.故選：C.5．對任意實數(shù)x，有.則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．（，1，…，9）的最大值為C． D．【答案】A【詳解】對于A，令，得，故A錯誤；對于B，由，則展開式的通項公式為，所以為負，為正，當時，計算可得，，，，，所以（，1，…，9）的最大值為，故B正確；對于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正確；對于D，由B可知，故D正確.故選：BCD.6．已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（

）A．B．C．D．與的大小關(guān)系無法判斷【答案】C【詳解】根據(jù)已知條件第一組數(shù)據(jù)的個數(shù)為個，且，所以，，第二組數(shù)據(jù)的個數(shù)為個，且平均數(shù)，，因為，所以.故選：C7．白舍窯位于江西省南豐縣白舍鎮(zhèn)，是宋元時期“江西五大名窯”，其瓷器以白瓷最為聞名，素有“白如玉，薄如紙”的特點．如圖是白舍窯生產(chǎn)的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部為一個圓臺，下部實心且外形為圓柱．現(xiàn)測得底部直徑為6cm，上部直徑為12cm，茶杯側(cè)面與水平面的夾角為，則該茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不計）約為（

）（單位：）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓臺的體積即為該茶杯容量，如圖，cm，cm，過點分別作⊥，⊥于點，則cm，cm，其中圓臺的高為cm，故圓臺體積為.故選：D8．已知是定義在上的增函數(shù)，且存在函數(shù)使得，若，分別是方程和的根，則（

）A．4B．3C．2 D．1【答案】B【解析】是的根，，即，①是的根，，即，存在函數(shù)使得，，②是定義在上的增函數(shù)，在上單調(diào)遞增，由①②可得，，又，即，，即.故選：B.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法中，正確的命題是（

）A．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B．口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數(shù)為隨機變量，則的數(shù)學期望C．若隨機變量，當不變時，越小，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越矮胖D．對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是.【答案】ABD【解析】對于A，若兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強，則線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故A正確；對于B，隨機變量服從幾何分布，所以，其中，即，故B正確；對于C，根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義，越大表示隨機變量的分布越分散，則該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越矮胖，故C錯誤；對于D，取出兩件中至少有一件正品的概率,取出兩件都是正品的概率，由條件概率的意義可知，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是，故D正確.故選：ABD．10．若實數(shù)滿足，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】由平方不等式可得：，代入，則，取等號條件是，故A正確；B錯誤；令，則，由于存在滿足上式成立，則，即，故D正確，C錯誤；故選：AD.11．已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線關(guān)于軸對稱B．曲線上的點到軸的距離的最大值為1C．若，且點在上，則1D．若曲線與圓只有2個公共點，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】把點關(guān)于軸對稱的點代入軌跡方程成立，A正確．因為，所以，所以曲線上的點到軸的距離的最大值為1，正確．因為，所以．當時，因為點在上，所以．因為，所以，即．當時，因為點在上，所以．因為，所以．故1，C正確．聯(lián)立得．當時，，當時，，即是曲線與圓的2個公共點．因為曲線與圓只有2個公共點，所以方程除外沒有其他解．因為，所以4，所以，D錯誤．故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若，均為單位向量，且，則．【答案】/【詳解】作，以線段為一組鄰邊作平行四邊形，如圖，則，而，均為單位向量，則，因此為菱形，.故答案為：13．在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、C．已知．若，點D在邊AB上，CD為的平分線，且，則邊長a=．【答案】4【解析】（1），由正弦定理得，又，所以，即，因為，所以，故，即，又，所以；又CD為的平分線，故，其中，由三角形面積公式得，，又，顯然，即，解得.14．2025年春晚，一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾.現(xiàn)在編排一個動作，機器人從原點出發(fā)，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次.求該機器人在有且僅有一次經(jīng)過（含到達）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為.【答案】【詳解】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“水平方向移動2次”，按到位置需要1步，3步分類討論.記向左，向右，向上，向下，（1）若1步到位為事件，則滿足要求的是或或或或，或或或或，所以；（2）若3步到位為事件，則滿足要求的是所以；所以，滿足的情況有：或或或或.所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）已知數(shù)列滿足，，且對任意的，，都有.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）依題意，對任意的，，都有，故對任意的，，，所以對任意的，，，即為定值，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，據(jù)，，得，，所以，解得，故，所以（2）由（1）可知，，所以當，，，又符合上式，所以所以，故，因為，，所以16．（15分）在三棱錐中，，.為的中點，為的中點，平面.

