2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單專題03 平面直角坐標(biāo)系與函數(shù) (4大模塊知識梳理+9個考點(diǎn)+3個易錯點(diǎn))解析版VIP

專題03平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識梳理）

知識模塊一：平面直角坐標(biāo)系知識模塊二:點(diǎn)的坐標(biāo)特征與變換

知識模塊三：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用知識模塊四：函數(shù)

03究·考點(diǎn)考法：對考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：用有序數(shù)對表示位置考點(diǎn)二：實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

考點(diǎn)三：判斷點(diǎn)所在的象限考點(diǎn)四：直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

考點(diǎn)五：點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索考點(diǎn)六：點(diǎn)的坐標(biāo)變換

考點(diǎn)七：自變量和函數(shù)值考點(diǎn)八：函數(shù)解析式

考法九：函數(shù)圖象

04辨·易混易錯：點(diǎn)撥易混易錯知識點(diǎn)，沖刺高分。（3大易錯點(diǎn)）

易錯點(diǎn)1：函數(shù)圖像中的動點(diǎn)問題

易錯點(diǎn)2：平面直角坐標(biāo)系中的面積問題

易錯點(diǎn)3：函數(shù)圖像中的動點(diǎn)問題

1

知識模塊一：平面直角坐標(biāo)系

平面直角坐標(biāo)系的定義

平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸,構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對之

間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系

知識模塊二:點(diǎn)的坐標(biāo)特征與變換

知識點(diǎn)一：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征

各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征(1)P(a,b)在第一象限?a>0,b>0

(2)P(a,b)在第二象限?a<0,b>0

(3)P(a,b)在第三象限?a<0,b<0(4)P(a,b)在第四象限?a>0,b<0

坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(1)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限:

(2)P(a,b)在x軸上?b=0

(3)P(a,b)在y軸上?a=0

象限的角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分線上,則a=b;

(2)若P(a,b)在二、四象限的角平分線上,則a+b=0

知識點(diǎn)二：圖形變換與點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律

圖形變換點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律

對

稱

變關(guān)于軸點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為

換xA(a,b)xB(a,-b)

2

關(guān)于y軸點(diǎn)A(a,b)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(-a,b)

關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為D(-a,-b)

左右平移將點(diǎn)P(a,b)向左或向右平移h個單位，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a-h,b)或(a+h,b)

平

移

變

換

上下平移將點(diǎn)P(a,b)向上或向下平移k個單位，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b+k)或(a,b-k)

知識點(diǎn)三：點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P，則

1）點(diǎn)P到軸的距離為；(?,?)

2）點(diǎn)P到x軸的距離為b；

3）點(diǎn)P到原y點(diǎn)O的距離為?P＝.

22

?+?

知識點(diǎn)四：坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離的求法（難點(diǎn)）

位置點(diǎn)的坐標(biāo)距離公式

在同一水平線上；

????

在同一豎直線上?(?,?),?(?,?)???；

任意兩點(diǎn)M（x?，(?y,?）?)，,?N(（?,x??，)y）?????

1122（

22

??=?2??1)+(?2??1)

知識模塊三：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

用坐標(biāo)表示地理位置的方法

1）選擇一個適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并確定x軸、y軸的正方向；

3

2）根據(jù)具體問題確定適當(dāng)?shù)谋壤撸谧鴺?biāo)軸上標(biāo)出長度單位；

3）坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點(diǎn)，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個地點(diǎn)的名稱.

知識模塊四：函數(shù)

知識點(diǎn)一：函數(shù)的相關(guān)概念

1.函數(shù)的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y

都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù).

2.函數(shù)的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.

類型自變量x的取值范圍.

整式型全體實(shí)數(shù)；

分式型分母不能為零

偶次根式型使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)

零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)

混合型各個代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分

實(shí)際問題使實(shí)際問題有意義的實(shí)數(shù)

3.畫函數(shù)圖象的步驟:列表、描點(diǎn)、連線.

4.函數(shù)值概念：如果在自變量取值范圍內(nèi)給定一個值a，函數(shù)對應(yīng)的值為b，那么b叫做當(dāng)自變量取值為a

時的函數(shù)值.

