2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第一章　§1.5　基本不等式的綜合應(yīng)用VIP

§1.5基本不等式的綜合應(yīng)用課標(biāo)要求1.會(huì)求與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題.2.理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用.3.掌握基本不等式在其他知識(shí)中的應(yīng)用.題型一與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題例1(1)若不等式1a＋2b≥ma＋A.2 B.3 C.4 D.9答案D解析由題意a＋2ba＋2a＋4b又5＋2ba＋2ab≥5＋22ba故實(shí)數(shù)m的最大值為9.(2)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4<m2－3m有解，則實(shí)數(shù)A.{m|－1<m<4}B.{m|m<－4或m>1}C.{m|－4<m<1}D.{m|m<－1或m>4}答案D解析∵不等式x＋y4<m2－3m∴x＋y4min<m2－3m，∵x>0，y>0，∴x＋y4＝x＋y41x＋4當(dāng)且僅當(dāng)4xy＝y(tǒng)4x，即x＝∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，∴m<－1或m>4，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<－1或m>4}.思維升華?x∈M，使得f(x)≥a，等價(jià)于f(x)max≥a；?x∈M，使得f(x)≤a，等價(jià)于f(x)min≤a.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a>0，若關(guān)于x的不等式x＋ax＋1≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為A.1 B.2 C.4 D.8答案C解析因?yàn)閤>－1，x＋1>0，所以x＋ax＋1＝x＋1＋ax＋1－1≥2(x＋當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝ax＋1，即x＝a所以x＋ax＋1有最小值2a因?yàn)椴坏仁絰＋ax＋1≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2a－1解得a≥4，所以a的最小值為4.(2)已知正數(shù)x，y滿足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y>m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(－∞，4＋62) B.(6＋42，＋∞)C.(－∞，7＋43) D.(8＋43，＋∞)答案C解析因?yàn)?x－1)(y－2)＝2，x>0，y>0，所以xy＝2x＋y，即1x＋2所以由基本不等式可得3x＋2y＝(3x＋2y)1x＋2y＝7＋2yx＋6xy≥當(dāng)且僅當(dāng)2即x＝綜上所述，3x＋2y的最小值為7＋43.因?yàn)椴坏仁?x＋2y>m恒成立，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，7＋43).題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例2隨著環(huán)保意識(shí)的增強(qiáng)，電動(dòng)汽車成為人們購(gòu)車的熱門選擇.某型號(hào)的電動(dòng)汽車經(jīng)高速路段(汽車行駛速度不低于60km/h)測(cè)試發(fā)現(xiàn)：①汽車每小時(shí)耗電量P(單位：kW·h)與速度v(單位：km/h)的關(guān)系滿足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程內(nèi)變速行駛比勻速行駛耗電量更大.現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車從A地經(jīng)高速公路(最低限速60km/h，最高限速120km/h)勻速行駛到距離為500km的B地，出發(fā)前汽車電池存量為75kW·h，汽車到達(dá)B地后至少要保留5kW·h的保障電量(假設(shè)該電動(dòng)汽車從靜止加速到速度為v的過程中消耗的電量與路程都忽略不計(jì)).(1)判斷該車是否可以在不充電的情況下到達(dá)B地，并說明理由；(2)若以該電動(dòng)汽車的現(xiàn)存電量一定可以到達(dá)A地與B地間的服務(wù)區(qū)，服務(wù)區(qū)充電樁的功率為15kW(充電量＝充電功率×?xí)r間)，求到達(dá)B地的最少用時(shí)(行駛時(shí)間與充電時(shí)間總和).解(1)設(shè)勻速行駛速度為vkm/h，耗電量為f(v)，則f(v)＝P(v)·500v＝v＋2500v－20(60≤v≤120易知函數(shù)f(v)在區(qū)間[60，120]上單調(diào)遞增，所以f(v)min＝f(60)＝2453>75－5即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車不能在不充電的情況下到達(dá)B地.(2)設(shè)勻速行駛速度為vkm/h，總時(shí)間為th，行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為t1h，t2h.若能到達(dá)B地，則初始電量＋充電電量－消耗電量≥保障電量，即75＋15t2－f(v)≥5，解得t2≥v15＋500所以t＝t1＋t2≥500v＋v15＋5003v－6＝v15＋當(dāng)且僅當(dāng)v15＝20003v所以該汽車到達(dá)B地的最少用時(shí)為223h思維升華利用基本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.跟蹤訓(xùn)練2某村現(xiàn)有180戶村民，且都從事海產(chǎn)品養(yǎng)殖工作，平均每戶的年收入為8萬元.為探索科技助農(nóng)新模式，村委會(huì)決定調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，安排x(0<x<180，x∈N*)戶村民只從事直播帶貨工作，其余的只從事海產(chǎn)品養(yǎng)殖工作，預(yù)計(jì)調(diào)整后從事直播帶貨工作的村民平均每戶的年收入為8a-x10(a>0)萬元，從事海產(chǎn)品養(yǎng)殖工作的村民平均每戶的年收入相比原來提高5x%，若從事直播帶貨工作的村民不管有多少人，他們的總年收入都不大于從事海產(chǎn)品養(yǎng)殖工作的村民的總年收入，則a的最大值為A.12 B.14 C.22 D.60答案B解析由題意可得8a-x10x≤(180－x)·8·(1＋5x%)，化簡(jiǎn)可得a≤180因?yàn)?80x＋x20＋8≥2180x當(dāng)且僅當(dāng)180x＝x20，即所以a≤14，即a的最大值為14.