(1)求證：平面平面；(2)若與底面所成角的正切值是2，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，延長與相交于M，連接根據(jù)，為的中點，則，，則，在中，，為的中點，則.在中，，則，同理在中，，在中，，由于，則，即.已知平面，平面，則.平面，且.則平面，平面，則平面平面.（2）由于平面.，則可以為x軸，為y軸，過O作，可作為z軸，建立空間直角坐標系.由于平面.則若與底面所成角為，根據(jù)題意，，則.得到相關(guān)點坐標：，根據(jù)向量坐標運算，可得，，.設(shè)平面的法向量為，則且.①；②；由①得，將代入②可得：，令，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，同理且.③；④；③+④得，即，將代入③可得：，令，則，所以.設(shè)二面角為，且；；.所以.通過觀察圖形可知二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.

17．（15分）紅鈴蟲（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān).現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個）和溫度x（℃）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖.

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：表中；；；；(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；(2)根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并求溫度為34℃時，產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報值.（參考數(shù)據(jù)：，，，）附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.252.8964616842268848.4870308【答案】(1)應(yīng)該選擇模型①，理由見解析(2)；250個【分析】（1）由模型①的殘差點比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域以及帶狀區(qū)域的寬度窄，所以選擇模型①比較合適；（2）令，z與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則，利用公式和數(shù)據(jù)求出和，則可以得到y(tǒng)關(guān)于溫度x的回歸方程，當時，可求出產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報值.【詳解】（1）應(yīng)該選擇模型①.由于模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報精度相應(yīng)就會越高，故選模型①比較合適（2）令，z與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則.，所以，則z關(guān)于x的線性回歸方程為.于是有，所以產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為當時，（個）.所以，在氣溫在34℃時，一個紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)的預(yù)報值為250個18．（17分）已知橢圓的離心率，過點的動直線與橢圓相交于兩點，當直線與軸垂直時，直線被橢圓截得的線段長為3.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于，兩點，是橢圓上一動點（不同于，），記，，分別為直線，，的斜率，且滿足，求點的坐標（用表示）；(3)過左焦點的直線交橢圓于，兩點，是否存在實數(shù)，使恒成立？若存在，求此時的最小值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)或，其中.(3)存在，3【解析】（1）解：由題意，可得點在橢圓上，且橢圓的離心率，所以，解得，所以橢圓的方程為.（4分）（2）解：設(shè)點，因為點在橢圓上，所以，即.同理，設(shè)點，則，且，又因為直線過原點，所以關(guān)于原點對稱，所以點，所以，可得，（6分）聯(lián)立方程組，整理得，解得或，用代替上述坐標中的，可得或，其中.（9分）（3）解：由（1）知，左焦點，當直線斜率為零時，不妨設(shè)，，則，，可得，，存在，使成立；當直線的斜率不為零時，設(shè)直線方程為，且，，聯(lián)立方程組，整理得，（11分）可得，所以，，則，，因為，，所以，所以，又因為，所以當時，最小，最小值為3，綜上，存在，使恒成立，此時的最小值為3.（17分）19．（17分）對于任意兩個正數(shù)，記區(qū)間上曲線下的曲邊梯形面積為，并規(guī)定，，記，其中．(1)若時，求證：；(2)若時，求證：；(3)若，直線與曲線交于，兩點，求證：（其中為自然常數(shù)）．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）因為，且，當時可知，所以，，所以成立；（2）解法一：要證，即證，如圖可知，為與，以及軸所圍成的曲邊梯形的面積．若直線與曲線交于點，過做的切線，分別交，于，，過做軸的平行線分別