5.函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式.

6.函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與解析式之間的關(guān)系：

1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點(diǎn)在解析式上，反之，不在.

2）兩個函數(shù)圖形交點(diǎn)的坐標(biāo)就是這兩個解析式所組成的方程組的解.

知識點(diǎn)二：函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

解析法：兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運(yùn)算符號的等式表示，這種表示

法叫做解析法.

列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法.

圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法.

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

解析法準(zhǔn)確反映整個變化過程中自變量與函數(shù)的關(guān)系求對應(yīng)值是要經(jīng)過比較復(fù)雜的計(jì)算，而且實(shí)

4

際問題中有的函數(shù)值不一定能用解析式表示

列表法自變量和與它對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)據(jù)一目了然所列對應(yīng)數(shù)值個數(shù)有限，不容易看出自變量

與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，有局限性

圖像法形象的把自變量和函數(shù)值的關(guān)系表示出來圖像中只能得到近似的數(shù)量關(guān)系

考點(diǎn)一：用有序數(shù)對表示位置

【典例1】（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測）電影院中的第a排b號位，簡記為a,b，那么b,a（）

A．表示ab排a號

B．表示第b排a號位

C．表示b排或a號

D．與a,b不可能代表同一個位置

【答案】B

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】用有序數(shù)對表示位置

【分析】本題考查了用有序數(shù)對表示位置，根據(jù)題意進(jìn)行解答即可．

【詳解】解：∵電影院中的第a排b號位，簡記為a,b，

∴b,a表示第b排a號位，

故選：B．

【典例2】（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的

《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長10步到60

步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對田地的

長和寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對記為15,16，那

么有序數(shù)對記為12,17對應(yīng)的田地面積為（）

5

A．一畝八十步B．一畝二十步C．半畝七十八步D．半畝八十四步

【答案】D

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】用有序數(shù)對表示位置

【分析】根據(jù)15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．

本題考查了坐標(biāo)與位置的應(yīng)用，熟練掌握坐標(biāo)與位置的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】根據(jù)15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，

故12,17對應(yīng)的是半畝八十四步，

故選D．

【典例3】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖所示為雷達(dá)在一次探測中發(fā)現(xiàn)的三個目標(biāo)，其中目標(biāo)A，B的

位置分別表示為120，4，240，3，按照此方法可以將目標(biāo)C的位置表示為（）

A．30，1B．210，5C．30，5D．60，2

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】用有序數(shù)對表示位置

【分析】本題考查了有序數(shù)對的應(yīng)用．理解題意是解題的關(guān)鍵．

由目標(biāo)A，B的位置分別表示為120，4，240，3，可知目標(biāo)C的位置表示為(30°，5)．

6

【詳解】解：∵目標(biāo)A，B的位置分別表示為120，4，240，3，

∴目標(biāo)C的位置表示為(30°，5)，

故選：C．

【典例4】（2024·江蘇鹽城·三模）小民和小澤兩姐弟拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜漢字的游戲，若聽到“咚

咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，則聽到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表

示的漢字可能為（）

4rkwbe

3thgil

2adyuj

1ocnfx

12345

A．漢B．華C．鹽D．音

【答案】C

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】用有序數(shù)對表示位置

【分析】本題考查了有序數(shù)對表示位置，根據(jù)題意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是

“kuo”，表示2,4，4，2，1，1的對應(yīng)的字母為“kuo”，則“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示

3,2，1，2，3，1對應(yīng)的字母為“yan”，即可求解，理解題意是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“kuo”，

∴“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示2,4，4，2，1，1的對應(yīng)的字母為“kuo”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示3,2，1，2，3，1對應(yīng)的字母為“yan”，

∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的漢字可能是：“鹽”，

故選：C．

考點(diǎn)二：實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

【典例1】（2024·廣西南寧·二模）中國陽明文化園部分平面圖如圖所示，若用(0,0)表示王陽明紀(jì)念館的位

置，用(1,3)表示游客接待中心的位置，則南門的位置可表示為（）

7

A．(2,3)B．(2,3)C．(3,2)D．(3,2)