題型三基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題例3(1)設(shè)a>0，b>0，若ln3是ln3a與ln9b的等差中項(xiàng)，則2a＋1b的最小值為A.6 B.8 C.9 D.12答案B解析∵ln3是ln3a與ln9b的等差中項(xiàng)，∴2ln3＝ln3a＋ln9b，即ln3＝ln(3a·9b)＝ln3a＋2b＝(a＋2b)ln3，∴a＋2b＝1，又a>0，b>0，∴2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)＝4當(dāng)且僅當(dāng)ab＝4ba，即a＝12(2)(2025·紹興模擬)原點(diǎn)到直線l：λx＋y－λ＋1＝0(λ∈R)的距離的最大值為()A.25 B.225 C.4答案D解析方法一設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝|-顯然當(dāng)λ<0時(shí)，有最大值，此時(shí)－2λ因?yàn)?－λ)＋-1λ≥2(-λ)·-1所以2(-λ)＋-1λ≤22方法二直線l恒過定點(diǎn)(1，－1)，故原點(diǎn)到直線l距離的最大值為2.思維升華基本不等式常作為工具，與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角、向量、復(fù)數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯問題、立體幾何、解析幾何、實(shí)際問題、新定義問題等考點(diǎn)交匯，常常需要借助不等式來解決其中的最值問題.跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則sinB的取值范圍是.

答案0解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以cosB＝a2因?yàn)閍2＋c2≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，所以3(a2＋c2)－2ac≥4ac>0，所以cosB＝3(a2＋又y＝cosx在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞減，所以0<B≤π3，所以0<sinB≤3柯西不等式1.二維形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立).2.二維形式的柯西不等式的變式(1)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈(3)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ad3.一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bnanbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立.4.二維形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立).典例(1)實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，則z＝2x＋3y的最小值是()A.－5 B.－6 C.3 D.4答案A解析∵實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，∴x24＋∴x24＋y23(16即－5≤2x＋3y≤5，當(dāng)且僅當(dāng)33x＝8y，即當(dāng)x＝當(dāng)x＝∴z＝2x＋3y的最小值是－5.(2)設(shè)a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，則a·b的最大值為.

答案45解析∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，∴－45≤x－2y≤45， (*)當(dāng)且僅當(dāng)b＝ka，即x＝455,或x＝-455∴當(dāng)x＝455，y＝－855時(shí)，a·b權(quán)方和不等式1.二維形式：已知x，y，a，b均為正數(shù)，則有ax＋by≥(a＋b)2x＋y2.一般形式：設(shè)ai，bi均為正數(shù)(i＝1，2，…，n)，實(shí)數(shù)m>0，則nΣi＝1aim＋1bim≥典例(1)若x>0，y>0，12x＋y＋3x＋y＝2，則答案132＋2解析12x＋y＋3x因?yàn)閤>0，y>0，則6x＋5y≥132＋23當(dāng)且僅當(dāng)12即x＝33-44，y＝(2)已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝1，則x2y＋2答案1解析x2y＋當(dāng)且僅當(dāng)xy即x＝y(tǒng)＝z＝13時(shí)取等號(hào)課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a>0，b>1，ab－a＝1，則a＋b的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.5答案C解析方法一因?yàn)閍b－a＝1，所以b＝1a＋1，所以a＋b＝a＋1a＋1≥2a·1a＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以a＋方法二因?yàn)閎>1，所以b－1>0.因?yàn)閍b－a＝a(b－1)＝1，所以a＋b－1≥2a(b-1)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b－1，即a＝1，b＝2時(shí)，等號(hào)成立，故a＋b的最小值為3.2.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29＋y24＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MFA.13 B.12 C.9 D.4答案C解析因?yàn)閨MF1|＋|MF2|＝6，所以|MF1|·|MF2|≤(MF1當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝|MF2|＝3時(shí)，等號(hào)成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值為9.3.已知實(shí)數(shù)x，y>0，1x＋4y＝2，且x＋y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)mA.-∞，92 B.(－C.92，＋∞ D.