【答案】A

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

【分析】本題考查用坐標(biāo)表示位置，根據(jù)題意直接寫出南門位置的坐標(biāo)即可．

【詳解】解：南門的位置是2,3，

故選：A

【典例2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）“在生活的舞臺上，我們都是不屈不撓的拳擊手，面對無盡的挑戰(zhàn)，揮灑

汗水，拼搏向前！”今年的春節(jié)檔《熱辣滾燙》展現(xiàn)了角色堅(jiān)韌不拔的精神面貌，小星、小紅兩人也觀看了

此電影．如圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的影院內(nèi)分布圖，若分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，

建立平面直角坐標(biāo)系xOy，他們這樣描述自己的座位：①小星：表示我座位的坐標(biāo)為2,3；②小紅：在小

星的座位向右走4個座位，再向上走2個座位，就可以找到我了，則表示小紅座位的坐標(biāo)為．

【答案】2,5

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

【分析】本題考查坐標(biāo)確定位置．根據(jù)小星座位的坐標(biāo)為(2,3)，建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而分別分析得出

答案．

8

【詳解】解：∵小星座位的坐標(biāo)為，

∴建立平面直角坐標(biāo)系如圖，?2,3

∴小紅座位的坐標(biāo)為2,5，

故答案為：2,5．

【典例3】（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，小星從點(diǎn)O出發(fā)，先向西走400m，再向南走300m到達(dá)點(diǎn)M，

如果點(diǎn)M的位置用4,3表示，那么1,2表示的位置是點(diǎn)．

【答案】B

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

【分析】本題考查坐標(biāo)確定位置，根據(jù)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的確定方法解答即可．

【詳解】解：∵點(diǎn)M的位置用4,3表示，實(shí)際意義為從點(diǎn)O出發(fā)，先向西走400m，再向南走300m，

∴網(wǎng)格中一個小正方形邊長為100m，

∴1,2表示的位置實(shí)際意義為從點(diǎn)O出發(fā)，先向東走100m，再向北走200m，對應(yīng)的是點(diǎn)B，

故答案為：B．

【典例4】（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）我國水墨畫發(fā)展有著悠遠(yuǎn)歷史，相傳始于唐代，成于五代，盛于宋

元，明清及近代以來續(xù)有發(fā)展，重于意境優(yōu)美，圖為水墨畫“早有蜻蜓立上頭”，若將其放在平面直角坐標(biāo)系

中，點(diǎn)A2,1，B1,1，則點(diǎn)C坐標(biāo)為．

9

【答案】3,2

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，找出原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)點(diǎn)C的

位置，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．解題關(guān)鍵是熟練掌握根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，找出坐標(biāo)原點(diǎn)．

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)點(diǎn)A2,1，B1,1，建立坐標(biāo)系，如圖所示：

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：3,2，

故答案為：3,2．

【典例5】（2024·四川·中考真題）如圖，在一個平面區(qū)域內(nèi)，一臺雷達(dá)探測器測得在點(diǎn)A，B，C處有目標(biāo)

出現(xiàn)．按某種規(guī)則，點(diǎn)A，B的位置可以分別表示為1,90,2,240，則點(diǎn)C的位置可以表示為．

【答案】3,30

【難度】0.85

10

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

【分析】本題考查了坐標(biāo)確定位置，根據(jù)題意得到圓圈數(shù)表示有序數(shù)對的第一個數(shù)，度數(shù)表示有序數(shù)對的

第二個數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：圓圈數(shù)表示有序數(shù)對的第一個數(shù)，度數(shù)表示有序數(shù)對的第二個數(shù)，

可得答案．

【詳解】解：∵A，B的位置分別表示為1,90,2,240．

∴目標(biāo)C的位置表示為3,30．

故答案為：3,30

【典例6】（2024·貴州六盤水·一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤

坐標(biāo)的1,2上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是．

【答案】6,2

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中用坐標(biāo)表示位置

【分析】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，根據(jù)1,2建立坐標(biāo)系，再確定小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)即可.

【詳解】解：如圖，

小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是6,2，

故答案為：6,2．

考點(diǎn)三：判斷點(diǎn)所在的象限

【典例1】（2024·貴州·中考真題）為培養(yǎng)青少年的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)思維，某校創(chuàng)建了“科技創(chuàng)新”社團(tuán)．小

紅將“科”“技”“創(chuàng)”“新”寫在如圖所示的方格紙中，若建立平面直角坐標(biāo)系，使“創(chuàng)”“新”的坐標(biāo)分別為2,0，

11

0,0，則“技”所在的象限為（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】判斷點(diǎn)所在的象限

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，先根據(jù)題意確定平面直角坐標(biāo)系，然后確定點(diǎn)的位置．

【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則“技”在第一象限，

故選A．

【典例2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知一次函數(shù)ym3xn3的圖象如圖所示，則點(diǎn)P(mn，2n)

所在的象限為()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍、判斷點(diǎn)所在的象限、求一元一次不等式的解集、不等式的性

質(zhì)

【分析】由圖象經(jīng)過第一、三、四象限可知k0,b0求出m3,n3，再根據(jù)不等式的性質(zhì)得到

mn0,2n0，即可判斷所處象限．

m30

【詳解】解：由題意得，，

n30

12

∴m3,n3，

∴n3，

∴mn6，2n6

∴mn0,2n0，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解一元一次不等式，點(diǎn)的坐標(biāo)特征，不等式的性質(zhì)，熟

練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

【典例3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑

1

畫弧，交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸正半軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，

2

兩弧在第一象限交于點(diǎn)H，畫射線OH，若H2a1,a1，則a．

【答案】2

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的性質(zhì)定理、坐標(biāo)與圖形

【分析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H在第一

象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號可得答案．

【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)H在第一象限角平分線上；點(diǎn)H橫縱坐標(biāo)相等且為正數(shù)；

2a1a1，

解得：a2，

故答案為：2．

【典例4】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）已知a+b<0，ab0，則在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，小手蓋

住的點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（）

13

A．a(chǎn),bB．a(chǎn),bC．a(chǎn),bD．a(chǎn),b

【答案】B

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、判斷點(diǎn)所在的象限

【分析】本題主要考查了判斷點(diǎn)所在的象限，熟知每個象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)a+b<0，ab0，得到a0，

b0，觀察圖形判斷出小手蓋住的點(diǎn)在第四象限，據(jù)此解答即可；

【詳解】ab0，

a、b同號，

a+b<0，

a0，

b0，

A．a(chǎn),b在第三象限，因?yàn)樾∈稚w住的點(diǎn)在第四象限，故此選項(xiàng)不符合題意；

B．a(chǎn)，b在第四象限，因?yàn)樾∈稚w住的點(diǎn)在第四象限，故此選項(xiàng)符合題意；

C．a(chǎn)，b在第一象限，因?yàn)樾∈稚w住的點(diǎn)在第四象限，故此選項(xiàng)不符合題意；

D．a(chǎn)，b在第二象限，因?yàn)樾∈稚w住的點(diǎn)在第四象限，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B．

3

【典例5】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點(diǎn)Px,y在直線yx4上，坐標(biāo)x,y是二元一次方程

4

5x6y33的解，則點(diǎn)P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】代入消元法、判斷點(diǎn)所在的象限、兩直線的交點(diǎn)與二元一次方程組的解

3

yx4

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，解二元一次方程組等知識，聯(lián)立方程組4，求

5x6y33

出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可判斷．

14

3

yx4

【詳解】解∶聯(lián)立方程組4，

5x6y33

x6

解得1，

y

2

1

∴P的坐標(biāo)為6,，

2

∴點(diǎn)P在第四象限，

故選∶D．

【典例6】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中有五個點(diǎn)，分別是

A1,2，B3,4，C2,3，D43,，E2,3從中任選一個點(diǎn)恰好在第二象限的概率是．

1

【答案】

5

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】列舉法求概率、判斷點(diǎn)所在的象限

【分析】本題考查了列舉法求概率，第二象限的點(diǎn)坐標(biāo)的特征．熟練掌握列舉法求概率，第二象限的點(diǎn)坐

標(biāo)的特征是解題的關(guān)鍵．

由題意知，B3,4在第二象限，然后求概率即可．

【詳解】解：由題意知，B3,4在第二象限，

1

∴任選一個點(diǎn)恰好在第二象限的概率是，

5

1

故答案為：．

5

【典例7】（2024·湖南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)，若x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P

y??,?