[9答案A解析由1x＋4y＝2，可得又因?yàn)閤，y>0，則x＋y＝(x＋y)·12x＋2y＝12＋2當(dāng)且僅當(dāng)y2x＝2xy，即y所以(x＋y)min＝92由x＋y≥m恒成立，可得m≤(x＋y)min＝92即實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<33 B.0≤a≤C.a>33 D.a>答案A解析當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，由ax2－2x＋3a<0，可得a(x2＋3)<2x，由題意得a<2x因?yàn)?xx2＋3＝2x＋3x≤22x·所以當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，2xx2故a<335.(2024·宿州模擬)定義：對(duì)于數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a與b對(duì)于模m同余，記作a≡b(modm).已知正整數(shù)t滿足t≡11(mod6)，將符合條件的所有t的值按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列{an}.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則2Sn＋6A.12 B.14 C.16 D.18答案C解析由題意可知an＝6n－1，n∈N*，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以Sn＝n[5＋(6n-1)]2＝可得2Sn＋6n＝6n2＋4n＋當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)，2Sn＋6.(2025·長(zhǎng)沙模擬)中國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S＝p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半.已知△ABCA.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析由題可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，則S＝6(6-a)(6-b)(6-4)＝12(6-a)(6-當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時(shí)取等號(hào)，所以此時(shí)三角形為等邊三角形，故A＝60°.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·宜賓模擬)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若mxym-1≤x＋2y恒成立，則實(shí)數(shù)m的可能取值為(A.12 B.98 C.3 D答案ABC解析由x>0，y>0，得xy>0，mxym-1≤x＋2即mm-1≤又2x＋1y＝2x＋1y(2x＋y)＝5當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝13故mm-1≤9，即mm-1－9＝即(解得m<1或m≥988.若a>1，b>1，且ab＝e2，則()A.2e≤a＋b<e2＋1B.0<lna·lnb≤1C.22－1≤lna＋logab<2D.alnb的最大值為e答案ABD解析由a>1，b＝e2a>1，得1<a<e因?yàn)楹瘮?shù)f(a)＝a＋b＝a＋e2a在(1，e)上單調(diào)遞減，在[e，e2)上單調(diào)遞增，所以2e≤a＋b<e2＋1，故因?yàn)閍b＝e2，所以有l(wèi)na＋lnb＝2，于是0<lna·lnb≤lna＋lnb22＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝lna＋logab＝lna＋lnblna＝lna＋2-lnalna＝ln設(shè)t＝lna∈(0，2)，所以φ(t)＝t＋2t－1在(0，2)上單調(diào)遞減，在[2，2)所以φ(t)＝t＋2t－1∈[22－1，＋∞)，故C設(shè)λ＝alnb，所以lnλ＝lnalnb＝lnb·lna≤1，所以λ≤e，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南京模擬)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝2，且1xy≥M恒成立，則M的最大值為.答案1解析∵正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝2，∴xy≤(x＋y)24＝2又1xy≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值為110.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b的值域?yàn)閇0，＋∞)，其中a>b，則a2＋b2答案22解析函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋b的值域?yàn)閇0，＋∞)，令ax2＋2x＋b＝0，則有Δ＝4-4ab＝0,a>0,即所以a2＋b2a-b＝(又a>b，所以a－b>0，則(a－b)＋2a-b≥22a當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝2，且ab＝1，即a＝6＋22，b即a2＋b2四、解答題(共28分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)＝x＋9x-1(x>1(1)求f(x)的最小值；(6分)(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范圍.(7分)解(1)f(x)＝x＋9x-1＝x－1＋9x因?yàn)閤>1，所以x－1>0，所以x－1＋9x-1＋1≥2(x-1)·當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝9x-1，即x＝所以f(x)的最小值為7.(2)由(1)知函數(shù)f(x)的最小值為7，因?yàn)閍2＋6a≤f(x)恒成立，所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，所以a的取值范圍是[－7，1].12.(15分)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來持續(xù)增長(zhǎng).某市一家醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本G(x)萬元，且G(x)＝2x2＋60(1)寫出年利潤(rùn)W(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：臺(tái))的函數(shù)解析式(利潤(rùn)＝銷售收入－成本)；(7分)(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大？最大