為“整點(diǎn)”．特別地，當(dāng)（其中xy0）的值為整數(shù)時，稱“整點(diǎn)”P為“超整點(diǎn)”，已知點(diǎn)P2a4,a3在第

x

二象限，下列說法正確的是（）

A．a(chǎn)3

B．若點(diǎn)P為“整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個數(shù)為3個

C．若點(diǎn)P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個數(shù)為1個

D．若點(diǎn)P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10

【答案】C

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】已知點(diǎn)所在的象限求參數(shù)、求點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離、求不等式組的解集

15

【分析】本題考查了新定義，點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，各象限內(nèi)點(diǎn)的特征等知識，利用各象限內(nèi)點(diǎn)的特征求出a

的取值范圍，即可判斷選項(xiàng)A，利用“整點(diǎn)”定義即可判斷選項(xiàng)B，利用“超整點(diǎn)”定義即可判斷選項(xiàng)C，利用

“超整點(diǎn)”和點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離即可判斷選項(xiàng)D．

【詳解】解：∵點(diǎn)P2a4,a3在第二象限，

2a40

∴，

a30

∴3a2，故選項(xiàng)A錯誤；

∵點(diǎn)P2a4,a3為“整點(diǎn)”，3a2，

∴整數(shù)a為2，1，0，1，

∴點(diǎn)P的個數(shù)為4個，故選項(xiàng)B錯誤；

∴“整點(diǎn)”P為8,1，6,2，4,3，2,4，

1121334

∵，，，2

8863442

∴“超整點(diǎn)”P為2,4，故選項(xiàng)C正確；

∵點(diǎn)P2a4,a3為“超整點(diǎn)”，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為2,4，

∴點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和246，故選項(xiàng)D錯誤，

故選：C．

【典例8】（2024·甘肅·模擬預(yù)測）從小到大的三個整數(shù)：1，2，3，從中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)，在余下的兩個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

(1)請用畫樹狀圖或列表的方法寫出點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo)．

(2)在所有可能的點(diǎn)P中，求點(diǎn)P落在第二象限的概率．

【答案】(1)見解析

1

(2)

3

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】判斷點(diǎn)所在的象限、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率與直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征．注意樹狀圖法與列表法

可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上

完成的事件；注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

16

（1）首先根據(jù)題意畫出表格，即可得到P的所有坐標(biāo)；

（2）然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與點(diǎn)P落在第二象限的的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．

【詳解】（1）解：由題意知，列表如下：

縱坐標(biāo)

123

結(jié)果橫坐標(biāo)

12,13,1

21,23,2

31,3

2,3

（2）解：共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中點(diǎn)P落在第二象限的結(jié)果有1,2，1,3，共2個，

21

∴P(點(diǎn)P落在第二象限)

63

考點(diǎn)四：直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例1】（2024·貴州貴陽·一模）中國象棋趣味濃厚，基本規(guī)則簡明易懂，而棋子活動的場所，叫作“棋盤”．觀

察如圖所示象棋盤，以“炮”為原點(diǎn)，分別以正東、正北方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，請

寫出“馬”的坐標(biāo)是．

【答案】1,3

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

【分析】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出坐標(biāo)系，進(jìn)而確定公園

的坐標(biāo)．

17

【詳解】解：如圖所示：“馬”的坐標(biāo)是：1,3．

故答案為：1,3．

【典例2】（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知a，b都是實(shí)數(shù)，設(shè)點(diǎn)Pa，b，若滿足3a2b5，則稱點(diǎn)P

為“新奇點(diǎn)”．若點(diǎn)M(m1,3m2)是“新奇點(diǎn)”，則M的坐標(biāo)為．

【答案】5,10

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】解一元一次方程（二）——去括號、寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

【分析】本題考查新定義．根據(jù)新定義確定m的值．解題關(guān)鍵是理解新定義．

根據(jù)“新奇點(diǎn)”的定義，得方程3(m1)2(3m2)5．求解得出m的值，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可求解．

【詳解】解：∵點(diǎn)M(m1,3m2)是“新奇點(diǎn)”，

∴3(m1)2(3m2)5．

解得：m4．

∴m15,3m210．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為5,10．

故答案為：5,10．

111

【典例3】（2024·四川廣元·中考真題）若點(diǎn)Qx,y滿足，則稱點(diǎn)Q為“美好點(diǎn)”，寫出一個“美

xyxy

好點(diǎn)”的坐標(biāo)．

【答案】2,1（答案不唯一）

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】解分式方程、坐標(biāo)與圖形

18

【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以xy后去分母，令x代入一個數(shù)值，得到y(tǒng)的值，

以此為點(diǎn)的坐標(biāo)即可，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：等式兩邊都乘以xy，得xy1，

令，則，

?=2?=?1

∴“美好點(diǎn)”的坐標(biāo)為2，1，

故答案為2，1（答案不唯一）

【典例4】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖1所示，該幾何體為長方體，記作長方體ABCDA1B1C1D1，

如圖2所示，以頂點(diǎn)A1為原點(diǎn)O，分別以棱A1B1，A1D1，A1A所在的直線為x軸、y軸、z軸，建成的坐

標(biāo)系稱為立體坐標(biāo)系（亦稱三維坐標(biāo)系）Oxyz，立體空間中點(diǎn)的位置由三個有序的實(shí)數(shù)確定，記作x,y,z，

稱為該點(diǎn)的坐標(biāo)．若長方體的長寬高分別為A1B13，A1D12,A1A1，我們知道，在平面直角坐標(biāo)系Oxy

中，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為3,2，由點(diǎn)C1豎直向上平移1個單位可得到點(diǎn)C，所以點(diǎn)C在立體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記

為C3,2,1，由此可知點(diǎn)O和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別記為O0,0,0，B3,0,1．照此方法，請你確定點(diǎn)D在立

體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（）

A．1,0,3B．2,1,0

C．0,2,1D．1,2,1

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

【分析】本題考查了新定義以及坐標(biāo)與圖形，長方形的性質(zhì)，先理解題意，得出DD1CC11，

ADBCB1C12，結(jié)合點(diǎn)O和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別記為O0,0,0，B3,0,1，然后得出A0,0,1，最后得

D0,2,1，即可作答．

【詳解】解：依題意，∵在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為3,2，由點(diǎn)C1豎直向上平移1個單

19

位可得到點(diǎn)C，所以點(diǎn)C在立體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)記為C3,2,1，且長方體的長寬高分別為A1B13，

A1D12,A1A1，

∴DD1CC11，ADBCB1C12，

∵點(diǎn)O和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別記為O0,0,0，B3,0,1，

∴A0,0,1，

∵ADBCB1C12，

∴D0,2,1，

故選：C．

【典例5】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2，3，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，

且OAAB，將△OAB沿x軸向右平移得到ECD，AB與CE交于點(diǎn)F．若CF：EF3：1，則點(diǎn)D的坐標(biāo)

為．

【答案】7，0

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平移的性質(zhì)求解、由平行判斷成

比例的線段

EBEF1

【分析】由點(diǎn)A2，3，OAAB，可得B4，0，由平移的性質(zhì)可知，AB∥CD，EDOB4，則，

BDCF3

可求BD3，ODOBBD7，進(jìn)而可求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【詳解】解：∵點(diǎn)A2，3，OAAB，

∴B4，0，

由平移的性質(zhì)可知，AB∥CD，EDOB4，

EBEF1

∴，

BDCF3

解得，BD3EB，

∵EBBD4，

∴BD3，ODOBBD7，

20

∴D7，0，

故答案為：7，0．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行線分線段成比例，點(diǎn)坐標(biāo)等知識．熟練掌握等

腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行線分線段成比例，點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

【典例6】（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖所示，矩形OABC中，OA6,OC4,COx60，則點(diǎn)B的

坐標(biāo)為（）．

A．233,323B．233,233

C．23,23D．233,233

【答案】A

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、二次根式

的混合運(yùn)算

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，過點(diǎn)A作y軸的平行線交x軸與點(diǎn)E，過點(diǎn)

B過作該平行線的垂線垂足為點(diǎn)I，交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，解直角三角形，求

出CD23,OD2,AE3,OE33，利用矩形的性質(zhì)得到AIB30,ABOC4，求出BI2,AI23，

進(jìn)而求出EIAIAE323,BFOEBI332，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作y軸的平行線交x軸與點(diǎn)E，過點(diǎn)B過作該平行線的垂線垂足為點(diǎn)I，交y軸

于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，則CDOAEOBIABFO90，

∵矩形OABC中，OA6,OC4,COx60，

21

∴AOCOABABC90,ABOC4，

∴AOE180AOCOCD30，

∴OAE90AOE60，

同理，ABI60，

∴在RtOCD中，

ODOC·cos602,CDOC·sin6023，

∴在RtAOE中，

AEOA·cos603,OEOA·sin6033，

∴在RtABI中，

BIAB·cos602,AIAB·sin6023，

∵BFOFOEIEO90，

∴四邊形IEOF是矩形，

∴IFOE33

∴EIAIAE323,BFOEBI332，

∵點(diǎn)B在第二象限，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為:233,323

故選：A．

考點(diǎn)五：點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索

【典例1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P1，3繞點(diǎn)A2，0順時針旋轉(zhuǎn)90后

得到點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90后得到P2，再將點(diǎn)P2繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90后得到P3，依此類推，

則P2023的坐標(biāo)是（）

A．5，1B．3，3C．1，1D．1，3

【答案】C

22

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA

或者AAS）、點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索

【分析】本題考查坐標(biāo)規(guī)律探索，全等三角形的判定與性質(zhì)；

≌

過點(diǎn)P作PDx軸，過點(diǎn)P1作P1Ex軸，根據(jù)條件證明P1EAADPAAS，即可求得P15,1，同理可

得：P23,3，P31,1，即可求解．

【詳解】過點(diǎn)P作PDx軸，過點(diǎn)P1作P1Ex軸，如圖，

，，

∵點(diǎn)P13繞點(diǎn)A20順時針旋轉(zhuǎn)90后得到點(diǎn)P1

∴P1APA，PAP190

∴EAP1PAD90

∵EAP1APE90

∴PADAPE

∵P1EAPDA90

≌

∴P1EAADPAAS

∵P1，3，A2，0

∴AEPD3，OD1，OA2

∴ADP1E1

∴OEAEOA5

∴P15,1；

，

同理可得：P23,3，P31,1，P413…….

∵20234=505.....3

∴P20231,1

23

故選：C．

【典例2】（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2

2

米，圓心角為120的弧AB多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點(diǎn)P從A（A為坐標(biāo)原點(diǎn)）出發(fā)，以每秒

3

米的速度沿曲線向右運(yùn)動，則在第2024秒時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）

A．2B．1C．0D．1

【答案】C

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索、求弧長

【分析】本題考查弧長的計(jì)算、點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根

據(jù)題意和圖形，可以求得弧AB的長，然后由圖可知，每走兩個弧AB為一個循環(huán)，然后即可得到在第2024

秒時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．

12024

【詳解】解：l（米）；

AB1803

42

∵2（秒），

33

∴每4秒一個循環(huán)，

∵20244506，

∴在第2024秒時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，

故選：C．

【典例3】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)

為3,0，△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是，△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方

1,0

向?yàn)镺MNPOM）做無滑動滾動，第一次滾動后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是

；第二次滾動后，A1的對應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是；第三次滾動后，A2的對應(yīng)點(diǎn)記為A3，A3的

2,02,0

31

坐標(biāo)是；如此下去，，則的坐標(biāo)是．

3,……A2024

22

24

【答案】1,3

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長

【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動方式，依次求

出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1，A2，，A12的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．

【詳解】解：正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為3,0，

OMMNNPOP3,

△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是1,0，

等邊三角形高為3，

2

由題知，

A1的坐標(biāo)是2,0；

A2的坐標(biāo)是2,0；

31

的坐標(biāo)是；

A33,

22

繼續(xù)滾動有，A4的坐標(biāo)是3,2；

A5的坐標(biāo)是3,2；

53

的坐標(biāo)是；

A6,3

22

A7的坐標(biāo)是1,3；

A8的坐標(biāo)是1,3；

25

35

的坐標(biāo)是；

A9,

22

A10的坐標(biāo)是0,1；

A11的坐標(biāo)是0,1；

13

的坐標(biāo)是；

A12,

22

A13的坐標(biāo)是2,0；不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以A1，A2，，A12，12個為一組，

2024121688，

A2024的坐標(biāo)與A8的坐標(biāo)一樣為1,3，

故答案為：1,3．

【典例4】．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，

A69,3，A710,0，A811,3…，依此規(guī)律，則點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為．

【答案】2891,3

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索

【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知7個點(diǎn)

坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，A7n的坐標(biāo)為10n,0，據(jù)此可求得A2024的坐標(biāo)．

【詳解】解：∵A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,3…，，

∴可知7個點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個循環(huán)，A7n的坐標(biāo)為10n,0，A7n110n1,3

∵202472891，

∴A2023的坐標(biāo)為2890,0．

26

∴A2024的坐標(biāo)為2891,3

故答案為：2891,3．

【典例5】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1、A2、A3、A4…在x軸的正半

3△△△

軸上，點(diǎn)B1、B2、B3…在直線yxx0上．若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為，且A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4…

3

2,0

均為等邊三角形．則點(diǎn)B2024的縱坐標(biāo)為．

【答案】220233

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索、正比例函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

3

【分析】過點(diǎn)A1作A1Mx軸，交直線yxx0于點(diǎn)M，過點(diǎn)B1作B1Cx軸于點(diǎn)C，先求出

3

A1OM30，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得A1B1OA12，然后解直角三角形可得B1C

的長，即可得點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點(diǎn)B2，B3，B4的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律得到

Bn的縱坐標(biāo)，由此即可算出點(diǎn)B2024的縱坐標(biāo)．

3

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A1作A1Mx軸，交直線yxx0于點(diǎn)M，過點(diǎn)B1作B1Cx軸于點(diǎn)C，

3

A12,0，

OA12，

232323

當(dāng)時，，即M2,，，

x2yA1M

333

A1M3

tanA1OM，

A1O3

27

A1OM30，

A1B1A2是等邊三角形，

A2A1B160，A1A2A1B1，

OB1A130A1OM，

A1B1OA12，

33

BCABsin602，即點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)為2，

11122

23

同理可得：點(diǎn)B2的縱坐標(biāo)為2，

2

33

點(diǎn)B3的縱坐標(biāo)為2，

2

43

點(diǎn)B4的縱坐標(biāo)為2，

2

n3n1

歸納類推得：點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)為223（n為正整數(shù)），

2

202412023

則點(diǎn)B2024的縱坐標(biāo)為2323，

故答案為：220233．

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識點(diǎn)，

正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．

△△△△

【典例6】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，A1A2A3,A4A5A6,A7A8A9,A3n2A3n1A3n（n為正整數(shù)）均為

等邊三角形，它們的邊長依次是2，4，6，…，2n，頂點(diǎn)A3,A6,A9,A3n均在y軸上，點(diǎn)O是所有等邊三

角形的中心，點(diǎn)A32的坐標(biāo)為．

10310

【答案】10,/10,3

33

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

28

【分析】此題考查了點(diǎn)的變化規(guī)律，主要利用了等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形求出點(diǎn)A1、A4